Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/324

${\begin{matrix}\zeta _{0}=u^{3},\ \zeta _{1}=\left({\dfrac {{\sqrt {2}}-u}{{\sqrt {2}}u+1}}\right)^{3},\ \zeta _{2}=\left({\dfrac {{\sqrt {2}}-\varepsilon u}{{\sqrt {2}}\varepsilon u+1}}\right)^{3},\\\zeta _{3}=\left({\dfrac {{\sqrt {2}}-\varepsilon ^{2}u}{{\sqrt {2}}\varepsilon ^{2}u+1}}\right)^{3}.\end{matrix}}$

(63)

‎Подстановка $S$ преобразуетъ функціи $\zeta _{0},\ \zeta _{1},\ \zeta _{2},\ \zeta _{3}$ въ ${\bar {\zeta }}_{0},\ {\bar {\zeta }}_{1},\ {\bar {\zeta }}_{2},\ {\bar {\zeta }}_{3}$, при чемъ:

${\bar {\zeta }}_{0}=\zeta _{0},\ {\bar {\zeta }}_{1}=\zeta _{2},\ {\bar {\zeta }}_{2}=\zeta _{3},\ {\bar {\zeta }}_{3}=\zeta _{1}.$

(64)

‎Слѣдовательно, основная субституція $\sigma$ группы $\Gamma$ уравненія (61) такова:

$\sigma =(\zeta _{0})(\zeta _{1},\;\zeta _{2},\;\zeta _{3}).$

(65)

‎Подстановка ${\mathfrak {T}}$ преобразуетъ функціи $\zeta _{0},\ \zeta _{1},\ \zeta _{2},\ \zeta _{3}$ въ ${\bar {\bar {\zeta }}}_{0},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{1},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{2},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{3}$, при чемъ:

${\bar {\bar {\zeta }}}_{0}=[{\mathfrak {T}}(u)]^{3},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{1}=u^{3},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{2}=[{\mathfrak {T}}S{\mathfrak {T}}(u)]^{3},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{3}=[{\mathfrak {T}}S^{2}{\mathfrak {T}}(u)]^{3}.$

(66)

‎Изъ [[../../Глава IV/ДО#Черт. 28|чертежа 28]] видно, что подстановка $S{\mathfrak {T}}$ соотвѣтствуетъ повороту сферы на уголъ ${\frac {2\pi }{3}}$ около оси, одинъ изъ полюсовъ которой проектируется въ точку $c$. Слѣдовательно подстановка $S{\mathfrak {T}}$—третьяго порядка:

$S{\mathfrak {T}}S{\mathfrak {T}}S{\mathfrak {T}}=1.$

(67)

‎Отсюда слѣдуетъ:

$\left.{\begin{array}{l}{\mathfrak {T}}S{\mathfrak {T}}=S^{2}{\mathfrak {T}}S^{2},\\{\mathfrak {T}}S^{2}{\mathfrak {T}}=S{\mathfrak {T}}S.\end{array}}\right\}$

(68)

‎Изъ формулъ (66) и (68) слѣдуетъ, что:

$\left.{\begin{array}{l}{\bar {\bar {\zeta }}}_{0}=\zeta _{1},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{1}=\zeta _{0},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{2}=[S^{2}{\mathfrak {T}}S^{2}(u)]^{3}=[{\mathfrak {T}}S^{2}(u)]^{3}=\zeta _{3},\\{\bar {\bar {\zeta }}}_{3}=[S{\mathfrak {T}}S(u)]^{3}=[{\mathfrak {T}}S(u)]^{3}=\zeta _{2}.\end{array}}\right\}$

(69)

Тот же текст в современной орфографии

${\begin{matrix}\zeta _{0}=u^{3},\ \zeta _{1}=\left({\dfrac {{\sqrt {2}}-u}{{\sqrt {2}}u+1}}\right)^{3},\ \zeta _{2}=\left({\dfrac {{\sqrt {2}}-\varepsilon u}{{\sqrt {2}}\varepsilon u+1}}\right)^{3},\\\zeta _{3}=\left({\dfrac {{\sqrt {2}}-\varepsilon ^{2}u}{{\sqrt {2}}\varepsilon ^{2}u+1}}\right)^{3}.\end{matrix}}$

(63)

‎Подстановка $S$ преобразует функции $\zeta _{0},\ \zeta _{1},\ \zeta _{2},\ \zeta _{3}$ в ${\bar {\zeta }}_{0},\ {\bar {\zeta }}_{1},\ {\bar {\zeta }}_{2},\ {\bar {\zeta }}_{3}$, причем:

${\bar {\zeta }}_{0}=\zeta _{0},\ {\bar {\zeta }}_{1}=\zeta _{2},\ {\bar {\zeta }}_{2}=\zeta _{3},\ {\bar {\zeta }}_{3}=\zeta _{1}.$

(64)

‎Следовательно, основная субституция $\sigma$ группы $\Gamma$ уравнения (61) такова:

$\sigma =(\zeta _{0})(\zeta _{1},\;\zeta _{2},\;\zeta _{3}).$

(65)

‎Подстановка ${\mathfrak {T}}$ преобразует функции $\zeta _{0},\ \zeta _{1},\ \zeta _{2},\ \zeta _{3}$ в ${\bar {\bar {\zeta }}}_{0},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{1},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{2},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{3}$, причем:

${\bar {\bar {\zeta }}}_{0}=[{\mathfrak {T}}(u)]^{3},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{1}=u^{3},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{2}=[{\mathfrak {T}}S{\mathfrak {T}}(u)]^{3},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{3}=[{\mathfrak {T}}S^{2}{\mathfrak {T}}(u)]^{3}.$

(66)

‎Из чертежа 28 видно, что подстановка $S{\mathfrak {T}}$ соответствует повороту сферы на угол ${\frac {2\pi }{3}}$ около оси, один из полюсов которой проектируется в точку $c$. Следовательно, подстановка $S{\mathfrak {T}}$ — третьего порядка:

$S{\mathfrak {T}}S{\mathfrak {T}}S{\mathfrak {T}}=1.$

(67)

‎Отсюда следует:

$\left.{\begin{array}{l}{\mathfrak {T}}S{\mathfrak {T}}=S^{2}{\mathfrak {T}}S^{2},\\{\mathfrak {T}}S^{2}{\mathfrak {T}}=S{\mathfrak {T}}S.\end{array}}\right\}$

(68)

‎Из формул (66) и (68) следует, что:

$\left.{\begin{array}{l}{\bar {\bar {\zeta }}}_{0}=\zeta _{1},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{1}=\zeta _{0},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{2}=[S^{2}{\mathfrak {T}}S^{2}(u)]^{3}=[{\mathfrak {T}}S^{2}(u)]^{3}=\zeta _{3},\\{\bar {\bar {\zeta }}}_{3}=[S{\mathfrak {T}}S(u)]^{3}=[{\mathfrak {T}}S(u)]^{3}=\zeta _{2}.\end{array}}\right\}$

(69)