Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/308

2) Индексъ $j$ равенъ 0.

I. Пусть индексъ $j$ отличенъ отъ 0.

Возьмемъ корень:

$\zeta _{0}=A_{g}(u).$

(1')

‎уравненія (4).

Совершимъ надъ нимъ подстановку:

$s_{i}\sigma _{j}.$

‎Послѣ подстановки функція $\zeta _{0}$ переходитъ въ ${\bar {\zeta }}_{0}$, при чемъ:

$\zeta _{0}=A_{g}[s_{i}\sigma _{j}(u)].$

(15)

‎Такъ какъ функція $A_{g}(u)$ не мѣняется отъ подстановки $s_{i}$, то:

${\bar {\zeta }}_{0}=A_{g}[s_{i}\sigma _{j}(u)]=\zeta _{j}.$

(16)

‎Итакъ, субституція, соотвѣтствующая подстановкѣ

$S^{-1}S'=s_{i}\sigma _{j},$

‎мѣняетъ корень $\zeta _{0}$ на отличный отъ него корень $\zeta _{j}$.

Это противорѣчитъ сдѣланному ранѣе заключенію, что субституція, соотвѣтствующая подстановкѣ $S^{-1}S'$, есть 1.

II. Пусть индексъ $j$ равенъ 0:

$S^{-1}S'=s_{i}.$

‎Эта подстановка не мѣняетъ корня:

$\zeta _{0}=A_{g}(u).$

(1')

‎Возьмемъ какой нибудь изъ остальныхъ корней уравненія (4), напр.

$\zeta _{k}=A_{g}[\sigma _{k}(u)].$

(17)

‎Послѣ подстановки $S^{-1}S'=s_{i}$ этотъ корень перейдетъ въ ${\bar {\zeta }}_{k}$, при чемъ:

${\bar {\zeta }}_{k}=A_{g}[\sigma _{k}s_{i}(u)].$

(18)

‎Эта величина только въ томъ случаѣ равна $\zeta _{k}$ при произвольномъ $u$, если имѣетъ мѣсто символическое равенство вида:

Тот же текст в современной орфографии

2) Индекс $j$ равен 0.

I. Пусть индекс $j$ отличен от 0.

Возьмем корень:

$\zeta _{0}=A_{g}(u).$

(1')

‎уравнения (4).

Совершим над ним подстановку:

$s_{i}\sigma _{j}.$

‎После подстановки функция $\zeta _{0}$ переходит в ${\bar {\zeta }}_{0}$, причем:

$\zeta _{0}=A_{g}[s_{i}\sigma _{j}(u)].$

(15)

‎Так как функция $A_{g}(u)$ не меняется от подстановки $s_{i}$, то:

${\bar {\zeta }}_{0}=A_{g}[s_{i}\sigma _{j}(u)]=\zeta _{j}.$

(16)

‎Итак, субституция, соответствующая подстановке

$S^{-1}S'=s_{i}\sigma _{j},$

‎меняет корень $\zeta _{0}$ на отличный от него корень $\zeta _{j}$.

Это противоречит сделанному ранее заключению, что субституция, соответствующая подстановке $S^{-1}S'$, есть 1.

II. Пусть индекс $j$ равен 0:

$S^{-1}S'=s_{i}.$

‎Эта подстановка не меняет корня:

$\zeta _{0}=A_{g}(u).$

(1')

‎Возьмем какой-нибудь из остальных корней уравнения (4), напр.

$\zeta _{k}=A_{g}[\sigma _{k}(u)].$

(17)

‎После подстановки $S^{-1}S'=s_{i}$ этот корень перейдет в ${\bar {\zeta }}_{k}$, причем:

${\bar {\zeta }}_{k}=A_{g}[\sigma _{k}s_{i}(u)].$

(18)

‎Эта величина только в том случае равна $\zeta _{k}$ при произвольном $u$, если имеет место символическое равенство вида: