Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/307

инваріантна относительно подстановокъ группы $G$. Поэтому всякая раціонально извѣстная функція величинъ (14) инваріантна относительно субституцій группы $\Gamma$. Сказанныя два свойства группы $\Gamma$ суть характерные признаки того, что группа $\Gamma$ есть группа Галуа для уравненія (4).

Условимся въ слѣдующей терминологіи:

1) Если каждая изъ подстановокъ группы $g$, будучи преобразована каждою изъ подстановокъ группы $G$, даетъ въ результатѣ подстановку группы $g$, то мы назовемъ по общепринятому группу $g$ особою частью группы $G$.

2) Если нѣкоторыя изъ подстановокъ группы $g$, будучи преобразованы каждою изъ подстановокъ группы $G$, даютъ въ результатѣ подстановку группы $g$, то мы назовемъ $g$ полуособою частью группы $G$.

3) Если ни одна изъ подстановокъ группы $g$ не обладаетъ сказаннымъ свойствомъ, то мы назовемъ $g$ неособою частью группы $G$.

Теорема 2. Если подгруппа $g$ есть неособая часть группы $G$, то группа $\Gamma$ соотвѣтствующей ей резольвенты—такого же порядка $N$, какъ и группа $G$.

Пусть $g$ есть неособая часть группы $G$. Мы видѣли, что каждой подстановкѣ группы $G$ соотвѣтствуетъ своя субституція группы $\Gamma$. Посмотримъ, не можетъ ли нѣсколькимъ различнымъ подстановкамъ группы $G$ соотвѣтствовать одна и та же субституція группы $\Gamma$.

Допустимъ, что двумъ различнымъ подстановкамъ $S$ и $S'$ группы $G$ соотвѣтствуетъ одна и та же субституція группы $\Gamma$.

Въ такомъ случаѣ подстановкѣ

$S^{-1}S',$

‎отличной отъ 1, соотвѣтствуетъ субституція 1.

Подстановка $S^{-1}S'$ есть одна изъ подстановокъ группы $G$; слѣдовательно она приводится къ виду:

$s_{i}\sigma _{j}.$

‎Будемъ различать два случая:

1) Индексъ $j$ отличенъ отъ 0,

Тот же текст в современной орфографии

инвариантна относительно подстановок группы $G$. Поэтому всякая рационально известная функция величин (14) инвариантна относительно субституций группы $\Gamma$. Сказанные два свойства группы $\Gamma$ суть характерные признаки того, что группа $\Gamma$ есть группа Галуа для уравнения (4).

Условимся в следующей терминологии:

1) Если каждая из подстановок группы $g$, будучи преобразована каждой из подстановок группы $G$, дает в результате подстановку группы $g$, то мы назовем по общепринятому группу $g$ особой частью группы $G$.

2) Если некоторые из подстановок группы $g$, будучи преобразованы каждой из подстановок группы $G$, дают в результате подстановку группы $g$, то мы назовем $g$ полуособой частью группы $G$.

3) Если ни одна из подстановок группы $g$ не обладает сказанным свойством, то мы назовем $g$ неособой частью группы $G$.

Теорема 2. Если подгруппа $g$ есть неособая часть группы $G$, то группа $\Gamma$ соответствующей ей резольвенты — такого же порядка $N$, как и группа $G$.

Пусть $g$ есть неособая часть группы $G$. Мы видели, что каждой подстановке группы $G$ соответствует своя субституция группы $\Gamma$. Посмотрим, не может ли нескольким различным подстановкам группы $G$ соответствовать одна и та же субституция группы $\Gamma$.

Допустим, что двум различным подстановкам $S$ и $S'$ группы $G$ соответствует одна и та же субституция группы $\Gamma$.

В таком случае подстановке

$S^{-1}S',$

‎отличной от 1, соответствует субституция 1.

Подстановка $S^{-1}S'$ есть одна из подстановок группы $G$; следовательно, она приводится к виду:

$s_{i}\sigma _{j}.$

‎Будем различать два случая:

1) Индекс $j$ отличен от 0,