Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/262

‎и положивъ:

${\frac {1}{c}}R(z)=z,$

‎находимъ:

${\begin{matrix}\left\{\eta ^{24}-2\,.\,3^{2}\,.\,5(1-z)^{2}z^{3}\eta ^{16}-{\dfrac {3^{7}\,.\,5}{2^{4}}}(1-z)^{4}z^{6}\eta ^{8}+{\dfrac {3^{6}}{2^{4}}}(1-z)^{6}z^{8}\right\}^{2}\,+\\+\,{\dfrac {3^{9}\,.\,5^{2}}{2^{2}}}\left\{\eta ^{8}-{\dfrac {3^{3}}{2^{2}\,.\,5}}(1-z)^{2}z^{3}\right\}^{2}(1-z)^{7}z^{8}\eta ^{8}=0.\end{matrix}}$

(61)

 Уравненіе икосаэдрическаго типа.

Возьмемъ нормальныя формы икосаэдрическаго типа:

$\left.{\begin{array}{l}f(\eta _{1},\;\eta _{2})=\eta _{1}\eta _{2}(\eta _{1}^{10}+11\eta _{1}^{5}\eta _{2}^{5}-\eta _{2}^{10}),\\H(\eta _{1},\;\eta _{2})=\eta _{1}^{20}-228\eta _{1}^{15}\eta _{2}^{5}+494\eta _{1}^{10}\eta _{2}^{10}\,+\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad +\,228\eta _{1}^{5}\eta _{2}^{15}+\eta _{2}^{20},\\T(\eta _{1},\;\eta _{2})=\eta _{1}^{30}+522\eta _{1}^{25}\eta _{2}^{5}-10005\eta _{1}^{20}\eta _{2}^{10}\,-\\\quad \quad \quad -\,10005\eta _{1}^{10}\eta _{2}^{20}-522\eta _{1}^{5}\eta _{2}^{25}+\eta _{2}^{30}.\end{array}}\right\}$

(62)

‎Мы могли бы составить уравненіе, соотвѣтствующее первичной формѣ $f(\eta _{1},\;\eta _{2})$, пользуясь тѣмъ же пріемомъ, который мы примѣнили въ предшествующихъ двухъ случаяхъ; но исключеніе перемѣннаго

$u={\frac {\eta _{1}}{\eta _{2}}}$

‎въ данномъ случаѣ представляло бы весьма большія механическія затрудненія.

Будетъ нѣсколько короче воспользоваться общимъ пріемомъ, указаннымъ въ началѣ настоящаго параграфа.

Индексъ первичной формы $f(\eta _{1},\;\eta _{2})$ икосаэдрическаго типа равенъ 10; поэтому искомое уравненіе будетъ такого вида:

$\eta ^{120}+A_{10}\eta ^{110}+A_{20}\eta ^{100}+\ldots +A_{110}\eta ^{10}+A_{120}+0.$

(63)

Тот же текст в современной орфографии

‎и положив:

${\frac {1}{c}}R(z)=z,$

‎находим:

${\begin{matrix}\left\{\eta ^{24}-2\,.\,3^{2}\,.\,5(1-z)^{2}z^{3}\eta ^{16}-{\dfrac {3^{7}\,.\,5}{2^{4}}}(1-z)^{4}z^{6}\eta ^{8}+{\dfrac {3^{6}}{2^{4}}}(1-z)^{6}z^{8}\right\}^{2}\,+\\+\,{\dfrac {3^{9}\,.\,5^{2}}{2^{2}}}\left\{\eta ^{8}-{\dfrac {3^{3}}{2^{2}\,.\,5}}(1-z)^{2}z^{3}\right\}^{2}(1-z)^{7}z^{8}\eta ^{8}=0.\end{matrix}}$

(61)

 Уравнение икосаэдрического типа.

Возьмем нормальные формы икосаэдрического типа:

$\left.{\begin{array}{l}f(\eta _{1},\;\eta _{2})=\eta _{1}\eta _{2}(\eta _{1}^{10}+11\eta _{1}^{5}\eta _{2}^{5}-\eta _{2}^{10}),\\H(\eta _{1},\;\eta _{2})=\eta _{1}^{20}-228\eta _{1}^{15}\eta _{2}^{5}+494\eta _{1}^{10}\eta _{2}^{10}\,+\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad +\,228\eta _{1}^{5}\eta _{2}^{15}+\eta _{2}^{20},\\T(\eta _{1},\;\eta _{2})=\eta _{1}^{30}+522\eta _{1}^{25}\eta _{2}^{5}-10005\eta _{1}^{20}\eta _{2}^{10}\,-\\\quad \quad \quad -\,10005\eta _{1}^{10}\eta _{2}^{20}-522\eta _{1}^{5}\eta _{2}^{25}+\eta _{2}^{30}.\end{array}}\right\}$

(62)

‎Мы могли бы составить уравнение, соответствующее первичной форме $f(\eta _{1},\;\eta _{2})$, пользуясь тем же приемом, который мы применили в предшествующих двух случаях; но исключение переменной

$u={\frac {\eta _{1}}{\eta _{2}}}$

‎в данном случае представляло бы весьма большие механические затруднения.

Будет несколько короче воспользоваться общим приемом, указанным в начале настоящего параграфа.

Индекс первичной формы $f(\eta _{1},\;\eta _{2})$ икосаэдрического типа равен 10; поэтому искомое уравнение будет такого вида:

$\eta ^{120}+A_{10}\eta ^{110}+A_{20}\eta ^{100}+\ldots +A_{110}\eta ^{10}+A_{120}+0.$

(63)