Алгебраические уравнения, разрешимые в гипергеометрических функциях (Лахтин)/Глава VIII

Алгебраические уравнения, разрешимые в гипергеометрических функциях — Глава VIII. Алгебраические уравнения, имеющие корнями частные интегралы линейного дифференциального уравнения 2-го порядка
автор Л. К. Лахтин

Опубл.: 1893 год.

§ 34. Предварительные замечания  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

§ 35. Выражения первичных форм $f(\eta _{1},\ \eta _{2})$, $H(\eta _{1},\ \eta _{2})$, $T(\eta _{1},\ \eta _{2})$ в виде радикалов из рациональных функций переменной $z$  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

§ 36. Внешний вид уравнений, имеющих корнями частные интегралы дифференциального уравнения вида: ${\frac {d^{2}\eta }{dz^{2}}}=P\eta$  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

§ 37. Алгебраические уравнения, имеющие корнями частные интегралы гипергеометрических дифференциальных уравнений  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

---

Глава VIII.

Алгебраические уравнения, имеющие корнями частные интегралы линейного дифференциального уравнения 2-го порядка.

§ 34. Предварительные замечания.

В настоящей главе мы рассмотрим ближе внешний вид уравнений, свойства которых изучены нами в главе I, уравнений, имеющих корнями частные интегралы линейного дифференциального уравнения 2-го порядка.

В главе I мы видели^[1], что корни этих уравнений выражаются как явные функции корней алгебраического уравнения:

$H^{\lambda _{1}}(u):c'T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)={\frac {1}{c}}R(z):{\frac {1}{c}}R(z)-1:1,$

(1)

‎решение которого было нами найдено в главе VII.

Припомним главнейшие результаты, найденные в главе I и отчасти в главе II.

Пусть корни уравнения

$\Phi (y,\;z)=0$

(2)

‎служат частными интегралами линейного дифференциального уравнения:

${\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+p_{1}{\frac {dy}{dz}}+p_{2}y=0.$

(3)

Отношение двух линейно независимых частных интегралов $y_{1},\ y_{2}$ уравнения (3):

${\frac {y_{1}}{y_{2}}}=u$

(4)

‎есть корень некоторого алгебраического уравнения вида (1).

Корни $y_{1}$ и $y_{2}$ могут быть выражены, как явные функции $u$:

$\left.{\begin{matrix}y_{1}=ku{\sqrt {\dfrac {T(u)R(z)}{f(u)H(u){\dfrac {dR(z)}{dz}}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz},\\y_{2}=k{\sqrt {\dfrac {T(u)R(z)}{f(u)H(u){\dfrac {dR(z)}{dz}}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz},\end{matrix}}\right\}$

(5)

‎где $k$ есть некоторая постоянная.

Если $y_{2}$ есть корень уравнения (2), то мы вправе сказать, что уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) преобразованием неизвестной:

$y=k{\sqrt {\dfrac {T(u)R(z)}{f(u)H(u){\dfrac {dR(z)}{dz}}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}.$

(6)

‎Корни уравнения (2) выражаются через корни уравнения (1) при помощи формул (6).

Умея решить уравнение (1), мы можем найти все корни уравнения (2).

Положив:

$y=ke^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}\eta ,$

(7)

‎мы преобразуем уравнение (2) в новое уравнение:

$F(\eta ,\;z)=0,$

(8)

‎дифференциальное же уравнение (3) в новое дифференциальное уравнение:

${\frac {d^{2}\eta }{dz^{2}}}=P\eta ,$

(9)

‎где $P$ есть рациональная функция $z$, которая выражается через $p_{1}$ и $p_{2}$ следующим образом:

$P={\frac {1}{4}}p_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {dp_{1}}{dz}}-p_{2}.$

(10)

‎Та же функция $P$ может быть выражена через $R(z)$ из такого уравнения:

${\begin{matrix}-2P=[R(z)]_{z}+{\dfrac {1}{c^{2}}}\left({\dfrac {dR(z)}{dz}}\right)^{2}\left\{{\dfrac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}}{{\dfrac {2}{c^{2}}}R^{2}(z)}}+{\dfrac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}}{2\left({\dfrac {1}{c}}R(z)-1\right)}}\,+\right.\\\left.+\,{\dfrac {{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}+{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda ^{2}}}-1}{{\dfrac {2}{c}}R(z)\left({\dfrac {1}{c}}R(z)-1\right)}}\right\}.\end{matrix}}$[2]

(11)

‎Из равенства (7) следует, что отношение частных интегралов $y_{1},\ y_{2}$ уравнения (3) такое же, как отношение соответствующих им частных интегралов $\eta _{1},\ \eta _{2}$ уравнения (9):

$u={\frac {y_{1}}{y_{2}}}={\frac {\eta _{1}}{\eta _{2}}}.$

(12)

‎Отношение

${\frac {\eta _{1}}{\eta _{2}}}$

‎есть корень того же алгебраического уравнения (1).

Корни $\eta _{1},\ \eta _{2}$ уравнения (8) выражаются через корень $u$ уравнения (1) при помощи формул:

$\eta _{1}=u{\sqrt {\dfrac {T(u)R(z)}{f(u)H(u){\dfrac {dR(z)}{dz}}}}},\quad \eta _{2}={\sqrt {\dfrac {T(u)R(z)}{f(u)H(u){\dfrac {dR(z)}{dz}}}}}.$

(13)

‎Уравнение (8) можно рассматривать как результат преобразования уравнения (1) подстановкой:

$\eta ={\sqrt {\dfrac {T(u)R(z)}{f(u)H(u){\dfrac {dR(z)}{dz}}}}}.$

(14)

‎Найдя уравнение (8), мы можем построить уравнение (2), преобразуя уравнение (8) подстановкой:

$\eta ={\frac {1}{k}}e^{{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}y.$

(15)

‎Из уравнений вида (2) наибольший интерес представляют те уравнения, корни которых суть частные интегралы гипергеометрического уравнения:

$z(1-z){\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+\left\{\gamma -(\alpha +\beta +1)z\right\}{\frac {dy}{dz}}-\alpha \beta y=0.$

(16)

‎Мы знаем, что в таком случае параметры $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ суть функции величин $\lambda ,\ \lambda _{1},\lambda _{2}$ и определяются по формулам:

$\left.{\begin{array}{l}\alpha ={\dfrac {1}{2}}\left(1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}}}-{\dfrac {1}{\lambda _{2}}}+{\dfrac {1}{\lambda }}\right),\\\beta ={\dfrac {1}{2}}\left(1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}}}-{\dfrac {1}{\lambda _{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda }}\right),\\\gamma =1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}}}.\end{array}}\right\}$[3]

(17)

Положим в формулах (10) и (11):

$p_{1}={\frac {\gamma -(\alpha +\beta +1)z}{z(1-z)}},\ p_{2}=-{\frac {\alpha \beta }{z(1-z)}},$

(18)

‎где $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ определяются формулами (17).

Из формул (10), (18), (17) находим:

$P=-{\dfrac {1}{2}}\left\{{\dfrac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}}{2z^{2}}}+{\dfrac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}}{2(z-1)^{2}}}+{\dfrac {{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}+{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda ^{2}}}-1}{2z(1-z)}}\right\}.$

(19)

‎Вставив это выражение в левую часть равенства (11), мы находим уравнение, определяющее функцию $R(z)$. Мы видим, что оно удовлетворяется при:

$R(z)=cz.$

(20)

‎Итак, положив

$R(z)=cz,$

(20)

‎и преобразуя затем уравнение (8) подстановкой:

$\eta ={\frac {1}{k}}e^{{\frac {1}{2}}\int {\frac {\gamma -(\alpha +\beta +1)z}{z(1-z)}}\,dz}y,$

‎или:

$\eta ={\frac {1}{k}}z^{{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{\lambda _{1}}}\right)}(1-z)^{{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{\lambda _{2}}}\right)}y,$

(21)

‎где $k$ — некоторая произвольная постоянная, мы должны получить новое алгебраическое уравнение, имеющее корнями частные интегралы гипергеометрического уравнения (16).

Так как для уравнений типов: тетраэдрического, октаэдрического и икосаэдрического величины $\lambda _{1}$ и $\lambda _{2}$ определяются равенствами:

$\lambda _{1}=3,\ \lambda _{2}=2,$

‎то подстановка (21) может быть для уравнений этих трех типов представлена формулой:

$\eta ={\frac {1}{k}}z^{\frac {1}{3}}(1-z)^{\frac {1}{4}}y.$

(22)

‎Мы видим, что из числа уравнений изучаемого класса наибольший интерес представляют:

1) уравнения вида (8) — по наибольшей простоте своих свойств,

2) уравнения, получаемые из уравнений вида (8) преобразованием (22), — по своему свойству иметь корнями частные интегралы гипергеометрического уравнения.

Остальные уравнения того же класса могут быть получены из уравнений (8) подстановкой:

$\eta ={\frac {1}{k}}e^{{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}y,$

(15)

‎где $p_{1}$ — какая угодно рациональная функция $z$, подчиненная только тому условию, чтобы выражение:

$e^{{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}$

‎было алгебраической функцией $z$.

Что касается уравнения (8), соответствующего уравнению (1) двупирамидного типа, то оно было нами рассмотрено в § 4.

Это уравнение решается в радикалах совершенно элементарным образом. Поэтому мы будем говорить только об уравнениях вида (8) типов: тетраэдрического, октаэдрического и икосаэдрического.

В § 20 мы нашли, что порядок $n$ группы бинарных линейных подстановок, каждого из названных трех типов вдвое выше порядка $N$ соответствующей группы неоднородных линейных подстановок. Отсюда следует, что степень $n$ уравнения (8) вдвое выше степени $N$ уравнения (1) того же типа:

$n=2N.$

Далее, отсюда заключаем, что индексы:

$\mu ={\frac {n}{\nu }},\ \mu _{1}={\frac {n}{\nu _{1}}},\ \mu _{2}={\frac {n}{\nu _{2}}}$

‎первичных форм $f(\eta _{1},\;\eta _{2}),\ H(\eta _{1},\;\eta _{2}),\ T(\eta _{1},\;\eta _{2})$ вдвое больше показателей:

$\lambda ={\frac {N}{\nu }},\ \lambda _{1}={\frac {N}{\nu _{1}}},\ \lambda _{2}={\frac {N}{\nu _{2}}}.$

§ 35. Выражения первичных форм $f(\eta _{1},\;\eta _{2})$, $H(\eta _{1},\;\eta _{2})$, $T(\eta _{1},\;\eta _{2})$ в виде радикалов из рациональных функций переменной $z$

Мы видели в теореме 10 главы I, что всякая первичная форма, имеющая аргументами два частных интеграла уравнения (8), равна радикалу из рациональной функции $z$. Степень этого радикала равна индексу первичной формы или делителю этого индекса — если степень радикала удастся понизить.

Построим сказанные выражения для первичных форм $f(\eta _{1},\;\eta _{2}),\ H(\eta _{1},\;\eta _{2}),\ T(\eta _{1},\;\eta _{2})$ рассматриваемых трех типов.

Возведем обе части второго из равенств (13) в степень

$n=2N\colon$

$\eta _{2}^{n}={\frac {T^{N}(u)R^{N}}{f^{N}(u)H^{N}(u)R'{}^{N}}},$

(23)

‎где для краткости введены обозначения:

$R=R(z),\ R'={\frac {dR(z)}{dz}}.$

‎Из уравнения (1) имеем:

$H_{1}^{\lambda }(u)=Rf^{\lambda }(u),\ T_{2}^{\lambda }(u)={\frac {1}{c'}}(R-c)f^{\lambda }(u),$

(24)

‎откуда:

$H^{N}(u)=R^{\nu _{1}}f^{\lambda \nu _{1}}(u),\ T^{N}(u)={\frac {1}{c'{}^{\nu _{2}}}}(R-c)^{\nu _{2}}f^{\lambda \nu _{2}}(u).$

(25)

‎Вставив эти выражения в формулу (23), находим:

$\eta _{2}^{n}={\frac {(R-c)^{\nu _{2}}R^{N-\nu _{1}}}{c'{}^{\nu _{2}}R'{}^{N}}}f^{\lambda (\nu _{2}-\nu _{1}-\nu )}(u).$

(26)

‎Величины $\nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$, как мы знаем, таковы:

для тетраэдрического типа: $\nu =4,\ \nu _{1}=4,\ \nu _{2}=6,$

для октаэдрического типа: $\nu =6,\ \nu _{1}=8,\ \nu _{2}=12,$

для икосаэдрического типа: $\nu =12,\ \nu _{1}=200,\ \nu _{2}=30.$

Во всех трех случаях имеет место равенство:

$\nu _{2}-\nu _{1}-\nu =-2.$

(27)

‎Поэтому равенство (26) можно представить в таком виде:

$\eta _{2}^{n}f^{2\lambda }(u)={\frac {(R-c)^{\nu _{2}}R^{N-\nu _{1}}}{c'{}^{\nu _{2}}R'{}^{N}}}.$

(28)

‎Так как многочлен $f(u)$ степени $\nu$, то:

$\eta _{2}^{n}f(u)=f(\eta _{1},\;\eta _{2}).$

‎Отсюда следует, что равенство (28) можно представить в следующем виде:

$f^{2\lambda }(\eta _{1},\;\eta _{2})={\frac {(R-c)^{\nu _{2}}R^{N-\nu _{1}}}{c'{}^{\nu _{2}}R'{}^{N}}}.$

(29)

‎Отсюда, обозначая индекс первичной формы $f(\eta _{1},\;\eta _{2})$ по-прежнему буквой $\mu$ и припомнив, что

$2\lambda =\mu ,$

‎находим:

$f(\eta _{1},\;\eta _{2})={\sqrt[{\mu }]{\frac {(R-c)^{\nu _{2}}R^{N-\nu _{1}}}{c'{}^{\nu _{2}}R'{}^{N}}}}.$

(30)

‎Первичная форма $f(\eta _{1},\;\eta _{2})$ выражена в виде радикала степени $\mu$ из рациональной функции $z$.

Из уравнений (24) следует:

$\left.{\begin{array}{l}H^{2\lambda _{1}}(\eta _{1},\;\eta _{2})=R^{2}f^{2\lambda }(\eta _{1},\;\eta _{2}),\\T^{2\lambda _{2}}(\eta _{1},\;\eta _{2})={\dfrac {1}{c'{}^{2}}}(R-c)^{2}f^{2\lambda }(\eta _{1},\;\eta _{2}).\end{array}}\right\}$

(31)

‎Подставив в эти равенства выражение (30) формы $f(\eta _{1},\;\eta _{2})$, находим:

$\left.{\begin{array}{l}H^{2\lambda _{1}}(\eta _{1},\;\eta _{2})={\dfrac {(R-c)^{\nu _{2}}R^{N-\nu _{1}+2}}{c'{}^{\nu _{2}}R'{}^{N}}},\\T^{2\lambda _{2}}(\eta _{1},\;\eta _{2})={\dfrac {(R-c)^{\nu _{2}+2}R^{N-\nu _{1}}}{c'{}^{\nu _{2}+2}R'{}^{N}}}.\end{array}}\right\}$

(32)

‎Откуда, припомнив, что:

$2\lambda _{1}=\mu _{1},\ \lambda _{2}=\mu _{2},$

‎находим:

$H(\eta _{1},\;\eta _{2})={\sqrt[{\mu _{1}}]{\frac {(R-c)^{\nu _{2}}R^{N-\nu _{1}+2}}{c'{}^{\nu _{2}}R'{}^{N}}}},$

(33)

$T(\eta _{1},\;\eta _{2})={\sqrt[{\mu _{1}}]{\frac {(R-c)^{\nu _{2}+2}R^{N-\nu _{1}}}{c'{}^{\nu _{2}+2}R'{}^{N}}}}.$

(34)

‎Формулы эти дают выражения первичных форм $H(\eta _{1},\;\eta _{2}),\ T(\eta _{1},\;\eta _{2})$ в виде радикалов из рациональной функции $z$.

Применим формулы (30), (33), (34) к каждому из рассматриваемых трех типов в отдельности, давая показателям $\mu ,\ \mu _{1},\ \mu _{2},\ \nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$ соответствующие значения.

I. Тип тетраэдрический.

$\left.{\begin{array}{l}f(\eta _{1},\;\eta _{2})={\dfrac {(R-c)R}{c'R'{}^{2}}}{\sqrt[{3}]{R}},\\H(\eta _{1},\;\eta _{2})={\dfrac {(R-c)R}{c'{}^{2}R'{}^{2}}}{\sqrt[{3}]{R^{2}}},\\T(\eta _{1},\;\eta _{2})={\dfrac {(R-c)^{2}R^{2}}{c'{}^{2}R'{}^{3}}}.\end{array}}\right\}$

(35)

II. Тип октаэдрический.

$\left.{\begin{array}{l}f(\eta _{1},\;\eta _{2})={\dfrac {(R-c)R^{2}}{c'{\sqrt {c'}}R'{}^{3}}}{\sqrt {R-c}},\\H(\eta _{1},\;\eta _{2})={\dfrac {(R-c)^{2}R^{3}}{c'{}^{2}R'{}^{4}}},\\T(\eta _{1},\;\eta _{2})={\dfrac {(R-c)^{3}R^{4}}{c'{}^{3}{\sqrt {c'}}R'{}^{6}}}{\sqrt {R-c}}.\end{array}}\right\}$

(36)

III. Тип икосаэдрический.

$\left.{\begin{array}{l}f(\eta _{1},\;\eta _{2})={\dfrac {(R-c)^{3}R^{4}}{c'{}^{3}R'{}^{6}}},\\H(\eta _{1},\;\eta _{2})={\dfrac {(R-c)^{5}R^{7}}{c'{}^{5}R'{}^{10}}},\\T(\eta _{1},\;\eta _{2})={\dfrac {(R-c)^{8}R^{10}}{c'{}^{8}R'{}^{15}}}.\end{array}}\right\}$

(37)

‎Заслуживает некоторого внимания та особенность уравнения икосаэдрического типа, что здесь все три формы $f(\eta _{1},\;\eta _{2})$, $H(\eta _{1},\;\eta _{2})$, $T(\eta _{1},\;\eta _{2})$ суть рациональные функции $z$.

§ 36. Внешний вид уравнений, имеющих корнями частные интегралы дифференциального уравнения вида:

${\frac {d^{2}\eta }{dz^{2}}}=P\eta .$

(9)

‎Пусть, согласно нашим обозначениям, уравнение степени

$F(\eta ,\;z)=0$

(8)

‎имеет корнями частные интегралы дифференциального уравнения:

${\frac {d^{2}\eta }{dz^{2}}}=P\eta .$

(9)

Пусть:

$\eta _{1},\ \eta _{2},\ \ldots ,\ \eta _{\nu '},$

(38)

‎есть приведенная система корней уравнения (8).

Выразим величины (38) в виде линейных функций двух каких-нибудь частных интегралов уравнения (9):

$\eta ',\ \eta ''.$

‎Перемножив полученные выражения между собой, мы получим первичную форму:

$\eta _{1}\eta _{2}\ldots \eta _{\nu '}={\mathfrak {F}}(\eta ',\;\eta ''),$

(39)

‎соответствующую алгебраическому уравнению (8).

Степень первичной формы (39) равна числу $\nu '$ корней приведенной системы (38), а индекс $\mu '$ равен:

$\mu '={\frac {n}{\nu '}}.$

(40)

‎Все первичные формы, соответствующие алгебраическому уравнению (8), эквивалентны между собой: они получаются из формы (39) всевозможными бинарными линейными преобразованиями.

Каждое такое преобразование соответствует новому выбору тех двух частных интегралов $\eta ',\ \eta ''$ уравнения (9), через которые мы выражаем корни приведенной системы (38).

Считая все эквивалентные формы тождественными между собой, мы можем сказать, что каждому алгебраическому уравнению (8) соответствует определенная первичная форма (39) и обратно: каждой первичной форме (39) соответствует единственное уравнение (8).

Для большей простоты формул мы примем $\eta ''$ равным одному из корней (38) уравнения (8).

Мы видели в § 27, что всякая первичная форма должна принадлежать к одному из четырех видов:

$af(\eta ',\;\eta ''),\ bH(\eta ',\;\eta ''),\ gT(\eta ',\;\eta ''),\ hH^{\lambda _{1}}(\eta ',\;\eta '')+kf^{\lambda }(\eta ',\;\eta ''),$

(41)

‎где $a,\ b,\ g,\ h,\ k$ — некоторые постоянные.

Отсюда заключаем, что уравнение (8) должно иметь один из четырех видов, соответствующих формам (41).

Индексы форм (41) таковы:

$\mu =2\lambda ,\ \mu _{1}=2\lambda _{1},\ \mu _{2}=2\lambda _{2},\ \mu _{3}=2.$

(42)

‎В начале § 2 мы видели, что уравнение (8) содержит неизвестную $\eta$ исключительно в степенях, делящихся на индекс соответствующей первичной формы.

Пусть уравнение (8) соответствует первичной форме:

${\mathfrak {F}}(\eta ',\;\eta '')$

‎степени $\nu '$, индекса $\mu '$.

Тогда уравнение (8) будет таково:

$\eta ^{n}+A_{\mu '}\eta ^{n-\mu '}+A_{2\mu '}\eta ^{n-2\mu '}+\ldots +A_{n-\mu '}\eta ^{\mu '}+A_{n}=0,$

(43)

‎где:

$A_{\mu '},\ A_{2\mu '},\ \ldots ,\ A_{n-\mu '},\ A_{n}$

(44)

‎суть рациональные функции $z$.

Посмотрим, как найти выражения этих функций.

Коэффициенты (44) суть целые, однородные, симметрические функции корней уравнения (43), или, что то же самое, уравнения (8). Выразив их, как функции корней и вставив затем выражения этих корней через интегралы $\eta ',\ \eta ''$, мы представим каждый из коэффициентов (44) в виде целой однородной бинарной формы с аргументами $\eta ',\ \eta ''$:

$A_{k\mu '}(\eta ',\;\eta ''),$ где $k=1,\ 2,\ 3,\ \ldots ,\ \nu '.$

(45)

‎Все формы (45) инварианты по отношению к группам бинарных линейных подстановок, испытываемых величинами $\eta ',\ \eta ''$ при всевозможных обходах на плоскости переменной $z$.

Это следует из того, что коэффициенты (44) могут быть представлены в виде рациональных функций переменной $z$.

Что касается коэффициента

$A_{n}(\eta ',\;\eta ''),$

‎то он равен произведению корней уравнения (8), и поэтому может разниться лишь постоянным множителем от степени $\mu '$ первичной формы

${\mathfrak {F}}(\eta ',\;\eta ''),$

‎соответствующей уравнению (8):

$A_{n}(\eta ',\;\eta '')=q_{n}{\mathfrak {F}}^{\mu '}(\eta ',\;\eta ''),$

(46)

‎где $q_{n}$ — постоянное число.

Мы знаем, что первичная форма в степени, равной ее индексу, есть рациональная функция $z$. Помня, что первичная форма выражается одной из формул (41) и имея равенства (35), (36), (37), мы можем найти выражение этой рациональной функции $z$, какова бы ни была первичная форма ${\mathfrak {F}}(\eta ',\;\eta '')$.

Вставив во второй части равенства (46) вместо ${\mathfrak {F}}^{\mu '}(\eta ',\;\eta '')$ ее выражение в виде функции $z$, мы определим коэффициент $A_{n}$ уравнения (43) с точностью до постоянного множителя.

Подобным же образом найдутся выражения остальных коэффициентов (44). Действительно, на основании теоремы 3 главы VI мы можем утверждать, что каждая из форм (45) может быть представлена в таком виде:

${\begin{matrix}A_{k\mu '}(\eta ',\;\eta '')=\\=\Phi [H^{\lambda _{1}}(\eta ',\;\eta ''),\;f^{\lambda }(\eta ',\;\eta '')]f^{m_{1}}(\eta ',\;\eta '')H^{m_{2}}(\eta ',\;\eta '')T^{m_{3}}(\eta ',\;\eta ''),\end{matrix}}$

(47)

‎где $\Phi$ есть форма некоторой степени $s$, однородная относительно ее аргументов:

$H^{\lambda _{1}}(\eta ',\;\eta '')$ и $f^{\lambda }(\eta ',\;\eta ''),$

‎показатели $m_{1},\ m_{2}\,m_{3}$ суть числа целые, положительные и меньшие чисел $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$.

