Алгебраические уравнения, разрешимые в гипергеометрических функциях (Лахтин)/Глава X

Алгебраические уравнения, разрешимые в гипергеометрических функциях — Глава X. Резольвенты уравнений, имеющих группу линейных подстановок
автор Л. К. Лахтин

Опубл.: 1893 год.

§ 41. Свойства резольвент уравнений, имеющих группу линейных подстановок  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

§ 42. Подгруппы конечных порядков  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

§ 43. Резольвента уравнения двупирамидного типа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

103

§ 44. Резольвента уравнения тетраэдрического типа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107

§ 45. Резольвенты уравнения октаэдрического типа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

110

§ 46. Резольвенты уравнения икосаэдрического типа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115

§ 47. Некоторые замечания о группах уравнений, найденных в предыдущих параграфах  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

139

---

Глава X.

Резольвенты уравнений, имеющих группу линейных подстановок.

§ 41. Свойства резольвент уравнений, имеющих группу линейных подстановок.

В главе IX мы привели решение нашей основной задачи к нахождению всевозможных преобразований вида:

$\zeta =A_{g}(u),$

(1)

‎понижающих степень уравнения:

$H^{\lambda _{1}}(u):c'T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)={\frac {1}{c}}R(z):{\frac {1}{c}}R(z)-1:1,$

(2)

‎и к составлению резольвент уравнения (2), получаемых преобразованием его посредством подстановок вида (1).

Для упрощения формул мы можем ввести в уравнение (2) новую независимую переменную, обозначив функцию ${\frac {1}{c}}R(z)$ одной буквой.

Мы будем предполагать это упрощение уже выполненным и заменим в уравнении (2) функцию ${\frac {1}{c}}R(z)$ переменной $z$, как это мы делали неоднократно выше.

Уравнение (2) будет таково:

$H^{\lambda _{1}}(u):c'T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)=z:z-1:1.$

(3)

‎Итак, ближайшая наша задача состоит в следующем:

1) Зная группу $G$ уравнения (3), мы должны найти все группы $g$, входящие в $G$. Мы будем их называть подгруппами (Untergruppen) по отношению к $G$.

2) Для каждой подгруппы $g$ мы должны составить соответствующую ей автоморфную функцию:

$\zeta =A_{g}(u).$

(1)

‎3) Зная функцию (1), мы должны преобразовать уравнение (3) подстановкой (1), причем, как нам известно, получится уравнение вида:

$F_{1}(\zeta ):F_{2}(\zeta ):F(\zeta )=z:z-1:1.$

(4)

‎Сказанные вопросы мы должны решить для каждого из четырех типов уравнения (3).

Прежде чем приступить к выполнению намеченного плана, займемся раскрытием некоторых свойств резольвент вида (4).

Пусть группа $G$ уравнения (3) — порядка $N$, пусть в группу $G$ входит подгруппа $g$ порядка $n$, а в $g$ пусть входит подгруппа $g'$ порядка $n'$.

Положим:

${\frac {N}{n}}=l,\ {\frac {n}{n'}}=l\,'.$

(5)

‎Собственно автоморфная функция, соответствующая группе $g$, такова:

$\zeta =A_{g}(u).$

(1)

‎Собственно автоморфную функцию, соответствующую группе $g'$, мы обозначим так:

$\zeta \,'=A_{g'}(u).$

(6)

‎Так как функция $\zeta$ тоже автоморфна относительно подстановок группы $g'$, то $\zeta$ есть рациональная функция $\zeta \,'$ степени ${\frac {n}{n'}}=l\,'$:

$\zeta =\psi (\zeta \,').$

(7)

‎Преобразуя уравнение (3) подстановкой (1), находим уравнение степени $l$ относительно $\zeta$:

$F_{1}(\zeta ):F_{2}(\zeta ):F(\zeta )=z:z-1:1.$

(4)

‎Преобразуя уравнение (3) подстановкой (6), находим уравнение степени $ll\,'$ относительно $\zeta \,'$:

$F'_{1}(\zeta \,'):F'_{2}(\zeta \,'):F'(\zeta \,')=z:z-1:1.$

(8)

‎Из уравнений (4), (8), (7) следует, что:

$F'_{1}(\zeta \,'):F'_{2}(\zeta \,'):F'[\psi (\zeta \,')]=F_{1}[\psi (\zeta \,')]:F_{2}[\psi (\zeta \,')]:F[\psi (\zeta \,')].$

(9)

‎Иными словами, уравнение (8) может быть получено из уравнения (4), если мы в уравнении (4) вместо $\zeta$ вставим рациональную функцию $\psi (\zeta \,')$ степени $l\,'$ относительно $\zeta \,'$, причем, понятно, степень его относительно неизвестной повышается в $l\,'$ раз.

Интерес представляет только уравнение (4), ибо, внося в него вместо $\zeta$ различные функции новой неизвестной $\zeta \,'$, мы можем получить сколько угодно уравнений вида (9).

Отсюда следует, что составляя резольвенты уравнения (3), мы можем ограничиться рассмотрением тех из них, которые соответствуют наиболее широким подгруппам группы $G$ уравнения (3).

Посмотрим, какова группа Галуа для уравнения (4).

Следуя обозначениям главы IX, мы положим, что подстановки подгруппы $g$ таковы:

$s_{0}=1,\ s_{1},\ s_{2},\ \ldots ,\ s_{n-1}.$

(10)

‎Подстановки группы $G$ могут быть расположены в таблице:

$\left.{\begin{array}{lllll}s_{0}=1,&s_{1},&s_{2},&\ldots &s_{n-1},\\s_{0}\sigma _{1}=\sigma _{1},&s_{1}\sigma _{1},&s_{2}\sigma _{1},&\ldots &s_{n-1}\sigma _{1},\\s_{0}\sigma _{2}=\sigma _{2},&s_{1}\sigma _{2},&s_{2}\sigma _{2},&\ldots &s_{n-1}\sigma _{2},\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots &\cdots \cdots &\cdots \cdots &\cdots &\cdots \cdots \cdots \\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots &\cdots \cdots &\cdots \cdots &\cdots &\cdots \cdots \cdots \\s_{0}\sigma _{l-1}=\sigma _{l-1},&s_{1}\sigma _{l-1},&s_{2}\sigma _{l-1},&\ldots &s_{n-1}\sigma _{l-1},\\\end{array}}\right\}$

(11)

‎где

$\sigma _{1},\ \sigma _{2},\ \ldots ,\ \sigma _{l-1}$

(12)

‎суть различные между собой и известным образом выбранные подстановки группы $G$, не входящие в группу $g$.

Под влиянием подстановок:

$\sigma _{0}=1,\ \sigma _{1},\ \sigma _{2},\ \ldots ,\ \sigma _{l-1}$

(13)

‎функция

$\zeta =A_{g}(u).$

(1)

‎приобретает $l$ различных между собой значений:

$\zeta _{0}=1,\ \zeta _{1},\ \zeta _{2},\ \ldots ,\ \zeta _{l-1}.$

(14)

‎Эти $l$ значений суть как раз все те значения, которые функция (1) приобретает под влиянием подстановок группы $G$. Это суть $l$ корней уравнения (4). Каждой линейной подстановке $S$ группы $G$ соответствует некоторая перестановка, совершаемая над $l$ корнями (14) уравнения (4).

Мы будем называть эти перестановки, совершаемые над $l$ корнями (14) уравнения (3), субституциями в отличие от линейных подстановок групп $G$ и $g$.

Найдем $N$ субституций над количествами (14), соответствующих $N$ линейным подстановкам группы $G$. Обозначим эту совокупность субституций буквой $\Gamma$.

Докажем следующую теорему:

Теорема 1. Совокупность субституций $\Gamma$ есть группа Галуа для уравнения (4).

Субституции группы $\Gamma$ суть всевозможные субституции, испытываемые величинами (14) при обходах на плоскости переменной $z$. Отсюда следует, что они образуют группу.

Всякая функция величин (14), инвариантная относительно субституций группы $\Gamma$, будучи выражена через $u$, есть функция автоморфная относительно подстановок группы $G$ и поэтому выражается рационально через $z$. Наоборот: всякая рационально известная функция величин (14) есть рациональная функция $z$, будучи выражена через $u$, она инвариантна относительно подстановок группы $G$. Поэтому всякая рационально известная функция величин (14) инвариантна относительно субституций группы $\Gamma$. Сказанные два свойства группы $\Gamma$ суть характерные признаки того, что группа $\Gamma$ есть группа Галуа для уравнения (4).

Условимся в следующей терминологии:

1) Если каждая из подстановок группы $g$, будучи преобразована каждой из подстановок группы $G$, дает в результате подстановку группы $g$, то мы назовем по общепринятому группу $g$ особой частью группы $G$.

2) Если некоторые из подстановок группы $g$, будучи преобразованы каждой из подстановок группы $G$, дают в результате подстановку группы $g$, то мы назовем $g$ полуособой частью группы $G$.

3) Если ни одна из подстановок группы $g$ не обладает сказанным свойством, то мы назовем $g$ неособой частью группы $G$.

Теорема 2. Если подгруппа $g$ есть неособая часть группы $G$, то группа $\Gamma$ соответствующей ей резольвенты — такого же порядка $N$, как и группа $G$.

Пусть $g$ есть неособая часть группы $G$. Мы видели, что каждой подстановке группы $G$ соответствует своя субституция группы $\Gamma$. Посмотрим, не может ли нескольким различным подстановкам группы $G$ соответствовать одна и та же субституция группы $\Gamma$.

Допустим, что двум различным подстановкам $S$ и $S'$ группы $G$ соответствует одна и та же субституция группы $\Gamma$.

В таком случае подстановке

$S^{-1}S',$

‎отличной от 1, соответствует субституция 1.

Подстановка $S^{-1}S'$ есть одна из подстановок группы $G$; следовательно, она приводится к виду:

$s_{i}\sigma _{j}.$

‎Будем различать два случая:

1) Индекс $j$ отличен от 0,

2) Индекс $j$ равен 0.

I. Пусть индекс $j$ отличен от 0.

Возьмем корень:

$\zeta _{0}=A_{g}(u).$

(1')

‎уравнения (4).

Совершим над ним подстановку:

$s_{i}\sigma _{j}.$

‎После подстановки функция $\zeta _{0}$ переходит в ${\bar {\zeta }}_{0}$, причем:

$\zeta _{0}=A_{g}[s_{i}\sigma _{j}(u)].$

(15)

‎Так как функция $A_{g}(u)$ не меняется от подстановки $s_{i}$, то:

${\bar {\zeta }}_{0}=A_{g}[s_{i}\sigma _{j}(u)]=\zeta _{j}.$

(16)

‎Итак, субституция, соответствующая подстановке

$S^{-1}S'=s_{i}\sigma _{j},$

‎меняет корень $\zeta _{0}$ на отличный от него корень $\zeta _{j}$.

Это противоречит сделанному ранее заключению, что субституция, соответствующая подстановке $S^{-1}S'$, есть 1.

II. Пусть индекс $j$ равен 0:

$S^{-1}S'=s_{i}.$

‎Эта подстановка не меняет корня:

$\zeta _{0}=A_{g}(u).$

(1')

‎Возьмем какой-нибудь из остальных корней уравнения (4), напр.

$\zeta _{k}=A_{g}[\sigma _{k}(u)].$

(17)

‎После подстановки $S^{-1}S'=s_{i}$ этот корень перейдет в ${\bar {\zeta }}_{k}$, причем:

${\bar {\zeta }}_{k}=A_{g}[\sigma _{k}s_{i}(u)].$

(18)

‎Эта величина только в том случае равна $\zeta _{k}$ при произвольном $u$, если имеет место символическое равенство вида:

$\sigma _{k}s_{i}\sigma _{k}^{-1}=s_{h},$

(19)

‎где $h$ имеет одно из значений: $0,\ 1,\ 2,\ \ldots ,\ n-1$.

Если субституция, соответствующая подстановке

$S^{-1}S'=s_{i},$

‎есть 1, то она не меняет ни одного из корней (14) уравнения (4).

В таком случае символическое равенство (19) справедливо при всех значениях $k$ от $k=0$ до $k=n-1$. Если так, то подстановка $s_{i}$ группы $g$, будучи преобразована всеми подстановками группы $G$, дает в результате подстановки той же группы $g$. Группа $g$ есть особая или полуособая часть группы $G$.

Это заключение противоречит условию теоремы.

Итак, действительно, каждой подстановке группы $G$ соответствует и при том единственная субституция группы $\Gamma$. Порядки обеих групп одинаковы.

Теорема 3. Если группа $g$ неособая часть группы $G$, то группы $G$ и $\Gamma$ изоморфны между собой.

Это — ближайшее следствие из предшествующей теоремы: если две группы $G$ и $\Gamma$ одинакового порядка и каждой подстановке группы $G$ соответствует единственная субституция группы $\Gamma$, то они не могут не быть изоморфны между собой.

Если измерять сложность уравнения порядком его группы, то мы можем сказать, что все резольвенты (4) уравнения (3), соответствующие неособой части группы $G$, так же сложны, как и уравнение (3). Они проще только по виду: степень их ниже степени $N$ уравнения (3).

Уравнение (3) есть резольвента Галуа как для самого себя, так и для всех уравнений вида (4).

Значение уравнений (4) для алгебры заключается в том, что мы можем данное нам уравнение, удовлетворяющее известным условиям (напр. всякое уравнение 5-ой степени, как будет видно ниже), преобразовать в одно из уравнений вида (4); а за тем решить уравнение (4), пользуясь тем, что корни его выражаются рационально с помощью формулы:

$\zeta =A_{g}(u)$

(1)

‎через корни уравнения (3), разрешимого в гипергеометрических функциях.

Если мы припомним, что корни уравнения (3) суть функции Шварца

$u=s\left({\frac {1}{\lambda _{1}}},\;{\frac {1}{\lambda }},\;{\frac {1}{\lambda _{2}}},\;z\right),$

(20)

‎то заметим, что корни уравнения (4) выражаются такой формулой:

$\zeta =A_{g}\left[s\left({\frac {1}{\lambda _{1}}},\;{\frac {1}{\lambda }},\;{\frac {1}{\lambda _{2}}},\;z\right)\right].$

(21)

‎Итак, корни уравнения (4) представляются в виде функции от функции переменной $z$, причем эта вторая, внутренняя функция есть многозначная функция Шварца, соответствующая группе $G$, а наружная функция есть функция автоморфная, обратная функции Шварца, соответствующей подгруппе $g$ группы $G$^[1].

Теорема 4. Если подгруппа $g$ есть неособая часть группы $G$, то группа субституций $\Gamma$ может быть составлена из двух основных субституций $\sigma$ и $\tau$, соответствующих основным подстановкам $S$ и ${\mathfrak {T}}$ группы $G$.

Эта теорема есть следствие предшествующих: если группа $\Gamma$ изоморфна группе $G$, то основные субституции группы $\Gamma$ должны соответствовать основным подстановкам $S$ и ${\mathfrak {T}}$ группы $G$.

Теорема 5. Если порядки групп $G$ и $\Gamma$ одинаковы, то подгруппа $g$ есть неособая часть группы $G$.

Эта теорема есть следствие, вытекающее из тех рассуждений, которые мы приводили при доказательстве теоремы 2: если бы подгруппа $g$ была особой или полуособой частью группы $G$, то нашлись бы такие различные подстановки группы $G$, которым соответствует одна и та же субституция группы $\Gamma$. Порядок группы $\Gamma$ был бы ниже порядка группы $G$.

