Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/263

Выразивъ коэффиціенты этого уравненія въ видѣ однородныхъ формъ съ аргументами $\eta _{1},\ \eta _{2}$, мы можемъ сказать, что коэффиціентъ

$A_{10k}(\eta _{1},\;\eta _{2})$

‎представляется въ такомъ видѣ:

${\begin{matrix}A_{10k}(\eta _{1},\;\eta _{2})=\Phi [f^{5}(\eta _{1},\;\eta _{2}),\;H^{3}(\eta _{1},\;\eta _{2})]\,\times \\\,\times f^{m_{1}}(\eta _{1},\;\eta _{2})H^{m_{2}}(\eta _{1},\;\eta _{2})T^{m_{3}}(\eta _{1},\;\eta _{2}),\end{matrix}}$

(64)

‎при чемъ показатели $m_{1},\ m_{2},\ m_{3}$, и степень $s$ формы $\Phi$ связаны между собою неопредѣленнымъ уравненіемъ:

$10k=60s+12m_{1}+20m_{2}+30m_{3},$

(65)

‎откуда:

$k=6s+{\frac {6}{5}}m_{1}+2m_{2}+3m_{3}.$

(66)

‎Изъ этого уравненія слѣдуетъ, что число $m_{1}$ дѣлится на 5. Такъ какъ мы, кромѣ того, знаемъ, что $m_{1}$ должно быть меньше 5, то число это, необходимо, равно 0.

Итакъ:

${\begin{matrix}m_{1}=0,\\k=6s+2m_{2}+3m_{3}.\end{matrix}}$

(67)

‎Неопредѣленное уравненіе (67) при всѣхъ значеніяхъ $k$ отъ $k=1$ до $k=11$ допускаетъ только по одной системѣ цѣлыхъ положительныхъ рѣшеній. Рѣшивъ эти уравненія, находимъ слѣдующія выраженія коэффиціентовъ $A_{10k}(\eta _{1},\;\eta _{2})$:

$\left.{\begin{array}{l}A_{10}=0,\ A_{20}=p_{2}H(\eta _{1},\;\eta _{2}),\ A_{30}=p_{3}T(\eta _{1},\;\eta _{2}),\\A_{40}=p_{4}H^{2}(\eta _{1},\;\eta _{2}),\ A_{50}=p_{5}H(\eta _{1},\;\eta _{2})T(\eta _{1},\;\eta _{2}),\\A_{60}=p_{6}f^{5}(\eta _{1},\;\eta _{2})+q_{6}H^{3}(\eta _{1},\;\eta _{2}),\\A_{70}=p_{7}H^{2}(\eta _{1},\;\eta _{2})T(\eta _{1},\;\eta _{2}),\\A_{80}=p_{8}f^{5}(\eta _{1},\;\eta _{2})+q_{8}H^{3}(\eta _{1},\;\eta _{2})H(\eta _{1},\;\eta _{2}),\\A_{90}=p_{9}f^{5}(\eta _{1},\;\eta _{2})+q_{9}H^{3}(\eta _{1},\;\eta _{2})T(\eta _{1},\;\eta _{2}),\\A_{100}=p_{10}f^{5}(\eta _{1},\;\eta _{2})+q_{10}H^{3}(\eta _{1},\;\eta _{2})H^{2}(\eta _{1},\;\eta _{2}),\\A_{110}=p_{11}f^{5}(\eta _{1},\;\eta _{2})+q_{11}H^{3}(\eta _{1},\;\eta _{2})H(\eta _{1},\;\eta _{2})T(\eta _{1},\;\eta _{2}),\end{array}}\right\}$

(68)

Тот же текст в современной орфографии

Выразив коэффициенты этого уравнения в виде однородных форм с аргументами $\eta _{1},\ \eta _{2}$, мы можем сказать, что коэффициент

$A_{10k}(\eta _{1},\;\eta _{2})$

‎представляется в таком виде:

${\begin{matrix}A_{10k}(\eta _{1},\;\eta _{2})=\Phi [f^{5}(\eta _{1},\;\eta _{2}),\;H^{3}(\eta _{1},\;\eta _{2})]\,\times \\\,\times f^{m_{1}}(\eta _{1},\;\eta _{2})H^{m_{2}}(\eta _{1},\;\eta _{2})T^{m_{3}}(\eta _{1},\;\eta _{2}),\end{matrix}}$

(64)

‎причем показатели $m_{1},\ m_{2},\ m_{3}$ и степень $s$ формы $\Phi$ связаны между собой неопределенным уравнением:

$10k=60s+12m_{1}+20m_{2}+30m_{3},$

(65)

‎откуда:

$k=6s+{\frac {6}{5}}m_{1}+2m_{2}+3m_{3}.$

(66)

‎Из этого уравнения следует, что число $m_{1}$ делится на 5. Так как мы, кроме того, знаем, что $m_{1}$ должно быть меньше 5, то число это, необходимо, равно 0.

Итак:

${\begin{matrix}m_{1}=0,\\k=6s+2m_{2}+3m_{3}.\end{matrix}}$

(67)

‎Неопределенное уравнение (67) при всех значениях $k$ от $k=1$ до $k=11$ допускает только по одной системе целых положительных решений. Решив эти уравнения, находим следующие выражения коэффициентов $A_{10k}(\eta _{1},\;\eta _{2})$:

$\left.{\begin{array}{l}A_{10}=0,\ A_{20}=p_{2}H(\eta _{1},\;\eta _{2}),\ A_{30}=p_{3}T(\eta _{1},\;\eta _{2}),\\A_{40}=p_{4}H^{2}(\eta _{1},\;\eta _{2}),\ A_{50}=p_{5}H(\eta _{1},\;\eta _{2})T(\eta _{1},\;\eta _{2}),\\A_{60}=p_{6}f^{5}(\eta _{1},\;\eta _{2})+q_{6}H^{3}(\eta _{1},\;\eta _{2}),\\A_{70}=p_{7}H^{2}(\eta _{1},\;\eta _{2})T(\eta _{1},\;\eta _{2}),\\A_{80}=p_{8}f^{5}(\eta _{1},\;\eta _{2})+q_{8}H^{3}(\eta _{1},\;\eta _{2})H(\eta _{1},\;\eta _{2}),\\A_{90}=p_{9}f^{5}(\eta _{1},\;\eta _{2})+q_{9}H^{3}(\eta _{1},\;\eta _{2})T(\eta _{1},\;\eta _{2}),\\A_{100}=p_{10}f^{5}(\eta _{1},\;\eta _{2})+q_{10}H^{3}(\eta _{1},\;\eta _{2})H^{2}(\eta _{1},\;\eta _{2}),\\A_{110}=p_{11}f^{5}(\eta _{1},\;\eta _{2})+q_{11}H^{3}(\eta _{1},\;\eta _{2})H(\eta _{1},\;\eta _{2})T(\eta _{1},\;\eta _{2}),\end{array}}\right\}$

(68)