Сравнивая степени форм, стоящих в обеих частях тождества (47), находим неопределенное уравнение:

$k\mu '=Ns+m_{1}\nu +m_{2}\nu _{1}+m_{3}\nu _{2}.$

(48)

‎Так как

$k\mu '<n,\ n=2N,$

‎то из неопределенного уравнения (48) заключаем, что степень $s$ формы $\Phi$ равна 0 или 1.

Неопределенное уравнение (48) дает одну или, в крайнем случае, весьма ограниченное число систем решений. Если уравнение (48) окажется невозможным, то это служит признаком того, что коэффициент $A_{k\mu '}$ равен нулю.

Вставив найденные системы решений уравнения (48) в формулу (47), мы найдем одно или, в крайнем случае, весьма ограниченное число выражений, могущих изобразить собой коэффициент $A_{k\mu '}$. В каждом из этих выражений входит один или два неизвестных постоянных коэффициента.

Вставив найденные выражения коэффициентов $A_{k\mu '}(\eta ',\;\eta '')$ в уравнение (43), разделив все уравнение на $\eta ''{}^{n}$ и положив

$\eta =\eta '',\ {\frac {\eta '}{\eta ''}}=u,$

‎найдем:

$1+A_{\mu '}(u)+A_{2\mu '}(u)+\ldots +A_{n}(u)=0.$

(49)

‎Равенство (49) должно быть тождеством: иначе отношение

${\frac {\eta '}{\eta ''}}=u$

‎было бы постоянным.

Отобрав в левой части равенства (49) коэффициенты при одинаковых степенях $u$ и приравнивая их нулю, мы находим уравнения 1-ой степени, определяющие те неизвестные постоянные, которые входят в коэффициенты $A_{k\mu '}(u)$.

Выполнив эти вычисления, мы найдем окончательные выражения функций $A_{k\mu '}(\eta ',\;\eta '')$.

Вставив затем в полученные выражения $A_{k\mu '}(\eta ',\;\eta '')$ вместо первичных форм

$f(\eta ',\;\eta ''),\ H(\eta ',\;\eta ''),\ T(\eta ',\;\eta '')$

‎их выражения в виде функций переменной $z$, мы находим окончательные выражения коэффициентов (44) уравнения (43).

Таков совершенно общий прием составления уравнения (43). Он представляет лишь механические затруднения, правда довольно значительные, при определении неизвестных постоянных, обращающих в тождество уравнение (49).

Прием этот в отдельных случаях может быть упрощен или заменен другими более удобными в этих случаях приемами, как это мы сейчас увидим.

Из уравнений вида (43) наибольший интерес по своей простоте представляют уравнения, соответствующие первичной форме $f(\eta ',\;\eta '')$ — эти уравнения содержат в себе наименьшее число членов. Займемся их составлением.

I. Уравнение тетраэдрического типа.

Возьмем формы второго нормального тетраэдрического типа:

$\left.{\begin{array}{l}f(\eta _{1},\;\eta _{2})=\eta _{1}^{4}-2{\sqrt {2}}\eta _{1}\eta _{2}^{3},\\H(\eta _{1},\;\eta _{2})=2{\sqrt {2}}\eta _{1}^{3}\eta _{2}+\eta _{2}^{4},\\T(\eta _{1},\;\eta _{2})=\eta _{1}^{6}+5{\sqrt {2}}\eta _{1}^{3}\eta _{2}^{3}-\eta _{2}^{6}.\end{array}}\right\}$

(50)

‎Подставив эти выражения в равенства (35), находим:

$\left.{\begin{array}{l}\eta _{1}^{4}-2{\sqrt {2}}\eta _{1}\eta _{2}^{3}={\dfrac {(R-c)R}{c'R'{}^{2}}}{\sqrt[{3}]{R}},\\2{\sqrt {2}}\eta _{1}^{3}\eta _{2}+\eta _{2}^{4}={\dfrac {(R-c)R}{c'{}^{2}R'{}^{2}}}{\sqrt[{3}]{R^{2}}},\\\eta _{1}^{6}+5{\sqrt {2}}\eta _{1}^{3}\eta _{2}^{3}-\eta _{2}^{6}={\dfrac {(R-c)^{2}R^{2}}{c'{}^{2}R'{}^{3}}}.\end{array}}\right\}$

(51)

Положив в формулах (51):

${\frac {\eta _{1}}{\eta _{2}}}=u,$

‎находим:

$\left.{\begin{array}{l}1-{\dfrac {2{\sqrt {2}}}{u^{3}}}={\dfrac {(R-c)R}{c'R'{}^{2}\eta _{1}^{4}}}{\sqrt[{3}]{R}},\\1+{\dfrac {5{\sqrt {2}}}{u^{3}}}-{\dfrac {1}{u^{6}}}={\dfrac {(R-c)^{2}R^{2}}{c'{}^{2}R'{}^{3}\eta _{1}^{6}}}.\end{array}}\right\}$

(52)

‎Исключим $u$ из уравнений (52):

${\begin{matrix}\eta _{1}^{8}-{\dfrac {2}{3}}{\dfrac {(R-c)R}{c'R'{}^{2}}}{\sqrt[{3}]{R}}\eta _{1}^{4}-{\dfrac {8}{27}}{\dfrac {(R-c)^{2}R^{2}}{c'{}^{2}R'{}^{3}}}\eta _{1}^{2}\,-\\-\,{\dfrac {1}{27}}{\dfrac {(R-c)^{2}R^{2}}{c'{}^{2}R'{}^{4}}}{\sqrt[{3}]{R^{2}}}=0.\end{matrix}}$

(53)

‎Освободив это уравнение от радикалов и опуская индекс 1 при $\eta _{1}$, находим:

${\begin{matrix}\left(\eta ^{8}-{\dfrac {2^{2}}{3^{2}}}{\dfrac {(R-c)^{2}R^{2}}{c'{}^{2}R'{}^{3}}}\eta ^{2}\right)^{3}-{\dfrac {2^{3}}{3^{3}}}{\dfrac {(R-c)^{3}R^{4}}{c'{}^{3}R'{}^{6}}}\eta ^{12}\,-\\-\,{\dfrac {2}{3^{3}}}\left(\eta ^{8}-{\dfrac {2^{3}}{3^{3}}}{\dfrac {(R-c)^{2}R^{2}}{c'{}^{2}R'{}^{3}}}\eta ^{2}\right){\dfrac {(R-c)^{3}R^{4}}{c'{}^{3}R'{}^{6}}}\eta ^{4}-{\dfrac {1}{3^{9}}}{\dfrac {(R-c)^{6}R^{8}}{c'{}^{6}R'{}^{12}}}=0.\end{matrix}}$

(54)

‎Это — уравнение, соответствующее первичной форме:

$f(\eta _{1},\;\eta _{2})=\eta _{1}^{4}-2{\sqrt {2}}\eta _{1}\eta _{2}^{3}.$

‎Оно, как и следовало ожидать, содержит в себе неизвестную $\eta$ только в степенях, кратных 6. Свободный член его

$-{\dfrac {1}{3^{9}}}{\dfrac {(R-c)^{6}R^{8}}{c'{}^{6}R'{}^{12}}},$

‎как и должно быть, разнится от выражения

$f^{6}(\eta _{1},\;\eta _{2})={\frac {(R-c)^{6}R^{8}}{c'{}^{6}R'{}^{12}}}$

‎только постоянным множителем: $-{\frac {1}{3^{9}}}.$

Подставив в уравнении (54) вместо $c$ и $c'$ их величины:

$c=-1,\ c'=1$

‎и положив:

${\frac {1}{c}}R(z)=z,$

‎находим:

${\begin{matrix}\eta ^{24}-{\dfrac {2^{3}}{3^{2}}}(1-z)^{2}z^{2}\eta ^{18}-{\dfrac {2}{3^{5}}}(32z+13)(1-z)^{3}z^{4}\eta ^{12}\,+\\+\,{\dfrac {2^{4}}{3^{9}}}(32z-5)(1-z)^{5}z^{6}\eta ^{6}-{\dfrac {1}{3^{9}}}(1-z)^{6}z^{8}=0.\end{matrix}}$

(55)

II. Уравнение октаэдрического типа.

Возьмем октаэдрические формы первого нормального вида:

$\left.{\begin{array}{l}f(\eta _{1},\;\eta _{2})=\eta _{1}^{5}\eta _{2}-\eta _{1}\eta _{2}^{5},\\H(\eta _{1},\;\eta _{2})=\eta _{1}^{8}+14\eta _{1}^{4}\eta _{2}^{4}+\eta _{2}^{8},\\T(\eta _{1},\;\eta _{2})=\eta _{1}^{12}-33\eta _{1}^{8}\eta _{2}^{4}-33\eta _{1}^{4}\eta _{2}^{8}+\eta _{2}^{12}.\end{array}}\right\}$

(56)

‎Вставив эти выражения в формулы (36), находим:

$\left.{\begin{array}{l}\eta _{1}^{5}\eta _{2}-\eta _{1}\eta _{2}^{5}={\dfrac {(R-c)R^{2}}{c'{\sqrt {c'}}R'{}^{3}}}{\sqrt {R-c}},\\\eta _{1}^{8}+14\eta _{1}^{4}\eta _{2}^{4}+\eta _{2}^{8}={\dfrac {(R-c)^{2}R^{3}}{c'{}^{2}R'{}^{4}}},\\\eta _{1}^{12}-33\eta _{1}^{8}\eta _{2}^{4}-33\eta _{1}^{4}\eta _{2}^{8}+\eta _{2}^{12}={\dfrac {(R-c)^{3}R^{4}}{c'{}^{3}{\sqrt {c'}}R'{}^{6}}}{\sqrt {R-c}}.\end{array}}\right\}$

(57)

Положив в уравнениях (57):

${\frac {\eta _{1}}{\eta _{2}}}=u,$

‎находим:

$\left.{\begin{array}{l}u^{8}+14u^{4}+1={\dfrac {(R-c)^{2}R^{3}}{c'{}^{2}R'{}^{4}\eta _{2}^{8}}},\\u^{12}-33u^{8}-33u^{4}+1={\dfrac {(R-c)^{3}R^{4}}{c'{}^{3}{\sqrt {c'}}R'{}^{6}\eta _{2}^{12}}}{\sqrt {R-c}}.\end{array}}\right\}$

(58)

‎Исключив $u$ из уравнений (58), находим:

${\begin{matrix}\eta _{2}^{24}-{\dfrac {5}{2\cdot 3}}{\dfrac {(R-c)^{2}R^{3}}{c'{}^{2}R'{}^{4}}}\eta _{2}^{16}-{\dfrac {5}{2^{4}}}{\dfrac {(R-c)^{3}R^{4}}{c'{}^{3}{\sqrt {c'}}R'{}^{6}}}{\sqrt {R-c}}\,\eta _{2}^{12}\,-\\-\,{\dfrac {3\cdot 5}{2^{8}}}{\dfrac {(R-c)^{4}R^{6}}{c'{}^{4}R'{}^{8}}}\eta _{2}^{8}-{\dfrac {1}{2^{8}}}{\dfrac {(R-c)^{5}R^{7}}{c'{}^{5}{\sqrt {c'}}R'{}^{10}}}{\sqrt {R-c}}\,\eta _{2}^{4}\,-\\-\,{\dfrac {1}{2^{10}\cdot 3^{3}}}{\dfrac {(R-c)^{6}R^{8}}{c'{}^{6}R'{}^{12}}}\left({\dfrac {R-c}{c'}}-R\right)=0.\end{matrix}}$

(59)

‎или, освобождая это уравнение от радикалов и опустив индекс 2 при $\eta _{2}$:

${\begin{matrix}\left\{\eta ^{24}-{\dfrac {5}{2\cdot 3}}{\dfrac {(R-c)^{2}R^{3}}{c'{}^{2}R'{}^{4}}}\eta ^{16}-{\dfrac {3\cdot 5}{2^{8}}}{\dfrac {(R-c)^{4}R^{6}}{c'{}^{4}R'{}^{8}}}\eta ^{8}\,-\right.\\\left.-\,{\dfrac {1}{2^{10}\cdot 3^{3}}}{\dfrac {(R-c)^{6}R^{8}}{c'{}^{6}R'{}^{12}}}\left({\dfrac {R-c}{c'}}-R\right)\right\}^{2}\,-\\-\,{\dfrac {5^{2}}{2^{8}}}\left\{\eta ^{8}-{\dfrac {1}{2^{4}\cdot 5}}{\dfrac {(R-c)^{2}R^{3}}{c'{}^{2}R'{}^{4}}}\right\}^{2}{\dfrac {(R-c)^{7}R^{8}}{c'{}^{7}R'{}^{12}}}\eta ^{8}=0.\end{matrix}}$

(60)

‎Таково уравнение, соответствующее октаэдрической форме $f(\eta _{1},\;\eta _{2})$.

Подставив в него значения постоянных:

$c=108,\ c'=1,$

‎и положив:

${\frac {1}{c}}R(z)=z,$

‎находим:

${\begin{matrix}\left\{\eta ^{24}-2\,.\,3^{2}\,.\,5(1-z)^{2}z^{3}\eta ^{16}-{\dfrac {3^{7}\,.\,5}{2^{4}}}(1-z)^{4}z^{6}\eta ^{8}+{\dfrac {3^{6}}{2^{4}}}(1-z)^{6}z^{8}\right\}^{2}\,+\\+\,{\dfrac {3^{9}\,.\,5^{2}}{2^{2}}}\left\{\eta ^{8}-{\dfrac {3^{3}}{2^{2}\,.\,5}}(1-z)^{2}z^{3}\right\}^{2}(1-z)^{7}z^{8}\eta ^{8}=0.\end{matrix}}$

(61)

III. Уравнение икосаэдрического типа.

Возьмем нормальные формы икосаэдрического типа:

$\left.{\begin{array}{l}f(\eta _{1},\;\eta _{2})=\eta _{1}\eta _{2}(\eta _{1}^{10}+11\eta _{1}^{5}\eta _{2}^{5}-\eta _{2}^{10}),\\H(\eta _{1},\;\eta _{2})=\eta _{1}^{20}-228\eta _{1}^{15}\eta _{2}^{5}+494\eta _{1}^{10}\eta _{2}^{10}\,+\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad +\,228\eta _{1}^{5}\eta _{2}^{15}+\eta _{2}^{20},\\T(\eta _{1},\;\eta _{2})=\eta _{1}^{30}+522\eta _{1}^{25}\eta _{2}^{5}-10005\eta _{1}^{20}\eta _{2}^{10}\,-\\\quad \quad \quad -\,10005\eta _{1}^{10}\eta _{2}^{20}-522\eta _{1}^{5}\eta _{2}^{25}+\eta _{2}^{30}.\end{array}}\right\}$

(62)

‎Мы могли бы составить уравнение, соответствующее первичной форме $f(\eta _{1},\;\eta _{2})$, пользуясь тем же приемом, который мы применили в предшествующих двух случаях; но исключение переменной

$u={\frac {\eta _{1}}{\eta _{2}}}$

‎в данном случае представляло бы весьма большие механические затруднения.

Будет несколько короче воспользоваться общим приемом, указанным в начале настоящего параграфа.

Индекс первичной формы $f(\eta _{1},\;\eta _{2})$ икосаэдрического типа равен 10; поэтому искомое уравнение будет такого вида:

$\eta ^{120}+A_{10}\eta ^{110}+A_{20}\eta ^{100}+\ldots +A_{110}\eta ^{10}+A_{120}=0.$

(63)

Выразив коэффициенты этого уравнения в виде однородных форм с аргументами $\eta _{1},\ \eta _{2}$, мы можем сказать, что коэффициент

$A_{10k}(\eta _{1},\;\eta _{2})$

‎представляется в таком виде:

${\begin{matrix}A_{10k}(\eta _{1},\;\eta _{2})=\Phi [f^{5}(\eta _{1},\;\eta _{2}),\;H^{3}(\eta _{1},\;\eta _{2})]\,\times \\\,\times f^{m_{1}}(\eta _{1},\;\eta _{2})H^{m_{2}}(\eta _{1},\;\eta _{2})T^{m_{3}}(\eta _{1},\;\eta _{2}),\end{matrix}}$

(64)

‎причем показатели $m_{1},\ m_{2},\ m_{3}$ и степень $s$ формы $\Phi$ связаны между собой неопределенным уравнением:

$10k=60s+12m_{1}+20m_{2}+30m_{3},$

(65)

‎откуда:

$k=6s+{\frac {6}{5}}m_{1}+2m_{2}+3m_{3}.$

(66)

‎Из этого уравнения следует, что число $m_{1}$ делится на 5. Так как мы, кроме того, знаем, что $m_{1}$ должно быть меньше 5, то число это, необходимо, равно 0.

Итак:

${\begin{matrix}m_{1}=0,\\k=6s+2m_{2}+3m_{3}.\end{matrix}}$

(67)

‎Неопределенное уравнение (67) при всех значениях $k$ от $k=1$ до $k=11$ допускает только по одной системе целых положительных решений. Решив эти уравнения, находим следующие выражения коэффициентов $A_{10k}(\eta _{1},\;\eta _{2})$:

$\left.{\begin{array}{l}A_{10}=0,\ A_{20}=p_{2}H(\eta _{1},\;\eta _{2}),\ A_{30}=p_{3}T(\eta _{1},\;\eta _{2}),\\A_{40}=p_{4}H^{2}(\eta _{1},\;\eta _{2}),\ A_{50}=p_{5}H(\eta _{1},\;\eta _{2})T(\eta _{1},\;\eta _{2}),\\A_{60}=p_{6}f^{5}(\eta _{1},\;\eta _{2})+q_{6}H^{3}(\eta _{1},\;\eta _{2}),\\A_{70}=p_{7}H^{2}(\eta _{1},\;\eta _{2})T(\eta _{1},\;\eta _{2}),\\A_{80}=p_{8}f^{5}(\eta _{1},\;\eta _{2})+q_{8}H^{3}(\eta _{1},\;\eta _{2})H(\eta _{1},\;\eta _{2}),\\A_{90}=p_{9}f^{5}(\eta _{1},\;\eta _{2})+q_{9}H^{3}(\eta _{1},\;\eta _{2})T(\eta _{1},\;\eta _{2}),\\A_{100}=p_{10}f^{5}(\eta _{1},\;\eta _{2})+q_{10}H^{3}(\eta _{1},\;\eta _{2})H^{2}(\eta _{1},\;\eta _{2}),\\A_{110}=p_{11}f^{5}(\eta _{1},\;\eta _{2})+q_{11}H^{3}(\eta _{1},\;\eta _{2})H(\eta _{1},\;\eta _{2})T(\eta _{1},\;\eta _{2}),\end{array}}\right\}$

(68)

‎где $p_{2},\ p_{3},\ \ldots ,\ p_{11},\ q_{6},\ q_{8},\ q_{9},\ \ldots ,\ q_{11}$ суть некоторые пока нам неизвестные постоянные коэффициенты.

Коэффициент $A_{120}$, как мы знаем, разнится от $f^{10}(\eta _{1},\;\eta _{2})$ только некоторым постоянным множителем:

$A_{120}=q_{12}f^{10}(\eta _{1},\;\eta _{2}).$

(69)

‎Для определения постоянных $p_{2},\ p_{3},\ \ldots ,\ p_{11},\ q_{6},\ q_{8},\ \ldots ,\ q_{12}$ мы могли бы подставить выражения коэффициентов (68) и (69) в уравнение (63) и применить общий прием, указанный выше.

Такой способ, несомненно, привел бы к цели, но потребовал бы громадных арифметических вычислений.

Можно несколько упростить эти вычисления, пользуясь следующими соображениями^[4].

В § 20 мы нашли основные подстановки икосаэдрической группы бинарных линейных подстановок. Тем же способом можно найти все подстановки этой группы.

Обозначив через $\upsilon$ бинарную подстановку:

$\upsilon ={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},$

(70)

‎соответствующую неоднородной подстановке:

$U(u)=-{\frac {1}{u}},$

‎мы можем изобразить бинарные подстановки нормальной икосаэдрической группы такими символическими формулами:

$\left.{\begin{array}{l}\sigma ^{k},\ \sigma ^{k}\upsilon ,\ \sigma ^{k}\tau \sigma ^{h},\ \sigma ^{k}\tau \sigma ^{k}\upsilon ,\\{\text{где }}k=0,\ 1,\ldots \ 9,\\{\phantom {\text{где }}}h=0,\ 1,\ldots \ 4.\end{array}}\right\}$[5]

(71)

‎Если $\eta _{1}$ есть корень уравнения (63), то тому же уравнению удовлетворит функция $-\eta _{2}$: это следует из того, что в группу (71) рассматриваемого уравнения входит подстановка $\upsilon$:

$\left.{\begin{matrix}{\bar {\eta }}_{1}=-\eta _{2},\\{\bar {\eta }}_{2}=\eta _{1}.\end{matrix}}\right\}$

(70')

‎Применяя к величинам $\eta _{1},\ -\eta _{2}$ подстановки группы (71), находим все корни уравнения (63), выраженные в виде линейных функций от $\eta _{1},\ \eta _{2}$.

Десятые степени корней изобразятся формулами:

$\left.{\begin{matrix}\eta _{1}^{10},\ \eta _{2}^{10},\ \left({\dfrac {\varepsilon -\varepsilon ^{4}}{\sqrt {5}}}\varepsilon ^{h}\eta _{1}-{\dfrac {\varepsilon ^{2}-\varepsilon ^{3}}{\sqrt {5}}}\eta _{2}\right)^{10},\\\left({\dfrac {\varepsilon ^{2}-\varepsilon ^{3}}{\sqrt {5}}}\varepsilon ^{h}\eta _{1}+{\dfrac {\varepsilon -\varepsilon ^{4}}{\sqrt {5}}}\eta _{2}\right)^{10},\\{\text{где }}h=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{5}}.\end{matrix}}\right\}$

(72)

‎Уравнение (63) представится в таком виде:

${\begin{matrix}(\eta ^{10}-\eta _{1}^{10})(\eta ^{10}-\eta _{2}^{10})\prod \limits _{h=0}^{h=4}\left\{\eta ^{10}-\left({\dfrac {\varepsilon -\varepsilon ^{4}}{\sqrt {5}}}\varepsilon ^{h}\eta _{1}-{\dfrac {\varepsilon ^{2}-\varepsilon ^{3}}{\sqrt {5}}}\eta _{2}\right)^{10}\right\}\,\times \\\times \,\left\{\eta ^{10}-\left({\dfrac {\varepsilon ^{2}-\varepsilon ^{3}}{\sqrt {5}}}\varepsilon ^{h}\eta _{1}+{\dfrac {\varepsilon -\varepsilon ^{4}}{\sqrt {5}}}\eta _{2}\right)^{10}\right\}=0.\end{matrix}}$

(73)

‎Представив уравнение (63) в виде (73), мы можем вычислить симметрические функции $s_{10},\ s_{20},\ s_{30},\ \ldots$ его корней, а затем и коэффициенты уравнения (63). Эти коэффициенты представляются в виде однородных форм с аргументами $\eta _{1},\ \eta _{2}$ и должны быть тождественны с найденными выше выражениями (68) этих коэффициентов.

Сравнивая полученные два выражения каждого из коэффициентов $A_{10k}$, мы определим величины постоянных, входящих в формулы (68). Само собой ясно, что находя выражения форм $A_{10k}(\eta _{1},\;\eta _{2})$ из уравнения (73), мы можем ограничиваться вычислением одного или двух старших коэффициентов этих форм.

Приведем величины нескольких из коэффициентов, найденных этим способом:

$\left.{\begin{matrix}p_{2}=-{\dfrac {14}{5^{2}}},\ p_{3}=-{\dfrac {41}{5^{3}}},\ p_{5}=-{\dfrac {293}{5^{5}}},\ p_{6}=-{\dfrac {254}{5^{6}}},\\p_{6}=-{\dfrac {718}{5^{8}}},\ p_{7}=-{\dfrac {271}{5^{9}}},\ldots ,\ p_{11}=-{\dfrac {1}{5^{25}}},\ldots ,\\q_{12}={\dfrac {1}{5^{25}}}.\end{matrix}}\right\}$

(74)

‎Все коэффициенты мы не вычисляем, потому что уравнение (63) по своей высокой степени и сложности коэффициентов может иметь исключительно теоретический интерес.

Вставив в формулы (68) вместо $f(\eta _{1},\;\eta _{2}),\ H(\eta _{1},\;\eta _{2}),\ T(\eta _{1},\;\eta _{2})$ выражения (37) этих первичных форм через независимую переменную $z$, и внеся затем полученные выражения коэффициентов в уравнение (63), найдем:

${\begin{matrix}\eta ^{120}+p_{2}{\dfrac {(R-c)^{5}R^{7}}{c'{}^{5}R'{}^{10}}}\eta ^{100}+p_{3}{\dfrac {(R-c)^{8}R^{10}}{c'{}^{8}R'{}^{15}}}\eta ^{90}\,+\\+\,p_{4}{\dfrac {(R-c)^{10}R^{14}}{c'{}^{10}R'{}^{20}}}\eta ^{80}+p_{5}{\dfrac {(R-c)^{13}R^{17}}{c'{}^{13}R'{}^{25}}}\eta ^{70}\,+\\+\,{\dfrac {(R-c)^{15}R^{20}}{c'{}^{15}R'{}^{30}}}(p_{6}+Rq_{6})\eta ^{60}+p_{7}{\dfrac {(R-c)^{18}R^{24}}{c'{}^{18}R'{}^{35}}}\eta ^{50}\,+\\+\,{\dfrac {(R-c)^{20}R^{27}}{c'{}^{20}R'{}^{40}}}(p_{8}+Rq_{8})\eta ^{40}+{\dfrac {(R-c)^{23}R^{30}}{c'{}^{23}R'{}^{45}}}(p_{9}+Rq_{9})\eta ^{30}\,+\\+\,{\dfrac {(R-c)^{25}R^{34}}{c'{}^{25}R'{}^{50}}}(p_{10}+Rq_{10})\eta ^{20}+{\dfrac {(R-c)^{28}R^{37}}{c'{}^{28}R'{}^{55}}}(p_{11}+Rq_{11})\eta ^{10}\,+\\+\,q_{12}{\dfrac {(R-c)^{30}R^{40}}{c'{}^{30}R'{}^{60}}}=0.\end{matrix}}$

(75)

Подставив вместо $c$ и $c'$ величины этих постоянных:

$c=-12^{3},\ c'=1,$

‎и положив:

${\frac {1}{c}}R(z)=z,$

‎находим:

${\begin{matrix}\eta ^{120}+12^{6}p_{2}(1-z)^{5}z^{7}\eta ^{100}+12^{9}p_{3}(1-z)^{8}z^{10}\eta ^{90}\,+\\+\,12^{12}p_{4}(1-z)^{10}z^{14}\eta ^{80}+12^{15}p_{5}(1-z)^{13}z^{17}\eta ^{70}\,+\\+\,12^{15}(p_{6}-12^{3}zq_{6})(1-z)^{15}z^{20}\eta ^{60}+12^{21}p_{7}(1-z)^{18}z^{24}\eta ^{50}\,+\\+\,12^{21}(p_{8}-12^{3}zq_{8})(1-z)^{20}z^{27}\eta ^{40}\,+\\+\,12^{24}(p_{9}-12^{3}zq_{9})(1-z)^{23}z^{30}\eta ^{30}\,+\\+\,12^{27}(p_{10}-12^{3}zq_{10})(1-z)^{25}z^{34}\eta ^{20}\,+\\+\,12^{30}(p_{11}-12^{3}zq_{11})(1-z)^{28}z^{37}\eta ^{10}+12^{30}(1-z)^{30}z^{40}=0.\end{matrix}}$

(76)

‎§ 37. Алгебраические уравнения, имеющие корнями частные интегралы гипергеометрических дифференциальных уравнений.

Мы видели в § 34, что преобразуя уравнение

$F(\eta ,\;z)=0$

(8)

‎подстановкой:

$\eta ={\frac {1}{k}}z^{\frac {1}{3}}(1-z)^{\frac {1}{4}}y,$

(22)

‎мы получаем новое алгебраическое уравнение, имеющее корнями частные интегралы гипергеометрического уравнения.

Выполним эти преобразования для уравнений, найденных в предыдущем параграфе.

I. Уравнение тетраэдрического типа.

Положив в формуле (22):

$k=1$

‎и совершив затем подстановку (22) в уравнении (55), находим:

${\begin{matrix}y^{24}+{\dfrac {2^{3}}{3^{2}}}{\sqrt {1-z}}y^{18}-{\dfrac {2}{3^{5}}}(32z+13)y^{12}\,+\\+\,{\dfrac {2^{4}}{3^{9}}}(32z-5){\sqrt {1-z}}y^{6}-{\dfrac {1}{3^{9}}}=0.\end{matrix}}$

(77)

‎Освободив это уравнение от радикалов, находим:

${\begin{matrix}\left\{y^{24}-{\dfrac {2}{3^{5}}}(32z+13)y^{12}-{\dfrac {1}{3^{9}}}\right\}^{2}\,-\\-\,{\dfrac {2^{6}}{3^{4}}}\left\{y^{12}+{\dfrac {2}{3^{7}}}(32z-5)\right\}^{2}(1-z)y^{12}=0.\end{matrix}}$

(78)

‎Все корни этого уравнения, как мы знаем, суть частные интегралы гипергеометрического уравнения (16), в котором параметры $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ таковы:

$\alpha ={\frac {1}{4}},\ \beta =-{\frac {1}{12}},\ \gamma ={\frac {2}{3}}.$

(79)

‎Иными словами, корни уравнения (78) суть частные интегралы гипергеометрического уравнения:

$z(1-z){\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+{\frac {1}{6}}(4-7z){\frac {dy}{dz}}+{\frac {1}{48}}y=0.$

(80)

‎Из формул (48) главы III следует, что существует два частных интеграла $y_{5},\ y_{6}$ уравнения (80), которые в области бесконечно удаленной точки могут быть изображены формулами:

$\left.{\begin{array}{l}y_{5}=z^{-{\frac {1}{4}}}F\left({\dfrac {1}{4}},\;{\dfrac {7}{12}},\;{\dfrac {4}{3}},\;{\dfrac {1}{z}}\right),\\y_{6}=z^{\frac {1}{12}}F\left(-{\dfrac {1}{12}},\;{\dfrac {1}{4}},\;{\dfrac {2}{3}},\;{\dfrac {1}{z}}\right).\end{array}}\right\}$

(81)

‎Всякий интеграл уравнения (80) и, вследствие этого, всякий корень уравнения (78) могут быть представлены в виде линейной функции от $y_{5}$ и $y_{5}$:

$y=Ay_{5}+By_{6}.$

(82)

‎Один из корней уравнения (80) в области точки $z=\infty$ разлагается в ряд вида:

$y={\frac {e^{\frac {\pi i}{12}}}{2{\sqrt {2}}}}z^{-{\frac {1}{4}}}+\ldots$

(83)

‎Этот корень при $z=\infty$ обращается в 0 и может выражаться формулой (82) только в таком случае, если

$A={\frac {e^{\frac {\pi i}{12}}}{2{\sqrt {2}}}},\ B=0.$

(84)

‎Итак, один из корней уравнения (78) в области III (см. черт. 2) изображается формулой:

$y={\frac {e^{\frac {\pi i}{12}}}{2{\sqrt {2}}}}F\left({\dfrac {1}{4}},\;{\dfrac {7}{12}},\;{\dfrac {4}{3}},\;{\dfrac {1}{z}}\right)z^{-{\frac {1}{4}}}.$

(85)

‎Остальные корни суть другие значения той же самой многозначной функции, имеющей 48 значений как видно из уравнения (78).

Выражения этих остальных корней в области III и выражения всех корней в области I найдутся из формулы (85) применением общих формул теории гипергеометрических функций^[6].

На этих вычислениях мы не будем останавливаться.

II. Уравнение октаэдрического типа.

Выполним такие же вычисления для уравнения (61) октаэдрического типа. ‎Совершим в уравнении (61) подстановку:

$\eta ={\frac {1}{k}}z^{\frac {1}{3}}(1-z)^{\frac {1}{4}}y,$

(22)

‎положив при этом

$k=1.$

‎В результате находим:

${\begin{matrix}\left(y^{24}-2\cdot 3^{2}\cdot 5z^{\frac {1}{3}}y^{16}-{\dfrac {3^{7}\cdot 5}{2^{4}}}z^{\frac {2}{3}}y^{8}+{\dfrac {3^{6}}{2^{4}}}\right)^{2}\,+\\+\,{\dfrac {3^{9}\cdot 5^{2}}{2^{2}}}\left(y^{8}-{\dfrac {3^{3}}{2^{2}\cdot 5}}z^{\frac {1}{3}}\right)^{2}(1-z)y^{8}=0.\end{matrix}}$

(86)

‎Освободив это уравнение от радикалов, находим:

${\begin{matrix}\left\{\left(y^{24}+{\dfrac {3^{6}}{2^{4}}}\right)^{3}-2^{3}\cdot 3^{6}\cdot 5^{3}zy^{48}-{\dfrac {3^{21}\cdot 5^{3}}{2^{12}}}z^{2}y^{24}\,-\right.\\\left.-\,{\dfrac {3^{10}\cdot 5^{2}}{2^{3}}}z\left(y^{24}+{\dfrac {3^{6}}{2^{4}}}\right)y^{24}\right\}^{2}+{\dfrac {3^{27}\cdot 5^{6}}{2^{6}}}\left(y^{24}-{\dfrac {3^{9}}{2^{6}\cdot 5^{3}}}z\right)^{2}(1-z)^{3}y^{24}=0.\end{matrix}}$

(87)

‎Корни этого уравнения суть частные интегралы гипергеометрического уравнения (16), в котором параметры $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ таковы:

$\alpha ={\frac {5}{24}},\ \beta =-{\frac {1}{24}},\ \gamma ={\frac {2}{3}},$

(88)

‎т. е. корни уравнения (87) суть частные интегралы гипергеометрического уравнения:

$z(1-z){\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+{\frac {1}{6}}(4-7z){\frac {dy}{dz}}+{\frac {5}{576}}y=0.$

(89)

‎Из формул (48) главы III следует, что два частных интеграла $y_{5},\ y_{6}$ уравнения (89) в области III (черт. 2) изображаются формулами:

$\left.{\begin{array}{l}y_{5}=z^{-{\frac {5}{24}}}F\left({\dfrac {5}{24}},\;{\dfrac {13}{24}},\;{\dfrac {5}{4}},\;{\dfrac {1}{z}}\right),\\y_{6}=z^{\frac {1}{24}}F\left(-{\dfrac {1}{24}},\;{\dfrac {7}{24}},\;{\dfrac {3}{4}},\;{\dfrac {1}{z}}\right).\end{array}}\right\}$

(90)

‎Всякий частный интеграл уравнения (89) изобразится формулой вида:

$y=Ay_{5}+By_{6},$

(91)

‎где $A$ и $B$ суть постоянные.

Один из корней уравнения (87) в области точки $z=\infty$ разлагается в ряд вида:

$y={\frac {2^{\frac {1}{4}}}{3^{\frac {9}{8}}}}z^{-{\frac {5}{24}}}+\ldots$

(92)

‎Эта функция при $z=\infty$ обращается в 0 и только в том случае может быть изображена формулой (91), если:

$A={\frac {2^{\frac {1}{4}}}{3^{\frac {9}{8}}}},\ B=0.$

‎Итак, один из корней уравнения (87) в области III изображается формулой:

$y={\frac {2^{\frac {1}{4}}}{3^{\frac {9}{8}}}}F\left({\dfrac {5}{24}},\;{\dfrac {13}{24}},\;{\dfrac {5}{4}},\;{\dfrac {1}{z}}\right)z^{-{\frac {5}{24}}}.$

(93)

‎Остальные корни уравнения (87) выразятся другими значениями той же многозначной функции. Число всех значений этой функции равно 144, как видно из уравнения (87).

III. Уравнение икосаэдрического типа.

Совершим ту же подстановку:

$\eta ={\frac {1}{k}}z^{\frac {1}{3}}(1-z)^{\frac {1}{4}}y$

(22)

‎в уравнении икосаэдрического типа (76) и примем

$k=12^{\frac {3}{10}}.$

‎Выполнив эту подстановку, находим:

${\begin{matrix}y^{120}+p_{2}{\sqrt[{3}]{z}}\,y^{100}+p_{3}{\sqrt {1-z}}\,y^{90}+p_{4}{\sqrt[{3}]{z^{2}}}\,y^{80}+p_{5}{\sqrt {1-z}}{\sqrt[{3}]{z}}\,y^{70}\,+\\+\,{\dfrac {1}{12^{3}}}(p_{6}-12^{3}q_{6}z)y^{60}+p_{7}{\sqrt {1-z}}{\sqrt[{3}]{z^{2}}}\,y^{50}\,+\\+\,{\dfrac {1}{12^{3}}}(p_{8}-12^{3}q_{8}z){\sqrt[{3}]{z^{2}}}\,y^{40}+{\dfrac {1}{12^{3}}}(p_{9}-12^{3}q_{9}z){\sqrt {1-z}}\,y^{30}\,+\\+\,{\dfrac {1}{12^{3}}}(p_{10}-12^{3}q_{10}z){\sqrt {1-z}}{\sqrt[{3}]{z}}\,y^{20}\,+\\+\,{\dfrac {1}{12^{3}}}(p_{11}-12^{3}q_{11}z){\sqrt {1-z}}{\sqrt[{3}]{z}}\,y^{10}+{\dfrac {1}{12^{6}}}=0.\end{matrix}}$

‎Освободив это уравнение от радикалов, мы получили бы уравнение 720-ой степени весьма сложное по своему виду.

Корни уравнения (94) суть частные интегралы гипергеометрического уравнения (16), в котором:

$\alpha ={\frac {11}{60}},\ \beta =-{\frac {1}{60}},\ \gamma ={\frac {2}{3}},$

(95)

‎т. е. корни уравнения (94) суть частные интегралы уравнения:

$z(1-z){\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+{\frac {1}{6}}(4-7z){\frac {dy}{dz}}+{\frac {11}{3600}}y=0.$

(96)

‎Это уравнение имеет два линейно независимых частных интеграла $y_{5},\ y_{6}$, которые в области III (черт. 2) изображаются формулами

$\left.{\begin{array}{l}y_{5}=z^{-{\frac {11}{60}}}F\left({\dfrac {11}{60}},\;{\dfrac {31}{60}},\;{\dfrac {6}{5}},\;{\dfrac {1}{z}}\right),\\y_{6}=z^{\frac {1}{60}}F\left(-{\dfrac {1}{60}},\;{\dfrac {19}{60}},\;{\dfrac {4}{5}},\;{\dfrac {1}{z}}\right).\end{array}}\right\}$

(97)

‎Всякий интеграл уравнения (96) изобразится формулой вида:

$y=Ay_{5}+By_{6},$

(98)

‎где $A$ и $B$ суть некоторые постоянные.

В области точки $z=\infty$ один из корней уравнения (94) разлагается в ряд вида:

$y={\frac {e^{\frac {\pi i}{40}}}{12^{\frac {3}{5}}q_{11}^{\frac {1}{10}}}}z^{-{\frac {11}{60}}}+\ldots$

(99)

‎Эта функция при $z=\infty$ обращается в 0 и может изображаться формулой (98) только при условии:

$A={\frac {e^{\frac {\pi i}{40}}}{12^{\frac {3}{5}}q_{11}^{\frac {1}{10}}}},\ B=0.$

‎Итак, один из корней уравнения (94) в области III изображается формулой:

$y={\frac {e^{\frac {\pi i}{40}}}{12^{\frac {3}{5}}q_{11}^{\frac {1}{10}}}}F\left({\dfrac {11}{60}},\;{\dfrac {31}{60}},\;{\dfrac {6}{5}},\;{\dfrac {1}{z}}\right)z^{-{\frac {11}{60}}}.$

(100)

‎Остальные корни того же уравнения изобразятся другими значениями той же функции. Всего функция (100) должна иметь 720 значений.

---

Этим мы закончим изучение свойств и видов уравнений рассмотренного нами класса уравнений и перейдем к постановке общей задачи о видах и решениях алгебраических уравнений, разрешимых в гипергеометрических функциях.

---

Сноски

1. См. формулы (106) и (107) главы I.
2. См. формулы (19) и (75) главы II.
3. См. формулы (71) главы II.
4. Этот способ предложен Фуксом в его втором мемуаре: Über linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, welche algebraische Integrale besitzen und eine neue Anwendung der Invariantentheorie. Crelles Journal. Bd. 85.
   ‎Он значительно проще непосредственного сравнения коэффициентов, хотя тоже требует вычислений очень утомительных. Фукс, указав на прием, однако не вычислил ни одного из коэффициентов уравнения.
5. Сравн. формулы (58) главы IV.
6. См. Тихомандритский. О гипергеометрических рядах. Стр. 53—57.