Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/240

‎Подставивъ эти величины въ формулу (68), находимъ:

$u={\frac {1}{\sqrt[{4}]{108}}}{\frac {F\left({\dfrac {5}{24}},\;{\dfrac {13}{24}},\;{\dfrac {5}{4}},\;{\dfrac {1}{z}}\right)}{F\left(-{\dfrac {1}{24}},\;{\dfrac {7}{24}},\;{\dfrac {3}{4}},\;{\dfrac {1}{z}}\right)}}z^{-{\frac {1}{4}}}.$

(87)

‎Таково выраженіе корня $u$ октаэдрическаго уравненія въ области III, т. е. при

${\text{мод.}}\,z\geqq 1.$

‎Въ области I тотъ же корень $u$ изобразится формулою вида:

$u={\frac {py_{1}+qy_{2}}{ry_{1}+sy_{2}}}.$

(71)

‎Съ другой стороны, разсужденіями, подобными приведеннымъ выше при разсмотрѣніи уравненія икосаэдрическаго типа, обнаружимъ, что корень $u$ въ области точки $u=0$ разлагается въ рядъ вида:

$u=he^{\frac {\pi i}{4}}+ke^{{\frac {19}{12}}\pi i}z^{\frac {1}{3}}+\ldots ,$

(88)

‎гдѣ $h$ и $k$ суть постоянныя, дѣйствительныя и положительныя числа.

Величина $h$ есть разстояніе точки, отмѣченной на [[../../Глава IV/ДО#Черт. 29|черт. 29]] буквою $c$, отъ начала координатъ. Точка $c$ не мѣняется октаэдрической подстановкой:

$S_{\text{о}}{\mathfrak {T}}_{\text{о}}$

‎и служитъ поэтому корнемъ уравненія:

$u=i{\frac {1-u}{1+u}}.$

(89)

‎Корни уравненія (89) таковы:

${\frac {\pm {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{2}}e^{\frac {\pi i}{4}}.$

Тот же текст в современной орфографии

‎Подставив эти величины в формулу (68), находим:

$u={\frac {1}{\sqrt[{4}]{108}}}{\frac {F\left({\dfrac {5}{24}},\;{\dfrac {13}{24}},\;{\dfrac {5}{4}},\;{\dfrac {1}{z}}\right)}{F\left(-{\dfrac {1}{24}},\;{\dfrac {7}{24}},\;{\dfrac {3}{4}},\;{\dfrac {1}{z}}\right)}}z^{-{\frac {1}{4}}}.$

(87)

‎Таково выражение корня $u$ октаэдрического уравнения в области III, т. е. при

$|z|\geqslant 1.$

‎В области I тот же корень $u$ изобразится формулой вида:

$u={\frac {py_{1}+qy_{2}}{ry_{1}+sy_{2}}}.$

(71)

‎С другой стороны, рассуждениями, подобными приведенным выше при рассмотрении уравнения икосаэдрического типа, обнаружим, что корень $u$ в области точки $u=0$ разлагается в ряд вида:

$u=he^{\frac {\pi i}{4}}+ke^{{\frac {19}{12}}\pi i}z^{\frac {1}{3}}+\ldots ,$

(88)

‎где $h$ и $k$ суть постоянные, действительные и положительные числа.

Величина $h$ есть расстояние точки, отмеченной на черт. 29 буквой $c$, от начала координат. Точка $c$ не меняется октаэдрической подстановкой:

$S_{\text{о}}{\mathfrak {T}}_{\text{о}}$

‎и служит поэтому корнем уравнения:

$u=i{\frac {1-u}{1+u}}.$

(89)

‎Корни уравнения (89) таковы:

${\frac {\pm {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{2}}e^{\frac {\pi i}{4}}.$