В наших дальнейших исследованиях наибольший интерес будут представлять неособые части групп. Особые части групп: тетраэдрической и октаэдрической приводят к решению уравнений: тетраэдрического и октаэдрического в радикалах.

Эти решения были нами уже рассмотрены в главе VII и больше о них говорить мы не будем.

§ 42. Подгруппы конечных порядков.

Рассмотрим друг за другом все конечные группы линейных подстановок и найдем, каковы входящие в них подгруппы.

I. Группа двупирамидная порядка $2\,\,m$.

Подстановки двупирамидной группы соответствуют поворотам сферы двоякого рода:

1) Поворотам на углы, кратные ${\frac {2\pi }{m}}$, около оси, соединяющей две противоположные вершины двупирамиды. Подстановка $S$, соответствующая повороту на угол ${\frac {2\pi }{m}}$, есть одна из двух основных подстановок группы.

2) Поворотам на углы, кратные $\pi$, около осей, лежащих в плоскости основания обеих пирамид, составляющих двупирамиду. Подстановка ${\mathfrak {T}}$, соответствующая одному из этих поворотов на угол $\pi$, есть вторая основная подстановка группы.

Ясно, что повороты групп: тетраэдрической, октаэдрической и икосаэдрической меняют положение двупирамиды.

В двупирамидную группу могут входить только подгруппы следующих типов:

1) Подгруппы циклического типа порядка $m_{1}$:

$(S^{l})^{0}=1,\ S^{l},\ S^{2l},\ \ldots ,\ S^{(m_{1}-1)l},$

(22)

‎где $l$ есть делитель числа $m$, а $m_{1}$ есть делитель, ему дополнительный:

$lm_{1}=m.$

(23)

‎2) Подгруппы циклического типа порядка 2:

$(S^{k}{\mathfrak {T}})^{0}=1,\ S^{k}{\mathfrak {T}},$[2]

(24)

‎где $k$ — какое угодно целое число.

3) Подгруппы двупирамидного типа порядка $2m_{1}$, составленные из основных подстановок.

$S^{l},\ S^{k}{\mathfrak {T}},$

(25)

‎где $l$ есть делитель числа $m$, число $m_{1}$ есть делитель ему дополнительный:

$lm_{1}=m,$

‎а $k$ — какое-либо целое число.

Других подгрупп двупирамидная группа порядка $2m$ в себе не содержит.

Первая и вторая из перечисленных подгрупп входят в третью.

Так как мы вправе ограничиться рассмотрением наиболее широких подгрупп, то мы будем строить только резольвенту порядка:

$l={\frac {2m}{2m_{1}}},$

‎соответствующую третьей из перечисленных подгрупп двупирамидной группы. При этом мы примем число $m_{1}$ равным наибольшему из делителей числа $m$, отличному от самого числа $m$.

(Если число $m$ — простое, то наибольший его делитель, отличный от $m$, есть 1, число $l$ равно $m$, подстановка $S^{l}$ равна 1. В этом случае подгруппа двупирамидного типа порядка $2m$, заменяется циклической порядка 2).

II. Группа тетраэдрическая.

В тетраэдрическую группу входят подстановки, соответствующие поворотам двоякого рода:

1) Поворотам на углы, кратные ${\frac {2\pi }{3}}$, около осей, соединяющих вершины тетраэдра с центрами противоположных граней. Одна из этих подстановок есть основная подстановка $S$ тетраэдрической группы.

2) Поворотам на углы, кратные $\pi$, около осей, соединяющих середины противоположных ребер тетраэдра. Одна из этих подстановок ${\mathfrak {T}}$ есть вторая основная подстановка тетраэдрической группы.

Ясно, что группы: октаэдрическая и икосаэдрическая не могут входить в тетраэдрическую. Из групп двупирамидного типа может быть вопрос только о двупирамидных группах 4-го и 6-го порядков.

Группа 4-го порядка, т. е. четверичная действительно, как мы знаем, входит в тетраэдрическую. Группа 6-го порядка в тетраэдрическую не входит, потому что повороты на угол $\pi$ около осей, лежащих в плоскости основания двупирамиды, приводят тетраэдр в положение, соответствующее тетраэдру, ему дополнительному.

Итак, мы вправе сказать, что в тетраэдрическую группу входят только следующие подгруппы:

1) Подгруппа циклического типа порядка 3:

$S^{0}=1,\ S,\ S^{2}.$

(26)

‎2) Подгруппа циклическая порядка 2:

${\mathfrak {T}}^{0}=1,\ {\mathfrak {T}}.$

(27)

‎3) Подгруппа четверичная.

Последняя из перечисленных подгрупп есть особая часть тетраэдрической группы. Она приводит к решению тетраэдрического уравнения в радикалах, которое было уже рассмотрено в главе VII.

Подгруппа 2-го порядка входит в четверичную. Следовательно, мы можем ограничиться рассмотрением резольвенты порядка:

$l={\frac {12}{3}}=4,$

соответствующей подгруппе 3-го порядка.

III. Группа октаэдрическая.

Подстановки октаэдрической группы соответствуют поворотам троякого рода:

1) Поворотам на углы, кратные ${\frac {\pi }{2}}$, около осей, соединяющих противоположные вершины октаэдра. Одна из этих подстановок $S$, соответствующая повороту на угол ${\frac {\pi }{2}}$, есть основная подстановка группы.

