Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/241

‎Отсюда заключаемъ, что:

$h={\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{2}}=0{,}51763809\ldots$

(90)

‎Подставивъ разложеніе (88) въ октаэдрическое уравненіе (38), сокративъ полученное равенство на $z$ и положивъ $z=0$, мы получимъ уравненіе:

${\frac {2^{7}(7-h^{4})^{3}h^{5}k^{3}}{3^{3}(h^{4}+1)^{4}}}=1,$

‎откуда:

$k={\frac {3(h^{4}+1)^{\frac {4}{3}}}{2^{\frac {7}{3}}(7-h^{4})h^{\frac {5}{3}}}},$

(91)

‎или, послѣ подстановки вмѣсто $h$ его величины (90):

$k=0{,}282403\ldots$

(92)

‎Итакъ, корень $u$ въ области точки $z=0$ разлагается въ рядъ:

$u=0{,}51763809\ldots e^{\frac {\pi i}{4}}+0{,}282403\ldots e^{{\frac {19}{12}}\pi i}z^{\frac {1}{3}}+\ldots$

(93)

‎Формулы (93) и (71) только въ томъ случаѣ могутъ быть тождественны между собою, если коэффиціенты $p,\ q,\ r,\ s$ удовлетворяютъ условіямъ:

$s=0,\ {\frac {p}{r}}=0{,}51763809\ldots e^{\frac {\pi i}{4}},\ {\frac {q}{r}}=0{,}282403\ldots e^{{\frac {19}{12}}\pi i}.$

‎Подставивъ эти величины въ формулу (71), находимъ:

$u=0{,}51763809\ldots e^{\frac {\pi i}{4}}+0{,}282403\ldots e^{{\frac {19}{12}}\pi i}{\frac {z^{\frac {1}{3}}F\left({\dfrac {13}{24}},\;{\dfrac {7}{24}},\;{\dfrac {4}{3}},\;z\right)}{F\left({\dfrac {5}{24}},\;-{\dfrac {1}{24}},\;{\dfrac {2}{3}},\;z\right)}}.$

(94)

Тот же текст в современной орфографии

‎Отсюда заключаем, что:

$h={\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{2}}=0{,}51763809\ldots$

(90)

‎Подставив разложение (88) в октаэдрическое уравнение (38), сократив полученное равенство на $z$ и положив $z=0$, мы получим уравнение:

${\frac {2^{7}(7-h^{4})^{3}h^{5}k^{3}}{3^{3}(h^{4}+1)^{4}}}=1,$

‎откуда:

$k={\frac {3(h^{4}+1)^{\frac {4}{3}}}{2^{\frac {7}{3}}(7-h^{4})h^{\frac {5}{3}}}},$

(91)

‎или, после подстановки вместо $h$ его величины (90):

$k=0{,}282403\ldots$

(92)

‎Итак, корень $u$ в области точки $z=0$ разлагается в ряд:

$u=0{,}51763809\ldots e^{\frac {\pi i}{4}}+0{,}282403\ldots e^{{\frac {19}{12}}\pi i}z^{\frac {1}{3}}+\ldots$

(93)

‎Формулы (93) и (71) только в том случае могут быть тождественны между собой, если коэффициенты $p,\ q,\ r,\ s$ удовлетворяют условиям:

$s=0,\ {\frac {p}{r}}=0{,}51763809\ldots e^{\frac {\pi i}{4}},\ {\frac {q}{r}}=0{,}282403\ldots e^{{\frac {19}{12}}\pi i}.$

‎Подставив эти величины в формулу (71), находим:

$u=0{,}51763809\ldots e^{\frac {\pi i}{4}}+0{,}282403\ldots e^{{\frac {19}{12}}\pi i}{\frac {z^{\frac {1}{3}}F\left({\dfrac {13}{24}},\;{\dfrac {7}{24}},\;{\dfrac {4}{3}},\;z\right)}{F\left({\dfrac {5}{24}},\;-{\dfrac {1}{24}},\;{\dfrac {2}{3}},\;z\right)}}.$

(94)