Алгебраические уравнения, разрешимые в гипергеометрических функциях (Лахтин)/Глава VII

Алгебраические уравнения, разрешимые в гипергеометрических функциях — Глава VII. Решение уравнений, имеющих корнями отношения частных интегралов линейного дифференциального уравнения 2-го порядка
автор Л. К. Лахтин

§ 29. Критерий для решения вопроса о том, не служат ли корни данного алгебраического уравнения отношениями частных интегралов линейного дифференциального уравнения 2-го порядка  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

§ 30. Приведение уравнения к нормальному виду  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

§ 31. Решение в радикалах уравнений: двупирамидного, тетраэдрического и октаэдрического  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

§ 32. Невозможность решения икосаэдрического уравнения в радикалах  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

§ 33. Решение уравнений изучаемого класса в гипергеометрических функциях  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

---

Глава VII.

Решение уравнений, имеющих корнями отношения частных интегралов линейного дифференциального уравнения 2-го порядка.

§ 29. Критерии для решения вопроса о том, не служат ли корни данного алгебраического уравнения отношениями частных интегралов линейного дифференциального уравнения 2-го порядка.

Из главы II нам известно, что всякое алгебраическое уравнение, имеющее корнями частные интегралы линейного дифференциального уравнения 2-го порядка тождественными преобразованиями приводится к виду:

$H^{\lambda _{1}}(u):c'T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)={\frac {1}{c}}R(z):{\frac {1}{c}}R(z)-1:1,$

(1)

‎или:

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{f^{\lambda }(u)}}=R(z),$

(1')

‎причем многочлены $f(u),\ H(u),\ T(u)$, их степени $\nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$ и показатели $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ имеют уже известные нам значения.

Пусть дано алгебраическое уравнение:

$\psi (u,\;z)=0$

(2)

‎степени $N$, и спрашивается, не принадлежит ли оно к классу уравнений (1)?

Мы вправе предполагать, что уравнение (2) неприводимо, потому что иначе мы разбили бы его на несколько неприводимых уравнений и рассмотрели бы их в отдельности.

Если уравнение (2) принадлежит к одному из четырех типов: двупирамидному — степени $2m$, тетраэдрическому — степени 12, октаэдрическому — степени 24 или икосаэдрическому — степени 60, то степень уравнения (2) непременно четная. Отсюда:

Первое необходимое условие тождественности уравнений (2) и (1):

Степень $N$ уравнения (2) должна быть четная.

Если уравнение (2) может быть приведено к виду (1'), то оно во всяком случае должно приводиться к виду:

${\frac {\psi (u)}{\varphi (u)}}={\mathfrak {R}}(z),$

(3)

‎где $\psi (u)$ и $\varphi (u)$ суть целые рациональные взаимно простые многочлены, а ${\mathfrak {R}}(z)$ — рациональная функция $z$.

Отсюда:

Второе необходимое условие тождественности уравнений (2) и (1):

Уравнение (2) после переноса во вторую часть некоторых членов и деления на некоторую рациональную функцию $u$ и $z$ должно приводиться к виду:

${\frac {\psi (u)}{\varphi (u)}}={\mathfrak {R}}(z).$

(3)

‎Решить вопрос о том, выполняется ли это условие, можно совершенно элементарными способами.

Пусть это условие выполнено.

Убедившись в этом, мы в то же время находим функции $\psi (u)$ и $\varphi (u)$.

Преобразуя линейно обе части уравнения (1'), мы можем получить бесконечное число уравнений тождественных с (1'); все они будут такого вида:

${\frac {\alpha H^{\lambda _{1}}(u)+\beta f^{\lambda }(u)}{\gamma H^{\lambda _{1}}(u)+\delta f^{\lambda }(u)}}={\frac {\alpha R(z)+\beta }{\gamma R(z)+\delta }},$

(4)

‎где $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma ,\ \delta$ суть какие угодно числа, удовлетворяющие условию: $\alpha \delta -\beta \gamma$ отлично от 0.

Не трудно усмотреть, что уравнение (3) только в том случае может быть тождественно с уравнением (1'), когда оно принадлежит к числу уравнений (4), т. е. когда имеют место тождественные равенства:

$\left.{\begin{array}{l}\psi (u)=\alpha H^{\lambda _{1}}(u)+\beta f^{\lambda }(u),\\\varphi (u)=\gamma H^{\lambda _{1}}(u)+\delta f^{\lambda }(u).\end{array}}\right\}$

(5)

‎Посмотрим, как по данным многочленам $\psi (u)$ и $\varphi (u)$ найти многочлены $f(u)$ и $H(u)$ и убедиться в существовании тождеств (5).

Возьмем выражение:

$\Omega (u)=\psi (u){\frac {d\varphi (u)}{du}}-\varphi (u){\frac {d\psi (u)}{du}}.$

(6)

‎Подставив в это выражение формулы $\psi (u)$ и $\varphi (u)$, даваемые равенствами (5), находим:

${\begin{matrix}\Omega (u)=(\alpha \delta -\beta \gamma )\left[\lambda _{1}f(u){\dfrac {dH(u)}{du}}-\lambda H(u){\dfrac {df(u)}{du}}\right]\times \\\times \,f^{\lambda -1}(u)H^{\lambda _{1}-1}(u),\end{matrix}}$

(7)

‎или:

$\Omega (u)=N(\alpha \delta -\beta \gamma )f^{\lambda -1}(u)H^{\lambda _{1}-1}(u)T(u).$

(8)

‎Функция $\Omega (u)$ нам известна; степень $N$ уравнения (2) тоже известна; относительно показателей $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ и степеней $\nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$ функций $f(u),\ H(u),\ T(u)$ можно сделать не более двух предположений:

1) уравнение (2) может быть двупирамидным, и в таком случае числа $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2},\ \nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$ должны соответственно равняться:

${\frac {N}{2}},\ 2,\ 2,\ 2,\ {\frac {N}{2}},\ {\frac {N}{2}};$

2) если $N$ равно одному из чисел:

12, 24, 60,

‎то уравнение (2) может принадлежать к одному из типов: тетраэдрическому, октаэдрическому или икосаэдрическому, и тогда числа $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2},\ \nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$ получат значения соответствующие этому типу.

На основании только что приведенных соображений мы найдем одну или две системы значений, которые могут иметь числа $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2},\ \nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$.

Отсюда вытекает:

Третье необходимое условие тождественности уравнений (2) и (1):

Многочлен $\Omega (u)$ должен иметь:

$\nu$ корней $\lambda -1$-кратных,

$\nu _{1}$ корней $\lambda _{1}-1$-кратных,

$\nu _{2}$ корней простых.

Мы можем убедиться в выполнении этого условия, применяя обычный прием алгебры, служащий для отделения кратных корней^[1].

Пусть эти условия выполнились.

Убедившись в выполнении условия, мы в то же время находим многочлены $f(u),\ H(u),\ T(u)$ и узнаем, к которому из четырех типов может принадлежать уравнение (2).

Четвертое необходимое условие тождественности уравнений (1) и (2):

Если уравнение (2) тетраэдрическое, октаэдрическое или икосаэдрическое, то найденная функция $f(u)$ должна удовлетворять условию:

$(f,\;f)^{4}=0.$

‎Если уравнение (2) двупирамидное, то многочлен $f(u)$ должен быть второй степени.

Пятое необходимое условие:

Если уравнение (2) принадлежит к одному из типов: тетраэдрическому, октаэдрическому или икосаэдрическому, то найденная функция $T(u)$ должна быть гессианом найденной функции $f(u)$, а найденная функция $T(u)$ должна быть функциональным определителем $f(u)$ и $H(u)$.

Если уравнение (2) принадлежит к двупирамидному типу, то должны иметь место тождества:

$H(u)={\frac {f_{1}^{m}+f_{2}^{m}}{2}},\ T(u)={\frac {f_{1}^{m}-f_{2}^{m}}{2}},$

‎тде $f_{1}$ и $f_{2}$ суть два линейных множителя найденного квадратного многочлена $f(u)$:

$f(u)=f_{1}f_{2}.$^[2]

‎Шестое необходимое условие:

Между найденными многочленами $\psi (u),\ \varphi (u),\ f(u),\ H(u)$ должна иметь место тождественная зависимость:

$\left.{\begin{array}{l}\psi (u)=\alpha H^{\lambda _{1}}(u)+\beta f^{\lambda }(u),\\\varphi (u)=\gamma H^{\lambda _{1}}(u)+\delta f^{\lambda }(u).\end{array}}\right\}$

(5)

‎Убедившись в выполнении этого условия, мы в то же время находим коэффициенты $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma ,\ \delta$. ‎Имея величины этих коэффициентов, мы можем в действительности преобразовать уравнение (2) в (1') и в (1).

Из сказанного видно, что приведенные шесть условий необходимы и достаточны для того, чтобы уравнение (2) имело корнями отношения частных интегралов линейного дифференциального уравнения 2-го порядка.

Пример.

Дано уравнение:

$u^{3}(u+1)^{3}+3u(u+1)+1+zu^{2}(u+1)^{2}=0.$

(9)

‎Спрашивается, не принадлежит ли оно к изучаемому нами классу уравнений?

Степень уравнения (9) равна 6 — числу четному. Следовательно, первое условие выполняется.

Уравнение (9) может принадлежать лишь к двупирамидному типу.

Приводим уравнение (9) к виду:

${\frac {u^{3}(u+1)^{3}+3u(u+1)+1}{u^{2}(u+1)^{2}}}=-z.$

(10)

‎Второе условие выполнено.

Сохраняя прежние обозначения, находим:

$\left.{\begin{array}{l}\psi (u)=u^{3}(u+1)^{3}+3u(u+1)+1,\\\varphi (u)=u^{2}(u+1)^{2}.\end{array}}\right\}$

(11)

‎Отсюда:

$\Omega (u)=u(u+1)(2u+1)(u^{2}+u-2)(u^{2}+u+1)^{2}.$

(12)

‎Этот многочлен имеет два двукратных корня.

Условие третье выполнено.

Первичная функция $f(u)$ такова:

$f(u)=u^{2}+u+1.$

(13)

‎Условие четвертое выполнено.

Линейные множители многочлена $f(u)$ таковы:

$f_{1}=u-\varepsilon ,\ f_{2}=u-\varepsilon ^{2},$ где $\varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{3}}.$

(14)

‎Функции $H(u)$ и $T(u)$ таковы:

$\left.{\begin{array}{l}H(u)={\dfrac {f_{1}^{3}+f_{2}^{3}}{2}}={\dfrac {1}{2}}(2u+1)(u^{2}+u-2),\\T(u)={\dfrac {f_{1}^{3}-f_{2}^{3}}{2}}=-{\dfrac {i{\sqrt {3}}}{2}}u(u+1).\end{array}}\right\}$

(15)

‎Действительно, функция $\Omega (u)$ разнится от

$f^{2}(u)H(u)T(u)$

‎только постоянным множителем.

В то же время мы видим, что функции:

$f(u),\ H(u),\ T(u)$

‎удовлетворяют условию пятому.

Подставив выражения (13) и (15) в равенства:

$\left.{\begin{array}{l}\psi (u)=\alpha H^{2}(u)+\beta f^{3}(u),\\\varphi (u)=\gamma H^{2}(u)+\delta f^{3}(u),\end{array}}\right\}$

(16)

‎находим:

$\alpha ={\frac {4}{9}},\ \beta ={\frac {5}{9}},\ \gamma =-{\frac {4}{27}},\ \delta ={\frac {4}{27}}.$

(17)

‎Условие шестое выполнено.

Следовательно, уравнение (9) двупирамидное.

Из формул (16), (17), (11) и (10) следует, что его можно представить в таком виде:

${\frac {4H^{2}(u)+5f^{3}(u)}{H^{2}(u)-f^{3}(u)}}={\frac {4}{3}}z,$

(18)

‎где $H(u)$ и $f(u)$ даются формулами (13) и (15).

Из уравнения (18) следует:

${\frac {H^{2}(u)}{f^{3}(u)}}={\frac {4z+15}{4z-12}},$

(19)

‎или, наконец:

$H^{2}(u):T^{2}(u):f^{3}(u)=4z+15:27:4z-12,$

(20)

‎где $H(u),\ T(u)$ и $f(u)$ имеют значения, даваемые формулами (13) и (15).

§ 30. Приведение уравнения к нормальному виду.

Применяя приемы предыдущего параграфа, мы можем всякое уравнение изучаемого нами класса привести к виду (1).

Затем мы можем его несколько упростить по виду, приняв:

${\frac {1}{c}}R(z)$

‎за новую независимую переменную (в главе ІІ-ой мы ее обозначали буквой $t$).

Для простоты (как мы уже делали раньше) мы обозначим новую переменную той же буквой $z$ и представим уравнение (1) в таком виде:

$H^{\lambda _{1}}(u):c'T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)=z:z-1:1.$

(21)

‎Вообще говоря, уравнение (21) не будет нормального вида; но мы можем утверждать, что оно непременно эквивалентно нормальному уравнению.

Посмотрим, как найти ту линейную подстановку, которая преобразует данное уравнение в нормальное.

Для определенности мы будем изображать данное нам алгебраическое уравнение так:

${\bar {H}}^{\lambda _{1}}({\bar {u}}):{\bar {c}}'{\bar {T}}^{\lambda _{2}}({\bar {u}}):{\bar {c}}{\bar {f}}^{\lambda }({\bar {u}})=z:z-1:1,$

(22)

‎а для нормального уравнения сохраним прежние обозначения:

$H^{\lambda _{1}}(u):c'T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)=z:z-1:1.$

(21)

‎Функции ${\bar {H}}({\bar {u}}),\ {\bar {T}}({\bar {u}}),\ {\bar {f}}({\bar {u}})$ и постоянные ${\bar {c}}',\ {\bar {c}}$ нам даны, нормальные функции $H(u),\ T(u),\ f(u)$ и постоянные $c'$ и $c$ найдены нами в главе V.

Неизвестные ${\bar {u}}$ и $u$ связаны между собой линейной зависимостью:

${\bar {u}}={\frac {pu+q}{ru+s}}.$

(23)

‎Задача наша состоит в нахождении постоянных коэффициентов:

$p,\ q,\ r,\ s.$

‎Пользуясь произволом одного из этих коэффициентов, мы можем на них наложить условие:

$ps-qr=1.$

(24)

‎Дадим величине ${\bar {u}}$ какое-нибудь произвольное значение ${\bar {a}}$ и определим соответствующее ему значение $z$ из уравнения (22); пусть при ${\bar {u}}={\bar {a}}$ переменная $z$ равна $\alpha$.

В таком случае:

$\alpha ={\frac {{\bar {H}}^{\lambda _{1}}({\bar {a}})}{{\bar {c}}{\bar {f}}^{\lambda }({\bar {a}})}}.$

(25)

‎Подставив значение $z=\alpha$ в уравнение (21), находим:

$\alpha ={\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}.$

(26)

‎Положим, что нам удалось решить это нормальное уравнение и пусть один из корней его есть:

$u=a.$

‎В таком случае между величинами $a$ и ${\bar {a}}$ существует зависимость (23):

${\bar {a}}={\frac {pa+q}{ra+s}}.$

(27)

‎Из уравнений (21) и (22) следует:

${\frac {{\bar {H}}^{\lambda _{1}}({\bar {u}})}{{\bar {c}}{\bar {f}}^{\lambda }({\bar {u}})}}={\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}.$

(28)

‎Дифференцируем обе части этого уравнения по $u$:

${\begin{matrix}{\dfrac {\left(\lambda _{1}{\bar {f}}({\bar {u}}){\dfrac {d{\bar {H}}({\bar {u}})}{du}}-\lambda {\bar {H}}({\bar {u}}){\dfrac {d{\bar {f}}({\bar {u}})}{du}}\right){\bar {H}}^{\lambda _{1}-1}({\bar {u}})}{{\bar {c}}{\bar {f}}^{\lambda +1}({\bar {u}})}}{\dfrac {d{\bar {u}}}{du}}=\\={\dfrac {\left(\lambda _{1}f(u){\dfrac {dH(u)}{du}}-\lambda H(u){\dfrac {df(u)}{du}}\right)H^{\lambda _{1}-1}(u)}{cf^{\lambda +1}(u)}},\end{matrix}}$

(29)

‎или:

${\frac {{\bar {T}}({\bar {u}})}{{\bar {f}}({\bar {u}}){\bar {H}}({\bar {u}})}}{\frac {d{\bar {u}}}{du}}={\frac {T(u)}{f(u)H(u)}},$

‎откуда:

${\frac {d{\bar {u}}}{du}}={\frac {T(u){\bar {f}}({\bar {u}}){\bar {H}}({\bar {u}})}{{\bar {T}}({\bar {u}})f(u)H(u)}}.$

(30)

‎Дифференцируя это равенство по $u$, мы можем найти выражение:

${\frac {d^{2}{\bar {u}}}{du^{2}}}$

‎в функциях $u$ и ${\bar {u}}$.

Подставив в полученных выражениях ${\frac {d{\bar {u}}}{du}},\ {\frac {d^{2}{\bar {u}}}{du^{2}}}$ величины:

$u=a,\ {\bar {u}}={\bar {a}},$

‎найдем:

$\left({\frac {d{\bar {u}}}{du}}\right)_{z=\alpha }=A,\ \left({\frac {d^{2}{\bar {u}}}{du^{2}}}\right)_{z=\alpha }=B,$

(31)

‎где $A$ и $B$ суть некоторые известные числа.

Дифференцируя два раза по $u$ уравнение (23), находим:

${\frac {d{\bar {u}}}{du}}={\frac {1}{(ru+s)^{2}}},$

(32)

${\frac {d^{2}{\bar {u}}}{du^{2}}}={\frac {2r}{(ru+s)^{3}}}.$

(33)

‎Подставив в эти равенства значения:

$u=a,\ {\frac {d{\bar {u}}}{du}}=A,\ {\frac {d^{2}{\bar {u}}}{du^{2}}}=B,$

‎находим:

$\left.{\begin{array}{l}A(ru+s)^{2}=1,\\B(ru+s)^{3}=-2r.\end{array}}\right\}$

(34)

Из уравнений (24), (27), (34) мы определим четыре искомых коэффициента:

$p,\ q,\ r,\ s.$

‎Итак, для приведения уравнения (22) к нормальному виду (21) необходимо решить одно нормальное уравнение (26) того же типа.

Решив уравнение (21), мы будем в состоянии найти корни уравнения (22): корни этих уравнений связаны между собой линейной зависимостью (23).

Следовательно, для решения уравнения общего вида (22) необходимо решить два нормальных уравнения того же типа (26) и (21).

Задача о решении уравнения общего вида приводится, таким образом, к задаче о решении нормального уравнения того же типа.

В следующих параграфах мы займемся вопросом о решении нормальных уравнений.

§ 31. Решение в радикалах уравнений: двупирамидиаго, тетраэдрического и октаэдрического.

Мы уже упоминали в главе IV, что уравнения: тетраэдрическое и октаэдрическое разрешимы в радикалах. Двупирамидное уравнение в нормальной форме разрешимо в радикалах совершенно элементарным способом.

Найдем эти решения.

Возьмем нормальные уравнения:

1) $\left({\frac {u^{m}+1}{2}}\right)^{2}:\left({\frac {u^{m}-1}{2}}\right)^{2}:u^{m}=z_{\text{д}}:z_{\text{д}}-1:1$ двупирамидное,	(35)
2) $\left({\frac {u^{2}+1}{2}}\right)^{2}:\left({\frac {u^{2}-1}{2}}\right)^{2}:u^{2}=z_{\text{ч}}:z_{\text{ч}}-1:1$ четверичное,	(36)
${\begin{matrix}\left.{\begin{array}{l}3)\ (u^{4}-2i{\sqrt {3}}u^{2}+1)^{3}:-12i{\sqrt {3}}(u^{5}-u)^{2}:\\\quad :(u^{4}+2i{\sqrt {3}}u^{2}+1)^{3}=z_{\text{т}}:z_{\text{т}}-1:1\end{array}}\right\}&{\begin{matrix}{\text{тетраэдри-}}\\{\text{ ческое,}}\end{matrix}}\end{matrix}}$	(37)
${\begin{matrix}\left.{\begin{array}{l}4)\ (u^{8}+14u^{4}+1)^{3}:(u^{12}-33u^{8}-33u^{4}+1)^{2}:\\\quad :108(u^{5}-u)^{4}=z_{\text{о}}:z_{\text{о}}-1:1\end{array}}\right\}&{\begin{matrix}{\text{октаэдри-}}\\{\text{ ческое.}}\end{matrix}}\end{matrix}}$	(38)

Пусть параметры $z_{\text{ч}},\ z_{\text{т}},\ z_{\text{о}}$ выбраны так, что уравнения (36), (37), (38) имеют общий корень $u$.

I. Двупирамидное уравнение.

Решение двупирамидного уравнения не представляет никаких затруднений: написав это уравнение в форме:

$\left({\frac {u^{m}+1}{u^{m}-1}}\right)^{2}={\frac {z_{\text{д}}}{z_{\text{д}}-1}},$

(39)

‎мы находим, что

$u={\sqrt[{m}]{\frac {\surd {\overline {z_{\text{д}}{\vphantom {1}}}}+\surd {\overline {z_{\text{д}}-1}}}{\surd {\overline {z_{\text{д}}{\vphantom {1}}}}-\surd {\overline {z_{\text{д}}-1}}}}},$

(40)

‎или:

$u={\sqrt[{m}]{(\surd {\overline {z_{\text{д}}{\vphantom {1}}}}+\surd {\overline {z_{\text{д}}-1}})^{2}}}.$

(41)

‎Все корни уравнения (35) выражаются $2m$-значной функцией (41).

II. Четверичное уравнение.

Положив в формуле (41) $m=2$, находим выражения корней четверичного уравнения (36):

$u=\surd {\overline {z_{\text{ч}}{\vphantom {1}}}}+\surd {\overline {z_{\text{ч}}-1}}.$

(42)

III. Тетраэдрическое уравнение.

Возьмем тождества (63) главы VI:

$\left.{\begin{array}{l}f_{\text{т}}(u)=4H_{\text{ч}}^{2}(u)+4\varepsilon f_{\text{ч}}^{2}(u),\\H_{\text{т}}(u)=4H_{\text{ч}}^{2}(u)+4\varepsilon ^{2}f_{\text{ч}}^{2}(u),\\{\text{где}}\ \varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{3}}.\end{array}}\right\}$

(43)

‎Из этих тождеств находим:

${\frac {H_{\text{т}}^{3}(u)}{f_{\text{т}}^{3}(u)}}=\left({\frac {{\dfrac {H_{\text{ч}}^{2}(u)}{f_{\text{ч}}^{2}(u)}}+\varepsilon ^{2}}{{\dfrac {H_{\text{ч}}^{2}(u)}{f_{\text{ч}}^{2}(u)}}+\varepsilon }}\right)^{3},$

(44)

‎или, приняв во внимание уравнения (36) и (37):

$z_{\text{т}}=\left({\frac {z_{\text{ч}}+\varepsilon ^{2}}{z_{\text{ч}}+\varepsilon }}\right)^{3},$

(45)

‎откуда:

$z_{\text{ч}}={\frac {\varepsilon \sideset {^{3}}{}\!\!\!\!\!\surd {\overline {z_{\text{т}}}}-\varepsilon ^{2}}{1-\sideset {^{3}}{}\!\!\!\!\!\surd {\overline {z_{\text{т}}}}}}.$

(46)

‎Подставив это выражение $z_{\text{ч}}$ в формулу (42), находим выражение корня $u$ тетраэдрического уравнения (37):

$u={\frac {{\sqrt {{\vphantom {\Big |}}\varepsilon \sideset {^{3}}{}\!\!\!\!\!\surd {\overline {z_{\text{т}}}}-\varepsilon ^{2}}}+{\sqrt {{\vphantom {\Big |}}-\varepsilon ^{2}\sideset {^{3}}{}\!\!\!\!\!\surd {\overline {z_{\text{т}}}}+\varepsilon }}}{\sqrt {{\vphantom {\Big |}}1-\sideset {^{3}}{}\!\!\!\!\!\surd {\overline {z_{\text{т}}}}}}}.$

(47)

‎Все 12 корней тетраэдрического уравнения (37) выражаются значениями 12-значной функции (47).

IV. Октаэдрическое уравнение.

Возьмем тождества (55) и (56) главы VI:

$\left.{\begin{array}{l}H_{\text{о}}(u)=f_{\text{т}}(u)H_{\text{т}}(u),\\f_{\text{о}}(u)=T_{\text{т}}(u).\end{array}}\right\}$

(48)

‎Из тождеств (48) следует:

${\frac {H_{\text{о}}^{3}(u)}{108f_{\text{о}}^{4}(u)}}={\frac {f_{\text{т}}^{3}(u)H_{\text{т}}^{3}(u)}{108T_{\text{т}}^{4}(u)}},$

(49)

‎или, принимая во внимание уравнения (37) и (38):

$z_{\text{о}}=-{\frac {4z_{\text{т}}}{(z_{\text{т}}-1)^{2}}},$

(50)

‎откуда:

$z_{\text{т}}={\frac {z_{\text{о}}-2+2\surd {\overline {1-z_{\text{о}}}}}{z_{\text{о}}}}.$

(51)

‎Подставив это выражение $z_{\text{т}}$ в формулу (47), находим выражение корня $u$ октаэдрического уравнения (38):

${\begin{matrix}u=\\={\dfrac {{\sqrt {\varepsilon {\sqrt[{3}]{z_{\text{о}}-2+2\surd {\overline {1-z_{\text{о}}}}}}-\varepsilon ^{2}\sideset {^{3}}{}\!\!\!\!\!\surd {\overline {z_{\text{о}}}}}}+{\sqrt {-\varepsilon \sideset {^{3}}{}\!\!\!\!\!\surd {\overline {z_{\text{о}}}}-\varepsilon ^{2}{\sqrt[{3}]{z_{\text{о}}-2+2\surd {\overline {1-z_{\text{о}}}}}}}}}{\sqrt {\sideset {^{3}}{}\!\!\!\!\!\surd {\overline {z_{\text{о}}}}-{\sqrt[{3}]{z_{\text{о}}-2+2\surd {\overline {1-z_{\text{о}}}}}}}}}.\end{matrix}}$

(52)

‎Все 24 корня октаэдрического уравнения (38) выражаются 24-значной функцией (52).

§ 32. Невозможность решения икосаэдрического уравнения в радикалах.

Возьмем два уравнения:

${\frac {f_{\text{о}}^{''\,2}(u)}{f_{\text{и}}(u)}}=\zeta ,$

(53)

$H_{\text{и}}^{3}(u):T_{\text{и}}^{2}(u):-1728f_{\text{и}}^{3}(u)=z:z-1:1.$

(54)

‎Возьмем тождества (65') и (67) главы VI:

$f_{\text{о}}''^{\,2}(u)={\frac {i}{12{\sqrt {3}}}}[H_{\text{т}}''^{\,3}(u)-f_{\text{т}}''^{\,3}(u)],$

(55)

$f_{\text{и}}(u)=hH_{\text{т}}''^{\,3}(u)+kf_{\text{т}}''^{\,3}(u).$

(56)

‎На основании этих тождеств мы вправе сказать, что уравнение (53) есть тетраэдрическое уравнение третьего нормального вида.

Уравнение (54) есть, как мы знаем, нормальное икосаэдрическое уравнение.

Пусть переменные $z$ и $\zeta$ выбраны так, что уравнения (53) и (54) имеют общий корень $u$.

Возьмем тождества (73) и (75) главы VI:

$T_{\text{и}}(u)=[f_{\text{о}}''^{\,4}(u)-10f_{\text{о}}''^{\,2}(u)f_{\text{и}}(u)+45f_{\text{и}}^{2}(u)]f''_{\text{о}}(u),$

(57)

$H_{\text{и}}(u)=[f_{\text{о}}''^{\,2}(u)-3f_{\text{и}}(u)]H''_{\text{о}}(u),$

(58)

$H_{\text{о}}''^{\,3}(u)=64f_{\text{и}}^{2}(u)-11f_{\text{и}}(u)f_{\text{о}}''^{\,2}(u)+f_{\text{о}}''^{\,4}(u).$

(59)

‎Из тождеств (58) и (59) следует:

${\frac {H_{\text{и}}^{3}(u)}{f_{\text{и}}^{5}(u)}}=\left\{{\frac {f_{\text{о}}''^{\,2}(u)}{f_{\text{и}}(u)}}-3\right\}^{3}\left\{64-11{\frac {f_{\text{о}}''^{\,2}(u)}{f_{\text{и}}(u)}}+{\frac {f_{\text{о}}''^{\,4}(u)}{f_{\text{и}}^{2}(u)}}\right\},$

‎или, принимая во внимание уравнения (53) и (54):

$-1728z=(\zeta -3)^{3}(64-11\zeta +\zeta ^{2}).$

(60)

‎Таким же образом из тождества (57), принимая во внимание уравнения (53) и (54), находим:

$-1728(z-1)=(\zeta ^{2}-10\zeta +45)^{2}\zeta .$

(61)

‎Соединяя вместе уравнения (60) и (61), можем написать:

$(\zeta -2)^{3}(64-11\zeta +\zeta ^{2}):\zeta (\zeta ^{2}-10\zeta +45)^{2}:-1728=z:z-1:1.$

(62)

‎Идя тем же путем, которым мы шли в § 31, мы должны были бы для решения икосаэдрического уравнения (54) поступить так:

1) Решить тетраэдрическое уравнение (53) — его, как мы знаем, можно решить в радикалах.

2) Выразить из уравнения (62) величину $\zeta$, как явную функцию $z$.

3) Подставить полученное выражение $\zeta$ в выражение корня и тетраэдрического уравнения (53). Полученное таким образом выражение и будет корнем икосаэдрического уравнения (54).

Не трудно усмотреть, что путь этот для икосаэдрического уравнения неприменим, потому что уравнение (62) есть уравнение 5-ой степени.

Ниже, в главе X, мы убедимся в том, что уравнение 5-ой степени (62) не разрешимо в радикалах^[3]. Поэтому и икосаэдрическое уравнение (54) не разрешимо в радикалах.

§ 33. Решение уравнений изучаемого класса в гипергеометрическвх функциях.

Пусть дано нормальное уравнение:

$H^{\lambda _{1}}(u):c'T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)=z:z-1:1.$

(21)

‎Мы видели в главе II, что корни его суть отношения частных интегралов гипергеометрического уравнения

$z(1-z){\frac {d^{2}y}{ds^{2}}}+[\gamma -(\alpha +\beta +1)z]{\frac {dy}{ds}}-\alpha \beta y=0,$

(63)

причем значения параметров $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ таковы:

${\begin{array}{r|c|c|c|c|}\hline &{\begin{matrix}{\text{Двупирамид-}}\\{\text{ное.}}\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\text{Тетраэдриче-}}\\{\text{ское.}}\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\text{Октаэдриче-}}\\{\text{ское.}}\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\text{Икосаэдри-}}\\{\text{ческое.}}\end{matrix}}\\\hline \alpha =&{\dfrac {1}{2m}}&{\dfrac {1}{4}}&{\dfrac {5}{24}}&{\dfrac {11}{60}}\\\hline \beta =&-{\dfrac {1}{2m}}&-{\dfrac {1}{12}}&-{\dfrac {1}{24}}&-{\dfrac {1}{60}}\\\hline \gamma =&{\dfrac {1}{2}}&{\dfrac {2}{3}}&{\dfrac {2}{3}}&{\dfrac {2}{3}}\\\hline \end{array}}$

(64)

Обозначив через $y',\ y''$ два линейно независимых частных интеграла уравнения (63), мы можем всякий корень уравнения (21) представить в таком виде:

$u={\frac {py'+qy''}{ry'+sy''}},$

(65)

‎где $p,\ q,\ r,\ s$ суть некоторые постоянные числа.

Займемся вычислением этих постоянных для нормальных уравнений тетраэдрического, октаэдрического и икосаэдрического типов^[4].

Мы начнем с икосаэдрического уравнения, как наиболее для нас важного.

В вычислениях мы будем пользоваться формулами и обозначениями § 9.

I. Икосаэдрическое уравнение.

${\begin{matrix}(u^{20}-228u^{15}+494u^{10}+228u^{5}+1)^{3}:(u^{30}+522u^{25}-10005u^{20}\,-\\-\,10005u^{10}-522u^{5}+1)^{2}:-1728u^{5}(u^{10}+11u^{5}-1)^{5}=z:z-1:1.\end{matrix}}$

(54')

‎Параметры $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ гипергеометрического уравнения, соответствующие рассматриваемому случаю, таковы:

$\alpha ={\frac {11}{60}},\ \beta =-{\frac {1}{60}},\ \gamma ={\frac {2}{3}}.$

‎Подставив эти значения параметров $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ в формулы (46) и (48) параграфа 9, находим:

$\left.{\begin{array}{l}y_{1}=F\left({\dfrac {11}{60}},\;-{\dfrac {1}{60}},\;{\dfrac {2}{3}},\;z\right),\\y_{2}=z^{\frac {1}{3}}F\left({\dfrac {31}{60}},\;{\dfrac {19}{60}},\;{\dfrac {4}{3}},\;z\right),\end{array}}\right\}$

(66)

$\left.{\begin{array}{l}y_{5}=z^{-{\frac {11}{60}}}F\left({\dfrac {11}{60}},\;{\dfrac {31}{60}},\;{\dfrac {6}{5}},\;{\dfrac {1}{z}}\right),\\y_{6}=z^{\frac {1}{60}}F\left(-{\dfrac {1}{60}},\;{\dfrac {19}{60}},\;{\dfrac {4}{5}},\;{\dfrac {1}{z}}\right).\end{array}}\right\}$

(67)

‎Область сходимости рядов (66) есть круг, описанный из начала координат радиусом, равным 1. На самом круге ряды остаются сходящимися, хотя сходимость их медленная. Площадь этого круга мы по-прежнему назовем областью I. Областью сходимости рядов (67) служит вся плоскость, за исключением области I. Ряды остаются сходящимися и на границе этой области: на окружности круга, описанного из начала координат радиусом, равным 1. Область сходимости рядов (67) мы по-прежнему будем называть областью III.

Положив в формуле (65):

$y'=y_{5},\ y''=y_{6},$

‎мы представим корни икосаэдрического уравнения (54') в таком виде:

$u={\frac {py_{5}+qy_{6}}{ry_{5}+sy_{6}}}.$

(68)

‎При надлежащем выборе коэффициентов $p,\ q,\ r,\ s$ формула (68) способна изобразить каждый корень икосаэдрического уравнения.

Корни икосаэдрического уравнения, как мы знаем, на плоскости переменной $u$ изображаются точками, соответственными относительно четырехугольников икосаэдрической сети. Условимся буквой $u$ обозначать тот корень икосаэдрического уравнения, который соответствует основному четырехугольнику $0abc$ (черт. I) сети, и выберем постоянные

$p,\ q,\ r,\ s$

‎так, чтобы формула (68) изображала именно этот корень $u$ икосаэдрического уравнения.

Из икосаэдрического уравнения (54') видно, что в области точки $z=\infty$ корень $u$ разлагается в ряд такого вида:

$u={\frac {1}{12^{\frac {3}{5}}}}z^{-{\frac {1}{5}}}+\ldots$

(69)

‎Сравнивая этот ряд с формулой (68), где $y_{5}$ и $y_{6}$ имеют величины, даваемые формулами (67), мы находим, что для тождественности формул (69) и (68) коэффициенты

$p,\ q,\ r,\ s$

‎должны удовлетворять таким условиям:

$q=r=0,\ {\frac {p}{s}}={\frac {1}{12^{\frac {3}{5}}}}.$

‎После подстановки этих величин в формулу (68) и после замены $y_{5}$ и $y_{6}$ их выражениями (67), мы найдем, что в области III корень и выражается формулой:

$u={\frac {1}{12^{\frac {3}{5}}}}{\frac {F\left({\dfrac {11}{60}},\;{\dfrac {31}{60}},\;{\dfrac {6}{5}},\;{\dfrac {1}{z}}\right)}{F\left(-{\dfrac {1}{60}},\;{\dfrac {19}{60}},\;{\dfrac {4}{5}},\;{\dfrac {1}{z}}\right)}}z^{-{\frac {1}{5}}}.$

(70)

‎Таково выражение корня $u$ в области III, т. е. при

$|z|\geqslant 1.$

‎Посмотрим, каково выражение того же корня в области I.

Положив в формуле (65):

$y'=y_{1},\ y''=y_{2},$

‎мы представим корень $u$ в таком виде:

$u={\frac {py_{1}+qy_{2}}{ry_{1}+sy_{2}}},$

(71)

‎где $p,\ q,\ r,\ s$ имеют другие значения, чем прежде.

Займемся их определением.

В § 10, при доказательстве теоремы 3 главы III, мы видели, что когда точка $z$ идет по действительной оси справа влево и подходит к точке 0, точка $u$ движется по стороне треугольника сети — стороне, обозначенной на чертеже 4 буквами $u_{1}u_{0}$, а в рассматриваемом случае на черт. I буквами $bc$, и подходит к соответствующей вершине треугольника — вершине, обозначенной на черт. I буквой $c$. Касательная к дуге окружности $bc$ в точке $c$ наклонена к действительной оси плоскости под углом ${\frac {23}{15}}\pi$.

Из этих соображений и из вида икосаэдрического уравнения (54') не трудно усмотреть, что в области точки $z=0$ корень $u$ разлагается в ряд вида:

$u=he^{\frac {\pi i}{5}}+ke^{{\frac {23}{15}}\pi i}z^{\frac {1}{3}}+\ldots ,$

(72)

‎где $h$ есть расстояние точки $c$ от начала координат, т. е. модуль количества, изображаемого точкой $c$, а $k$ — некоторое действительное положительное число.

Займемся определением постоянных $h$ и $k$.

Из чертежа I видно, что точка $c$ не меняется икосаэдрической подстановкой:

$S_{\text{и}}{\mathfrak {T}}_{\text{и}};$

‎она служит поэтому корнем уравнения:

$u={\frac {1+(\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3})u}{u-(\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3})}}\varepsilon ,$

(73)

где $\varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{5}}.$

‎Корни уравнения (73) таковы:

${\frac {\pm {\sqrt {30+6{\sqrt {5}}}}-(3+{\sqrt {5}})}{4}}e^{\frac {\pi i}{5}}.$

(74)

‎Отсюда ясно, что:

$h={\frac {+{\sqrt {30+6{\sqrt {5}}}}-(3+{\sqrt {5}})}{4}},$

(75)

‎или, по вычислении:

$h=0{,}33826121\ldots$

(76)

‎Величина

$he^{\frac {\pi i}{5}},$

‎изображаемая точкой $c$ на чертеже I, есть корень многочлена $H_{\text{и}}(u)$·

Подставив разложение (72) в икосаэдрическое уравнение, произведя сокращение на $z$ и положив затем $z=0$, мы получим такое равенство:

${\frac {5^{3}(57-247h^{5}-171h^{10}-h^{15})^{3}h^{7}k^{3}}{3^{5}(1+11h^{5}-h^{10})^{5}}}=1,$

(77)

‎откуда:

$k=0{,}6{\frac {(1+11h^{5}-h^{10})^{\frac {5}{3}}}{(57-247h^{5}-171h^{10}-h^{15})h^{\frac {7}{3}}}}.$

(78)

‎Подставив в эту формулу найденную величину $h$ (76), находим:

$k=0{,}145\ldots$

(79)

‎Итак, в области точки $z=0$ корень $u$ разлагается в такой ряд:

$u=0{,}33826121\ldots e^{\frac {\pi i}{5}}+0{,}145\ldots e^{{\frac {23}{15}}\pi i}z^{\frac {1}{3}}+\ldots$

(80)

‎Для того, чтобы эта формула была тождественна с формулой (71), где $y_{1}$ и $y_{2}$ имеют значения, даваемые равенствами (66), необходимо, чтобы коэффициенты $p,\ q,\ r,\ s$ формулы (71) удовлетворяли условиям:

${\begin{matrix}s=0,\ {\dfrac {p}{r}}=he^{\frac {\pi i}{5}}=0{,}33826121\ldots e^{\frac {\pi i}{5}},\\{\dfrac {q}{r}}=0{,}145\ldots e^{{\frac {23}{15}}\pi i}.\end{matrix}}$

(81)

‎Итак, в области I корень $u$ икосаэдрического уравнения выражается формулой:

$u=0{,}33826121\ldots e^{\frac {\pi i}{5}}+0{,}145\ldots e^{{\frac {23}{15}}\pi i}{\frac {z^{\frac {1}{3}}F\left({\dfrac {31}{60}},\;{\dfrac {19}{60}},\;{\dfrac {4}{3}},\;z\right)}{F\left({\dfrac {11}{60}},\;-{\dfrac {1}{60}},\;{\dfrac {2}{3}},\;z\right)}}.$

(82)

‎Таково выражение корня $u$ в области I, т. е. при

$|z|\leqslant 1.$

‎Формулы (70) и (82) позволяют вычислить корень $u$ икосаэдрического уравнения при всяком значении $z$. Найдя величину одного корня и зная подстановки икосаэдрической группы, мы можем вычислить все остальные корни икосаэдрического уравнения^[5].

II. Октаэдрическое уравнение.

Возьмем октаэдрическое уравнение в первой нормальной форме:

${\begin{matrix}(u^{8}+14u^{4}+1)^{3}:(u^{12}-33u^{8}-33u^{4}+1)^{2}:108(u^{5}-u)^{4}=\\=z:z-1:1.\end{matrix}}$

(38)

‎К нему применимы почти дословно те же рассуждения, которые мы привели по поводу икосаэдрического уравнения. Поэтому ограничимся лишь самыми краткими указаниями.

Величины параметров $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$, в рассматриваемом случае таковы:

$\alpha ={\frac {5}{24}},\ \beta =-{\frac {1}{24}},\ \gamma ={\frac {2}{3}}.$

‎Подставив эти величины в формулы (46) и (48) § 9, находим:

$\left.{\begin{array}{l}y_{1}=F\left({\dfrac {5}{24}},\;-{\dfrac {1}{24}},\;{\dfrac {2}{3}},\;z\right),\\y_{2}=z^{\frac {1}{3}}F\left({\dfrac {13}{24}},\;{\dfrac {7}{24}},\;{\dfrac {4}{3}},\;z\right),\end{array}}\right\}$

(83)

$\left.{\begin{array}{l}y_{5}=z^{-{\frac {5}{24}}}F\left({\dfrac {5}{24}},\;{\dfrac {13}{24}},\;{\dfrac {5}{4}},\;{\dfrac {1}{z}}\right),\\y_{6}=z^{\frac {1}{24}}F\left(-{\dfrac {1}{24}},\;{\dfrac {7}{24}},\;{\dfrac {3}{4}},\;{\dfrac {1}{z}}\right).\end{array}}\right\}$

(84)

‎В области III корень $u$ уравнения (38) изобразится формулой вида:

$u={\frac {py_{5}+qy_{6}}{ry_{5}+sy_{6}}}.$

(68)

‎Из уравнения (38) видно, что в области точки $z=\infty$ корень $u$ разлагается в ряд:

$u={\frac {1}{\sqrt[{4}]{108}}}z^{-{\frac {1}{4}}}+\ldots$

(85)

‎Для тождественности формул (85) и (68) необходимо, чтобы коэффициенты $p,\ q,\ r,\ s$ удовлетворяли условиям:

$q=r=0,\ {\frac {p}{s}}={\frac {1}{\sqrt[{4}]{108}}}.$

(86)

‎Подставив эти величины в формулу (68), находим:

$u={\frac {1}{\sqrt[{4}]{108}}}{\frac {F\left({\dfrac {5}{24}},\;{\dfrac {13}{24}},\;{\dfrac {5}{4}},\;{\dfrac {1}{z}}\right)}{F\left(-{\dfrac {1}{24}},\;{\dfrac {7}{24}},\;{\dfrac {3}{4}},\;{\dfrac {1}{z}}\right)}}z^{-{\frac {1}{4}}}.$

(87)

‎Таково выражение корня $u$ октаэдрического уравнения в области III, т. е. при

$|z|\geqslant 1.$

‎В области I тот же корень $u$ изобразится формулой вида:

$u={\frac {py_{1}+qy_{2}}{ry_{1}+sy_{2}}}.$

(71)

‎С другой стороны, рассуждениями, подобными приведенным выше при рассмотрении уравнения икосаэдрического типа, обнаружим, что корень $u$ в области точки $u=0$ разлагается в ряд вида:

$u=he^{\frac {\pi i}{4}}+ke^{{\frac {19}{12}}\pi i}z^{\frac {1}{3}}+\ldots ,$

(88)

‎где $h$ и $k$ суть постоянные, действительные и положительные числа.