2) Поворотам на углы, кратные ${\frac {2\pi }{3}}$, около осей, соединяющих центры противоположных граней октаэдра. Одна из этих подстановок $S\,'$, соответствующая повороту на ${\frac {2\pi }{3}}$, может быть принята за вторую основную подстановку группы.

3) Поворотам на углы, кратные $\pi$ около осей, соединяющих середины противоположных ребер октаэдра. Одна из этих подстановок ${\mathfrak {T}}$ может быть принята за вторую основную подстановку группы вместо указанной выше подстановки $S\,'$.

Ясно, что икосаэдрическая группа в октаэдрическую войти не может.

Группы всех остальных типов входят в октаэдрическую.

Итак, в октаэдрическую группу входят следующие подгруппы:

1) Подгруппы циклического типа порядка 4:

$S^{0}=1,\ S,\ S^{2},\ S^{3}.$

(28)

‎2) Подгруппы циклического типа порядка 3:

$S\,'^{0}=1,\ S\,',\ S\,'^{2}.$

(29)

‎3) Подгруппы циклического типа порядка 2:

${\mathfrak {T}}^{0}=1,\ {\mathfrak {T}}.$

(30)

‎4) Подгруппы двупирамидного типа порядка 8 составленные из основных подстановок $S$ и $U$, где $U$ есть подстановка 2-го порядка, выбранная так, чтобы повороты, соответствующие подстановкам $S$ и $U$, а также $S\,'$ и $U$ совершались около взаимно перпендикулярных осей.

5) Подгруппа двупирамидного типа порядка 6, составленная из основных подстановок $S\,'$ и $U$.

6) Подгруппа двупирамидного типа порядка 4, т. е. четверичная, составленная из основных подстановок $S^{2}$ и $U$.

7) Подгруппа тетраэдрического типа.

Кроме того входят подгруппы, входящие в подгруппы перечисленных типов.

Для нас представляют интерес резольвенты, соответствующие лишь некоторым из подгрупп октаэдрической группы. Рассмотрим, какие именно.

Подгруппа тетраэдрического типа есть особая часть октаэдрической группы. Она ведет к разрешению октаэдрического уравнения в радикалах, о чем мы говорили уже в главе VII.

Четверичная подгруппа входит в тетраэдрическую.

Подгруппы циклического типа порядков 4, 3, 2 тоже входят в другие подгруппы октаэдрической группы. Резольвенты, соответствующие этим подгруппам, интереса не представляют.

Остаются подгруппы двух типов:

1) Подгруппы двупирамидного типа порядка 8.

2) Подгруппы двупирамидного типа порядка 6.

Этим двум подгруппам соответствуют резольвенты степеней:

$l_{1}={\frac {24}{8}}=3$ и $l_{2}={\frac {24}{6}}=4.$

‎Только об этих двух резольвентах мы и будем говорить.

IV. Группа икосаэдрическая.

Подстановки икосаэдрической группы соответствуют поворотам троякого рода:

1) Поворотам на углы, кратные ${\frac {2\pi }{5}}$, около осей, соединяющих противоположные вершины икосаэдра. Одна из этих подстановок $S$, соответствующая повороту на угол ${\frac {2\pi }{5}}$, может быть принята за основную подстановку группы.

2) Поворотам на углы, кратные ${\frac {2\pi }{3}}$, около осей, соединяющих центры противоположных граней икосаэдра. Одна из этих подстановок $S\,'$, соответствующая повороту на угол ${\frac {2\pi }{3}}$, может быть принята за основную подстановку икосаэдрической группы вместо подстановки $S$, указанной выше.

3) Поворотам на углы, кратные $\pi$, около осей, соединяющих середины противоположных ребер икосаэдра. Одна из этих подстановок ${\mathfrak {T}}$ может быть принята за вторую основную подстановку икосаэдрической группы.

Мы знаем, что октаэдрическая группа в икосаэдрическую не входит.

Группы всех остальных типов в нее входить могут.

Итак, в икосаэдрическую группу входят следующие подгруппы:

1) Подгруппы циклического типа порядка 5:

$S^{0}=1,\ S,\ S^{2},\ S^{3},\ S^{4}.$

(31)

‎2) Подгруппы циклического типа порядка 3:

$S\,'^{0}=1,\ S\,',\ S\,'^{2}.$

(32)

‎3) Подгруппы циклического типа порядка 2:

${\mathfrak {T}}^{0}=1,\ {\mathfrak {T}}.$

(33)

‎4) Подгруппы двупирамидного типа порядка 10, составленные из основных подстановок $S$ и $U$, где $U$ есть подстановка 2-го порядка, выбранная так, чтобы повороты, соответствующие подстановкам $S$ и $U$, а также $S\,'$ и $U$, совершались около двух взаимно перпендикулярных осей.

5) Подгруппы двупирамидного типа порядка 6, составленные из основных подстановок $S\,'$ и $U$.

6) Подгруппы двупирамидного типа порядка 4, т. е. четверичные.

7) Подгруппы тетраэдрического типа.

Для нас представляют интерес резольвенты, соответствующие только некоторым из этих подгрупп.

Рассмотрим, какие это подгруппы.

Подгруппы: четверичные и циклические порядков 5, 3, 2 входят в другие из числа перечисленных подгрупп и потому интереса не представляют.

Остаются подгруппы:

1) Двупирамидного типа порядка 10.

2) Двупирамидного типа порядка 6.

3) Тетраэдрического типа.

Резольвента, соответствующая второй из этих подгрупп, как мы сейчас увидим, может быть получена из резольвенты, соответствующей подгруппе тетраэдрического типа и поэтому самостоятельного интереса не представляет.

В самом деле, пусть:

$H^{\lambda _{1}}(u):c'T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)=z:z-1:1.$

(3)

‎есть уравнение икосаэдрического типа.

Обозначим собственно автоморфные функции, соответствующие подгруппам: тетраэдрической, двупирамидной 6-го порядка и циклической 3-го порядка, буквами:

$\zeta ,\ \zeta _{6},\ \zeta _{3}.$

‎Пусть резольвента уравнения (3), соответствующая тетраэдрической подгруппе, такова:

$F_{1}(\zeta ):F_{2}(\zeta ):F(\zeta )=z:z-1:1.$

(4)

‎Циклическая подгруппа 3-го порядка входит как в тетраэдрическую подгруппу, так и в двупирамидную подгруппу 6-го порядка. Следовательно, обе функции: $\zeta$ и $\zeta _{6}$ суть рациональные функции величины $\zeta _{3}$:

$\zeta =\psi _{4}(\zeta _{3}),$

(34)

$\zeta _{6}=\psi _{2}(\zeta _{3}),$

(35)

‎где $\psi _{4}$ и $\psi _{2}$ суть рациональные функции степеней, соответственно равных 4 и 2.

Обозначим функцию, обратную $\psi _{2}$, через $\psi _{2}^{-1}$: это иррациональная функция, содержащая в себе один квадратный радикал.

Из уравнения (35) имеем:

$\zeta _{3}=\psi _{2}^{-1}(\zeta _{6}),$

(36)

‎а из уравнений (34) и (36):

$\zeta =\psi _{4}{\big [}\psi _{2}^{-1}(\zeta _{6}){\big ]},$

(37)

‎или:

$\zeta =\omega (\zeta _{6}),$

(38)

‎где $\omega$ есть иррациональная функция, содержащая в себе один квадратный радикал.

Вставив выражение (38) в уравнение (4), находим:

$F_{1}[\omega (\zeta _{6})]:F_{2}[\omega (\zeta _{6})]:F[\omega (\zeta _{6})]=z:z-1:1.$

(39)

‎Такова резольвента степени:

${\frac {60}{6}}=10,$

‎соответствующая подгруппе двупирамидного типа 6-го порядка. Она получается из резольвенты (4) подстановкой вместо $\zeta$ иррационального выражения (38), содержащего в себе один квадратный радикал.

Итак, изучая резольвенты икосаэдрического уравнения, мы вправе ограничиться рассмотрением тех из них, которые соответствуют:

1) подгруппе тетраэдрического типа,

2) подгруппе двупирамидного типа 10-го порядка.

Этим подгруппам соответствуют резольвенты степеней:

$l_{1}={\frac {60}{12}}=5,\ l_{2}={\frac {60}{10}}=6.$

‎§ 43. Резольвенты уравнения двупирамидного типа.

Возьмем нормальное уравнение двупирамидного типа:

$\left({\dfrac {u^{m}+1}{2}}\right)^{2}:\left({\dfrac {u^{m}-1}{2}}\right)^{2}:u^{m}=z:z-1:1.$

(40)

‎Группа $G$ этого уравнения состоит из двух основных подстановок:

$S(u)=e^{\frac {2\pi i}{m}}u,\ {\mathfrak {T}}(u)={\frac {1}{u}}.$

(41)

‎Мы видели, что интерес представляет только одна резольвента этого уравнения: резольвента, соответствующая подгруппе $g$ двупирамидного типа порядка $2m_{1}$, где $m_{1}$ есть наибольший из делителей числа $m$, отличных от самого числа $m$. Положив:

${\frac {m}{m_{1}}}=l,$

‎мы представим основные подстановки подгруппы $g$ в таком виде:

$S^{l}(u)=e^{\frac {2\pi i}{m_{1}}}u,\ {\mathfrak {T}}(u)={\frac {1}{u}}.$

(42)

‎Функция собственно автоморфная относительно подстановок подгруппы $g$ такова:

$\zeta =u^{m_{1}}+{\frac {1}{u^{m_{1}}}}.$

(43)

‎Для составления резольвенты, которой удовлетворяет функция $\zeta$, мы представим уравнение (40) в таком виде:

$\{(u^{m_{1}})^{l}+(u^{-m_{1}})^{l}+2\}:\{(u^{m_{1}})^{l}+(u^{-m_{1}})^{l}-2\}:4=z:z-1:1.$

(44)

‎Из уравнения (43) находим:

$\left.{\begin{array}{l}u^{m_{1}}+u^{-m_{1}}=\zeta ,\\(u^{m_{1}})^{2}+(u^{-m_{1}})^{2}=\zeta ^{2}-2,\\(u^{m_{1}})^{3}+(u^{-m_{1}})^{3}=\zeta ^{3}-3\zeta ,\\(u^{m_{1}})^{4}+(u^{-m_{1}})^{4}=\zeta ^{4}-4\zeta ^{2}+2.\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end{array}}\right\}$

(45)

‎Каково бы ни было число $l$, продолжая составление формул (45), мы найдем выражение функции:

$(u^{m_{1}})^{l}+(u^{-m_{1}})^{l}$

‎через величину $\zeta$. Это будет целый многочлен степени $l$ относительно $\zeta$. Вставив полученное выражение функции $(u^{m_{1}})^{l}+(u^{-m_{1}})^{l}$ в уравнение (44), мы найдем искомую резольвенту, корнем которой служит величина $\zeta$.

Рассмотрим подробно случай, когда $m=3$. Наибольший делитель числа 3, отличный от самого числа 3, есть 1. Преобразуем уравнение:

$\left({\dfrac {u^{3}+1}{2}}\right)^{2}:\left({\dfrac {u^{3}-1}{2}}\right)^{2}:u^{3}=z:z-1:1$

(46)

‎подстановкой:

$\zeta =u+{\frac {1}{u}}.$

(47)

‎В результате находим кубическое уравнение:

$(\zeta ^{3}-3\zeta +2):(\zeta ^{3}-3\zeta +2):4=z:z-1:1.$

(48)

‎Положив:

$\zeta =hY,$

(49)

‎где $h$ — произвольное постоянное число, находим:

$(h^{3}Y^{3}-3hY+2):(h^{3}Y^{3}-3hY+2):4=z:z-1:1.$

(50)

‎Посмотрим, какова группа уравнения (48).

Функция:

$\zeta =u+{\frac {1}{u}}$

(47)

‎под влиянием подстановок группы уравнения (46) должна приобретать всего три значения.

Основные подстановки $S$ и ${\mathfrak {T}}$ группы уравнения (46) таковы:

$S(u)=\varepsilon u,\ {\text{где }}\varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{3}},\ {\mathfrak {T}}(u)={\frac {1}{u}}.$

(51)

‎Совершив над функцией (47) подстановки:

$S^{0}=1,\ S,\ S^{2},$

‎находим:

$\zeta _{0}=u+{\frac {1}{u}},\ \zeta _{1}=\varepsilon u+{\frac {\varepsilon ^{2}}{u}},\ \zeta _{2}=\varepsilon ^{2}u+{\frac {\varepsilon }{u}}.$

(52)

‎Эти три значения различны между собой и исчерпывают все корни уравнения (48).

Подстановки, которые мы обозначали буквами:

$\sigma _{1},\ \sigma _{2},\ \ldots ,\ \sigma _{l-1}$

‎в данном случае суть:

$S,\ S^{2}.$

‎Подстановка $S$ преобразует величины $\zeta _{0},\ \zeta _{1},\ \zeta _{2}$ в ${\bar {\zeta }}_{0},\ {\bar {\zeta }}_{1},\ {\bar {\zeta }}_{2}$, причем:

${\bar {\zeta }}_{0}=\zeta _{1},\ {\bar {\zeta }}_{1}=\zeta _{2},\ {\bar {\zeta }}_{1}=\zeta _{0}.$

(53)

‎Следовательно, основная субституция $\sigma$ группы $\Gamma$ уравнения (48) такова:

$\sigma =(\zeta _{0},\;\zeta _{1},\;\zeta _{2}).$

(54)

‎Подстановка ${\mathfrak {T}}$ преобразует величины $\zeta _{0},\ \zeta _{1},\ \zeta _{2}$ в ${\bar {\bar {\zeta }}}_{0},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{1},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{2}$, причем:

${\bar {\bar {\zeta }}}_{0}=\zeta _{0},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{1}=\zeta _{2},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{2}=\zeta _{1}.$

(55)

‎Следовательно, основная субституция $\tau$ группы $\Gamma$ уравнения (48) такова:

$\tau =(\zeta _{0})(\zeta _{1},\;\zeta _{2}).$

(56)

‎Корни уравнения (50) разнятся от корней уравнения (48) только постоянным множителем $h$. Группы этих уравнений одинаковы.

Основные субституции группы уравнения (50) таковы:

$\left.{\begin{array}{l}\Sigma =(Y_{0},\;Y_{1},\;Y_{2}),\\T=(Y_{0})(Y_{1},\;Y_{2}).\end{array}}\right\}$

(57)

§ 44. Резольвента уравнения тетраэдрического типа.

Мы видели в § 42, что из числа резольвент тетраэдрического уравнения представляет интерес только та резольвента, которая соответствует циклической подгруппе 3-го порядка.

Возьмем тетраэдрическое уравнение во второй нормальной форме:

${\begin{matrix}(2{\sqrt {2}}u^{3}+1)^{3}:(u^{6}+5{\sqrt {2}}u^{3}-1)^{2}:-(u^{3}-{\sqrt {2}})^{3}u^{3}=\\=z:z-1:1.\end{matrix}}$

(58)

‎Основные подстановки группы этого уравнения таковы:

$\left.{\begin{array}{l}S(u)=\varepsilon u,\ {\mathfrak {T}}(u)={\dfrac {{\sqrt {2}}-u}{{\sqrt {2}}u+1}},\\{\text{где }}\varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{3}}.\end{array}}\right\}$

(59)

‎Основная подстановка циклической подгруппы 3-го порядка есть $S$.

Функция автоморфная относительно подстановок этой группы есть:

$\zeta =u^{3}.$

(60)

‎Преобразуя уравнение (58) подстановкой (60), находим:

$(2{\sqrt {2}}\zeta +1)^{3}:(\zeta ^{2}+5{\sqrt {2}}\zeta -1)^{2}:-(\zeta -{\sqrt {2}})^{3}\zeta =z:z-1:1.$

(61)

‎Такова резольвента 4-ой степени тетраэдрического уравнения.

Посмотрим, какова группа $\Gamma$ этого уравнения.

Совершив над функцией (60) подстановки:

$1,\ {\mathfrak {T}},\ {\mathfrak {T}}S,\ {\mathfrak {T}}S^{2},$

(62)

‎находим:

${\begin{matrix}\zeta _{0}=u^{3},\ \zeta _{1}=\left({\dfrac {{\sqrt {2}}-u}{{\sqrt {2}}u+1}}\right)^{3},\ \zeta _{2}=\left({\dfrac {{\sqrt {2}}-\varepsilon u}{{\sqrt {2}}\varepsilon u+1}}\right)^{3},\\\zeta _{3}=\left({\dfrac {{\sqrt {2}}-\varepsilon ^{2}u}{{\sqrt {2}}\varepsilon ^{2}u+1}}\right)^{3}.\end{matrix}}$

(63)

‎Подстановка $S$ преобразует функции $\zeta _{0},\ \zeta _{1},\ \zeta _{2},\ \zeta _{3}$ в ${\bar {\zeta }}_{0},\ {\bar {\zeta }}_{1},\ {\bar {\zeta }}_{2},\ {\bar {\zeta }}_{3}$, причем:

${\bar {\zeta }}_{0}=\zeta _{0},\ {\bar {\zeta }}_{1}=\zeta _{2},\ {\bar {\zeta }}_{2}=\zeta _{3},\ {\bar {\zeta }}_{3}=\zeta _{1}.$

(64)

‎Следовательно, основная субституция $\sigma$ группы $\Gamma$ уравнения (61) такова:

$\sigma =(\zeta _{0})(\zeta _{1},\;\zeta _{2},\;\zeta _{3}).$

(65)

‎Подстановка ${\mathfrak {T}}$ преобразует функции $\zeta _{0},\ \zeta _{1},\ \zeta _{2},\ \zeta _{3}$ в ${\bar {\bar {\zeta }}}_{0},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{1},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{2},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{3}$, причем:

${\bar {\bar {\zeta }}}_{0}=[{\mathfrak {T}}(u)]^{3},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{1}=u^{3},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{2}=[{\mathfrak {T}}S{\mathfrak {T}}(u)]^{3},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{3}=[{\mathfrak {T}}S^{2}{\mathfrak {T}}(u)]^{3}.$

(66)

‎Из чертежа 28 видно, что подстановка $S{\mathfrak {T}}$ соответствует повороту сферы на угол ${\frac {2\pi }{3}}$ около оси, один из полюсов которой проектируется в точку $c$. Следовательно, подстановка $S{\mathfrak {T}}$ — третьего порядка:

$S{\mathfrak {T}}S{\mathfrak {T}}S{\mathfrak {T}}=1.$

(67)

‎Отсюда следует:

$\left.{\begin{array}{l}{\mathfrak {T}}S{\mathfrak {T}}=S^{2}{\mathfrak {T}}S^{2},\\{\mathfrak {T}}S^{2}{\mathfrak {T}}=S{\mathfrak {T}}S.\end{array}}\right\}$

(68)

‎Из формул (66) и (68) следует, что:

$\left.{\begin{array}{l}{\bar {\bar {\zeta }}}_{0}=\zeta _{1},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{1}=\zeta _{0},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{2}=[S^{2}{\mathfrak {T}}S^{2}(u)]^{3}=[{\mathfrak {T}}S^{2}(u)]^{3}=\zeta _{3},\\{\bar {\bar {\zeta }}}_{3}=[S{\mathfrak {T}}S(u)]^{3}=[{\mathfrak {T}}S(u)]^{3}=\zeta _{2}.\end{array}}\right\}$

(69)

Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/325 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/326 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/327 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/328 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/329 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/330 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/331 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/332 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/333 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/334 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/335 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/336 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/337 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/338 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/339 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/340 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/341 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/342 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/343 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/344 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/345 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/346 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/347 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/348 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/349 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/350 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/351 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/352 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/353 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/354 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/355 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/356 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/357 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/358 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/359 Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/360

Сноски

1. Весьма интересно то обстоятельство, что одну и ту же алгебраическую функцию $\zeta$ можно выражать различно, комбинируя различные пары функций, обладающих сказанными свойствами. В формуле (21) обе функции суть алгебраические по самому условию решаемой нами задачи, но можно подобрать пару трансцендентных функций, комбинация которых выражает ту же самую алгебраическую функцию. Таково решение уравнения 5-ой степени, предложенное Эрмитом.
   ‎Я не касаюсь этого интересного вопроса, чтобы не выйти за пределы, указываемые заглавием моей работы. Об этой задаче о трансцендентном решении уравнений я упоминал уже во введении и в главе IX.
2. Подстановка $S^{k}{\mathfrak {T}}$ — второго порядка. Она соответствует повороту сферы на угол $\pi$ около одной из осей, лежащих в плоскости основания двупирамиды.