Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/310

Эта страница не была вычитана

тѣмъ, что корни его выражаются раціонально помощью формулы:

$\zeta =A_{g}(u)$

(1)

‎черезъ корни уравненія (3), разрѣшимаго въ гипергеометрическихъ функціяхъ.

Если мы припомнимъ, что корни уравненія (3) суть функціи Шварца

$u=s\left({\frac {1}{\lambda _{1}}},\;{\frac {1}{\lambda }},\;{\frac {1}{\lambda _{2}}},\;z\right),$

(20)

‎то замѣтимъ, что корни уравненія (4) выражаются такою формулою:

$\zeta =A_{g}\left[s\left({\frac {1}{\lambda _{1}}},\;{\frac {1}{\lambda }},\;{\frac {1}{\lambda _{2}}},\;z\right)\right].$

(21)

‎Итакъ, корни уравненія (4) представляются въ видѣ функціи отъ функціи перемѣннаго $z$ , при чемъ эта вторая, внутренняя функція есть многозначная функція Шварца, соотвѣтствующая группѣ $G$ , а наружная функція есть функція аутоморфная, обратная функціи Шварца, соотвѣтствующей подгруппѣ $g$ группы $G$ ^[1].

Теорема 4. Если подгруппа $g$ есть неособая часть группы $G$ , то группа субституцій $\Gamma$ можетъ быть составлена изъ двухъ основныхъ субституцій $\sigma$ и $\tau$ , соотвѣтствующихъ основнымъ подстановкамъ $S$ и ${\mathfrak {T}}$ группы $G$ .

↑ Весьма интересно то обстоятельство, что одну и ту же алгебраическую функцію $\zeta$ можно выражать различно, комбинируя различныя пары функцій, обладающихъ сказанными свойствами. Въ формулѣ (21) обѣ функціи суть алгебраическія по самому условію рѣшаемой нами задачи, но можно подобрать пару трансцендентныхъ функцій, комбинація которыхъ выражаетъ ту же самую алгебраическую функцію. Таково рѣшеніе уравненія 5-ой степени, предложенное Эрмитомъ.
‎Я не касаюсь этого интереснаго вопроса, чтобы не выдти за предѣлы, указываемыя заглавіемъ моей работы. Объ этой задачѣ о трансцендентномъ рѣшеніи уравненій я упоминалъ уже во [[../../Введение/ДО|введеніи]] и въ [[../../Глава IX/ДО|главѣ IX]].

Тот же текст в современной орфографии

тем, что корни его выражаются рационально с помощью формулы:

$\zeta =A_{g}(u)$

(1)

‎через корни уравнения (3), разрешимого в гипергеометрических функциях.

Если мы припомним, что корни уравнения (3) суть функции Шварца

$u=s\left({\frac {1}{\lambda _{1}}},\;{\frac {1}{\lambda }},\;{\frac {1}{\lambda _{2}}},\;z\right),$

(20)

‎то заметим, что корни уравнения (4) выражаются такой формулой:

$\zeta =A_{g}\left[s\left({\frac {1}{\lambda _{1}}},\;{\frac {1}{\lambda }},\;{\frac {1}{\lambda _{2}}},\;z\right)\right].$

(21)

‎Итак, корни уравнения (4) представляются в виде функции от функции переменной $z$ , причем эта вторая, внутренняя функция есть многозначная функция Шварца, соответствующая группе $G$ , а наружная функция есть функция автоморфная, обратная функции Шварца, соответствующей подгруппе $g$ группы $G$ ^[1].

Теорема 4. Если подгруппа $g$ есть неособая часть группы $G$ , то группа субституций $\Gamma$ может быть составлена из двух основных субституций $\sigma$ и $\tau$ , соответствующих основным подстановкам $S$ и ${\mathfrak {T}}$ группы $G$ .

↑ Весьма интересно то обстоятельство, что одну и ту же алгебраическую функцию $\zeta$ можно выражать различно, комбинируя различные пары функций, обладающих сказанными свойствами. В формуле (21) обе функции суть алгебраические по самому условию решаемой нами задачи, но можно подобрать пару трансцендентных функций, комбинация которых выражает ту же самую алгебраическую функцию. Таково решение уравнения 5-ой степени, предложенное Эрмитом.
‎Я не касаюсь этого интересного вопроса, чтобы не выйти за пределы, указываемые заглавием моей работы. Об этой задаче о трансцендентном решении уравнений я упоминал уже во введении и в главе IX.

[1] Весьма интересно то обстоятельство, что одну и ту же алгебраическую функцію $\zeta$ можно выражать различно, комбинируя различныя пары функцій, обладающихъ сказанными свойствами. Въ формулѣ (21) обѣ функціи суть алгебраическія по самому условію рѣшаемой нами задачи, но можно подобрать пару трансцендентныхъ функцій, комбинація которыхъ выражаетъ ту же самую алгебраическую функцію. Таково рѣшеніе уравненія 5-ой степени, предложенное Эрмитомъ.
‎Я не касаюсь этого интереснаго вопроса, чтобы не выдти за предѣлы, указываемыя заглавіемъ моей работы. Объ этой задачѣ о трансцендентномъ рѣшеніи уравненій я упоминалъ уже во [[../../Введение/ДО|введеніи]] и въ [[../../Глава IX/ДО|главѣ IX]].

[2] Весьма интересно то обстоятельство, что одну и ту же алгебраическую функцию $\zeta$ можно выражать различно, комбинируя различные пары функций, обладающих сказанными свойствами. В формуле (21) обе функции суть алгебраические по самому условию решаемой нами задачи, но можно подобрать пару трансцендентных функций, комбинация которых выражает ту же самую алгебраическую функцию. Таково решение уравнения 5-ой степени, предложенное Эрмитом.
‎Я не касаюсь этого интересного вопроса, чтобы не выйти за пределы, указываемые заглавием моей работы. Об этой задаче о трансцендентном решении уравнений я упоминал уже во введении и в главе IX.

[1]

[1]