Величина $h$ есть расстояние точки, отмеченной на черт. 29 буквой $c$, от начала координат. Точка $c$ не меняется октаэдрической подстановкой:

$S_{\text{о}}{\mathfrak {T}}_{\text{о}}$

‎и служит поэтому корнем уравнения:

$u=i{\frac {1-u}{1+u}}.$

(89)

‎Корни уравнения (89) таковы:

${\frac {\pm {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{2}}e^{\frac {\pi i}{4}}.$

‎Отсюда заключаем, что:

$h={\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{2}}=0{,}51763809\ldots$

(90)

‎Подставив разложение (88) в октаэдрическое уравнение (38), сократив полученное равенство на $z$ и положив $z=0$, мы получим уравнение:

${\frac {2^{7}(7-h^{4})^{3}h^{5}k^{3}}{3^{3}(h^{4}+1)^{4}}}=1,$

‎откуда:

$k={\frac {3(h^{4}+1)^{\frac {4}{3}}}{2^{\frac {7}{3}}(7-h^{4})h^{\frac {5}{3}}}},$

(91)

‎или, после подстановки вместо $h$ его величины (90):

$k=0{,}282403\ldots$

(92)

‎Итак, корень $u$ в области точки $z=0$ разлагается в ряд:

$u=0{,}51763809\ldots e^{\frac {\pi i}{4}}+0{,}282403\ldots e^{{\frac {19}{12}}\pi i}z^{\frac {1}{3}}+\ldots$

(93)

‎Формулы (93) и (71) только в том случае могут быть тождественны между собой, если коэффициенты $p,\ q,\ r,\ s$ удовлетворяют условиям:

$s=0,\ {\frac {p}{r}}=0{,}51763809\ldots e^{\frac {\pi i}{4}},\ {\frac {q}{r}}=0{,}282403\ldots e^{{\frac {19}{12}}\pi i}.$

‎Подставив эти величины в формулу (71), находим:

$u=0{,}51763809\ldots e^{\frac {\pi i}{4}}+0{,}282403\ldots e^{{\frac {19}{12}}\pi i}{\frac {z^{\frac {1}{3}}F\left({\dfrac {13}{24}},\;{\dfrac {7}{24}},\;{\dfrac {4}{3}},\;z\right)}{F\left({\dfrac {5}{24}},\;-{\dfrac {1}{24}},\;{\dfrac {2}{3}},\;z\right)}}.$

(94)

‎Таково выражение корня $u$ октаэдрического уравнения в области I, т. е. при

$|z|\leqslant 1.$

‎Формулы (87) и (94) дают возможность найти величину корня $u$ октаэдрического уравнения при каком угодно значении $z$.

Вычислив величину корня $u$ и зная подстановки первой нормальной октаэдрической группы, мы можем вычислить все корни октаэдрического уравнения.

III. Тетраэдрическое уравнение.

Возьмем тетраэдрическое уравнение во 2-м нормальном виде:

$(2{\sqrt {2}}u^{3}+1)^{3}:(u^{6}+5{\sqrt {2}}u^{3}-1)^{2}:-(u^{3}-{\sqrt {2}})^{3}u^{3}=z:z-1:1.$

(95)

‎Параметры $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ гипергеометрического уравнения в данном случае будут таковы:

$\alpha ={\frac {1}{4}},\ \beta =-{\frac {1}{12}},\ \gamma ={\frac {2}{3}}.$

‎Повторяя дословно те же рассуждения, какие мы привели выше при нахождении решения уравнений предшествующих типов, мы придем к заключению, что корень $u$ тетраэдрического уравнения при

$|z|\geqslant 1.$

‎выразится формулой:

$u={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\frac {F\left({\dfrac {1}{4}},\;{\dfrac {7}{12}},\;{\dfrac {4}{3}},\;{\dfrac {1}{z}}\right)}{F\left(-{\dfrac {1}{12}},\;{\dfrac {1}{4}},\;{\dfrac {2}{3}},\;{\dfrac {1}{z}}\right)}}z^{-{\frac {1}{3}}}.$

(96)

‎Тот же корень $u$ при

$|z|\leqslant 1$

‎выразится формулой:

$u={\frac {1}{\sqrt {2}}}e^{\frac {\pi i}{3}}+{\frac {3}{4{\sqrt {2}}}}e^{\frac {5\pi i}{3}}{\frac {F\left({\dfrac {7}{12}},\;{\dfrac {1}{4}},\;{\dfrac {4}{3}},\;z\right)}{F\left({\dfrac {1}{4}},\;-{\dfrac {1}{12}},\;{\dfrac {2}{3}},\;z\right)}}z^{\frac {1}{3}}.$

(97)

‎Имея корень $u$ тетраэдрического уравнения и зная подстановки второй нормальной тетраэдрической группы, мы можем вычислить все корни второго нормального тетраэдрического уравнения^[6].

---

Результаты, полученные нами в настоящей главе, завершают теорию уравнений, имеющих корнями отношения частных интегралов линейного дифференциального уравнения 2-го порядка. Мы изучили свойства и нашли нормальные виды этих уравнений, нашли критерий, дающий возможность убедиться в том, что данное уравнение принадлежит к названному классу, умеем привести уравнение к нормальному виду и, наконец, знаем, как решить уравнение, приведенное к нормальному виду. Мы убедились в том, что действительно все уравнения изученного класса разрешимы в гипергеометрических функциях и, кроме того, нашли, что уравнения всех типов, кроме икосаэдрического, разрешимы в радикалах.

---

Сноски

1. В случае тетраэдрического уравнения указанный прием дает функцию $T(u)$ и произведение $f(u)H(u)$. По этим данным можно найти $f(u)$ и $H(u)$.
   ‎В случае четверичного уравнения указанный путь к цели не приводим; но это — случай вполне элементарный.
2. См. § 22 формулы 16.
3. Гордан показал, что всякое уравнение 5-ой степени может быть преобразовано в уравнение вида (62). См. Math. Annalen. Том 28, стр. 152. Мы не приводим этого весьма интересного, но несколько сложного преобразования Гордана. Ниже справедливость теоремы Гордана станет ясна из других соображений.
4. Двупирамидное уравнение мы опускаем, потому что оно в радикалах решается очень просто.
5. Клейн дает решение икосаэдрического уравнения несколько в иной форме. См. Math. Annalen. Том 12. Weitere Untersuchungen über das Ikosaeder. Ту же задачу несколько иначе Клейн решает в статье того же заглавия, помещенной в Sitzungsberichte der physikalisch medicinischen Societät zu Erlangen. 9 Heft.
6. Решение уравнения октаэдрического типа приведено у Puchta. Das Oktaeder und die Gleichung vierten Grades. Denkschriften der Kaiserlichen Akademie in Wien. Bd. 41. Его решение аналогично Клейнову решению икосаэдрического уравнения и разнится от приведенного в тексте.
   ‎Аналогичное решение тетраэдрического уравнения построить не трудно.