Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/304

1) Зная группу $G$ уравненія (3), мы должны найти всѣ группы $g$, входящія въ $G$. Мы будемъ ихъ называть подгруппами (Untergruppen) по отношенію къ $G$.

2) Для каждой подгруппы $g$ мы должны составить соотвѣтствующую ей аутоморфную функцію:

$\zeta =A_{g}(u).$

(1)

‎3) Зная функцію (1), мы должны преобразовать уравненіе (3) подстановкою (1), при чемъ, какъ намъ извѣстно, получится уравненіе вида:

$F_{1}(\zeta ):F_{2}(\zeta ):F(\zeta )=z:z-1:1.$

(4)

‎Сказанные вопросы мы должны рѣшить для каждаго изъ четырехъ типовъ уравненія (3).

Прежде чѣмъ приступить къ выполненію намѣченнаго плана, займемся раскрытіемъ нѣкоторыхъ свойствъ резольвентъ вида (4).

Пусть группа $G$ уравненія (3)—порядка $N$, пусть въ группу $G$ входитъ подгруппа $g$ порядка $n$, а въ $g$ пусть входитъ подгруппа $g'$ порядка $n'$.

Положимъ:

${\frac {N}{n}}=l,\ {\frac {n}{n'}}=l\,'.$

(5)

‎Собственно аутоморфная функція, соотвѣтствующая группѣ $g$, такова:

$\zeta =A_{g}(u).$

(1)

‎Собственно аутоморфную функцію, соотвѣтствующую группѣ $g'$ мы обозначимъ такъ:

$\zeta \,'=A_{g'}(u).$

(6)

‎Такъ какъ функція $\zeta$ тоже аутоморфна относительно подстановокъ группы $g'$, то $\zeta$ есть раціональная функція $\zeta \,'$ степени ${\frac {n}{n'}}=l\,'$:

Тот же текст в современной орфографии

1) Зная группу $G$ уравнения (3), мы должны найти все группы $g$, входящие в $G$. Мы будем их называть подгруппами (Untergruppen) по отношению к $G$.

2) Для каждой подгруппы $g$ мы должны составить соответствующую ей автоморфную функцию:

$\zeta =A_{g}(u).$

(1)

‎3) Зная функцию (1), мы должны преобразовать уравнение (3) подстановкой (1), причем, как нам известно, получится уравнение вида:

$F_{1}(\zeta ):F_{2}(\zeta ):F(\zeta )=z:z-1:1.$

(4)

‎Сказанные вопросы мы должны решить для каждого из четырех типов уравнения (3).

Прежде чем приступить к выполнению намеченного плана, займемся раскрытием некоторых свойств резольвент вида (4).

Пусть группа $G$ уравнения (3) — порядка $N$, пусть в группу $G$ входит подгруппа $g$ порядка $n$, а в $g$ пусть входит подгруппа $g'$ порядка $n'$.

Положим:

${\frac {N}{n}}=l,\ {\frac {n}{n'}}=l\,'.$

(5)

‎Собственно автоморфная функция, соответствующая группе $g$, такова:

$\zeta =A_{g}(u).$

(1)

‎Собственно автоморфную функцию, соответствующую группе $g'$, мы обозначим так:

$\zeta \,'=A_{g'}(u).$

(6)

‎Так как функция $\zeta$ тоже автоморфна относительно подстановок группы $g'$, то $\zeta$ есть рациональная функция $\zeta \,'$ степени ${\frac {n}{n'}}=l\,'$: