Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/222

Степень уравненія (9) равна 6—числу четному. Слѣдовательно первое условіе выполняется.

Уравненіе (9) можетъ принадлежать лишь къ двупирамидному типу.

Приводимъ уравненіе (9) къ виду:

${\frac {u^{3}(u+1)^{3}+3u(u+1)+1}{u^{2}(u+1)^{2}}}=-z.$

(10)

‎Второе условіе выполнено.

Сохраняя прежнія обозначенія, находимъ:

$\left.{\begin{array}{l}\psi (u)=u^{3}(u+1)^{3}+3u(u+1)+1,\\\varphi (u)=u^{2}(u+1)^{2}.\end{array}}\right\}$

(11)

‎Отсюда:

$\Omega (u)=u(u+1)(2u+1)(u^{2}+u-2)(u^{2}+u+1)^{2}.$

(12)

‎Этотъ многочленъ имѣетъ два двукратныхъ корня.

Условіе третье выполнено.

Первичная функція $f(u)$ такова:

$f(u)=u^{2}+u+1.$

(13)

‎Условіе четвертое выполнено.

Линейные множители многочлена $f(u)$ таковы:

$f_{1}=u-\varepsilon ,\ f_{2}=u-\varepsilon ^{2},$ гдѣ $\varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{3}}.$

(14)

‎Функціи $H(u)$ и $T(u)$ таковы:

$\left.{\begin{array}{l}H(u)={\dfrac {f_{1}^{3}+f_{2}^{3}}{2}}={\dfrac {1}{2}}(2u+1)(u^{2}+u-2),\\T(u)={\dfrac {f_{1}^{3}-f_{2}^{3}}{2}}=-{\dfrac {i{\sqrt {3}}}{2}}u(u+1).\end{array}}\right\}$

(15)

‎Дѣйствительно, функція $\Omega (u)$ разнится отъ

$f^{2}(u)H(u)T(u)$

‎только постояннымъ множителемъ.

Тот же текст в современной орфографии

Степень уравнения (9) равна 6 — числу четному. Следовательно, первое условие выполняется.

Уравнение (9) может принадлежать лишь к двупирамидному типу.

Приводим уравнение (9) к виду:

${\frac {u^{3}(u+1)^{3}+3u(u+1)+1}{u^{2}(u+1)^{2}}}=-z.$

(10)

‎Второе условие выполнено.

Сохраняя прежние обозначения, находим:

$\left.{\begin{array}{l}\psi (u)=u^{3}(u+1)^{3}+3u(u+1)+1,\\\varphi (u)=u^{2}(u+1)^{2}.\end{array}}\right\}$

(11)

‎Отсюда:

$\Omega (u)=u(u+1)(2u+1)(u^{2}+u-2)(u^{2}+u+1)^{2}.$

(12)

‎Этот многочлен имеет два двукратных корня.

Условие третье выполнено.

Первичная функция $f(u)$ такова:

$f(u)=u^{2}+u+1.$

(13)

‎Условие четвертое выполнено.

Линейные множители многочлена $f(u)$ таковы:

$f_{1}=u-\varepsilon ,\ f_{2}=u-\varepsilon ^{2},$ где $\varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{3}}.$

(14)

‎Функции $H(u)$ и $T(u)$ таковы:

$\left.{\begin{array}{l}H(u)={\dfrac {f_{1}^{3}+f_{2}^{3}}{2}}={\dfrac {1}{2}}(2u+1)(u^{2}+u-2),\\T(u)={\dfrac {f_{1}^{3}-f_{2}^{3}}{2}}=-{\dfrac {i{\sqrt {3}}}{2}}u(u+1).\end{array}}\right\}$

(15)

‎Действительно, функция $\Omega (u)$ разнится от

$f^{2}(u)H(u)T(u)$

‎только постоянным множителем.