Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/237

‎Отсюда ясно, что:

$h={\frac {+{\sqrt {30+6{\sqrt {5}}}}-(3+{\sqrt {5}})}{4}},$

(75)

‎или, по вычисленіи:

$h=0{,}33826121\ldots$

(76)

‎Величина

$he^{\frac {\pi i}{5}},$

‎изображаемая точкою $c$ на [[../../Чертеж I/ДО|чертежѣ I]], есть корень многочлена $H_{\text{и}}(u)$·

Подставивъ разложеніе (72) въ икосаэдрическое уравненіе, произведя сокращеніе на $z$ и положивъ затѣмъ $z=0$, мы получимъ такое равенство:

${\frac {5^{3}(57-247h^{5}-171h^{10}-h^{15})^{3}h^{7}k^{3}}{3^{5}(1+11h^{5}-h^{10})^{5}}}=1,$

(77)

‎откуда:

$k=0{,}6{\frac {(1+11h^{5}-h^{10})^{\frac {5}{3}}}{(57-247h^{5}-171h^{10}-h^{15})h^{\frac {7}{3}}}}.$

(78)

‎Подставивъ въ эту формулу найденную величину $h$ (76), находимъ:

$k=0{,}145\ldots$

(79)

‎Итакъ, въ области точки $z=0$ корень $u$ разлагается въ такой рядъ:

$u=0{,}33826121\ldots e^{\frac {\pi i}{5}}+0{,}145\ldots e^{{\frac {23}{15}}\pi i}z^{\frac {1}{3}}+\ldots$

(80)

‎Для того, чтобы эта формула была тождественна съ формулою (71), гдѣ $y_{1}$ и $y_{2}$ имѣютъ значенія, даваемыя равенствами (66), необходимо, чтобы коэффиціенты $p,\ q,\ r,\ s$ формулы (71) удовлетворяли условіямъ:

Тот же текст в современной орфографии

‎Отсюда ясно, что:

$h={\frac {+{\sqrt {30+6{\sqrt {5}}}}-(3+{\sqrt {5}})}{4}},$

(75)

‎или, по вычислении:

$h=0{,}33826121\ldots$

(76)

‎Величина

$he^{\frac {\pi i}{5}},$

‎изображаемая точкой $c$ на чертеже I, есть корень многочлена $H_{\text{и}}(u)$·

Подставив разложение (72) в икосаэдрическое уравнение, произведя сокращение на $z$ и положив затем $z=0$, мы получим такое равенство:

${\frac {5^{3}(57-247h^{5}-171h^{10}-h^{15})^{3}h^{7}k^{3}}{3^{5}(1+11h^{5}-h^{10})^{5}}}=1,$

(77)

‎откуда:

$k=0{,}6{\frac {(1+11h^{5}-h^{10})^{\frac {5}{3}}}{(57-247h^{5}-171h^{10}-h^{15})h^{\frac {7}{3}}}}.$

(78)

‎Подставив в эту формулу найденную величину $h$ (76), находим:

$k=0{,}145\ldots$

(79)

‎Итак, в области точки $z=0$ корень $u$ разлагается в такой ряд:

$u=0{,}33826121\ldots e^{\frac {\pi i}{5}}+0{,}145\ldots e^{{\frac {23}{15}}\pi i}z^{\frac {1}{3}}+\ldots$

(80)

‎Для того, чтобы эта формула была тождественна с формулой (71), где $y_{1}$ и $y_{2}$ имеют значения, даваемые равенствами (66), необходимо, чтобы коэффициенты $p,\ q,\ r,\ s$ формулы (71) удовлетворяли условиям: