Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/252

$\left.{\begin{array}{l}H^{2\lambda _{1}}(\eta _{1},\;\eta _{2})=R^{2}f^{2\lambda }(\eta _{1},\;\eta _{2}),\\T^{2\lambda _{2}}(\eta _{1},\;\eta _{2})={\dfrac {1}{c'{}^{2}}}(R-c)^{2}f^{2\lambda }(\eta _{1},\;\eta _{2}).\end{array}}\right\}$

(31)

‎Подставивъ въ эти равенства выраженіе (30) формы $f(\eta _{1},\;\eta _{2})$, находимъ:

$\left.{\begin{array}{l}H^{2\lambda _{1}}(\eta _{1},\;\eta _{2})={\dfrac {(R-c)^{\nu _{2}}R^{N-\nu _{1}+2}}{c'{}^{\nu _{2}}R'{}^{N}}},\\T^{2\lambda _{2}}(\eta _{1},\;\eta _{2})={\dfrac {(R-c)^{\nu _{2}+2}R^{N-\nu _{1}}}{c'{}^{\nu _{2}+2}R'{}^{N}}}.\end{array}}\right\}$

(32)

‎Откуда, припомнивъ, что:

$2\lambda _{1}=\mu _{1},\ \lambda _{2}=\mu _{2},$

‎находимъ:

$H(\eta _{1},\;\eta _{2})={\sqrt[{\mu _{1}}]{\frac {(R-c)^{\nu _{2}}R^{N-\nu _{1}+2}}{c'{}^{\nu _{2}}R'{}^{N}}}},$

(33)

$T(\eta _{1},\;\eta _{2})={\sqrt[{\mu _{1}}]{\frac {(R-c)^{\nu _{2}+2}R^{N-\nu _{1}}}{c'{}^{\nu _{2}+2}R'{}^{N}}}}.$

(34)

‎Формулы эти даютъ выраженія первичныхъ формъ $H(\eta _{1},\;\eta _{2}),\ T(\eta _{1},\;\eta _{2})$ въ видѣ радикаловъ изъ раціональной функціи $z$.

Примѣнимъ формулы (30), (33), (34) къ каждому изъ разсматриваемыхъ трехъ типовъ въ отдѣльности, давая показателямъ $\mu ,\ \mu _{1},\ \mu _{2},\ \nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$ соотвѣтствующія значенія.

I. Типъ тетраэдрическій.

$\left.{\begin{array}{l}f(\eta _{1},\;\eta _{2})={\dfrac {(R-c)R}{c'R'{}^{2}}}{\sqrt[{3}]{R}},\\H(\eta _{1},\;\eta _{2})={\dfrac {(R-c)R}{c'{}^{2}R'{}^{2}}}{\sqrt[{3}]{R^{2}}},\\T(\eta _{1},\;\eta _{2})={\dfrac {(R-c)^{2}R^{2}}{c'{}^{2}R'{}^{3}}}.\end{array}}\right\}$

(35)

Тот же текст в современной орфографии

$\left.{\begin{array}{l}H^{2\lambda _{1}}(\eta _{1},\;\eta _{2})=R^{2}f^{2\lambda }(\eta _{1},\;\eta _{2}),\\T^{2\lambda _{2}}(\eta _{1},\;\eta _{2})={\dfrac {1}{c'{}^{2}}}(R-c)^{2}f^{2\lambda }(\eta _{1},\;\eta _{2}).\end{array}}\right\}$

(31)

‎Подставив в эти равенства выражение (30) формы $f(\eta _{1},\;\eta _{2})$, находим:

$\left.{\begin{array}{l}H^{2\lambda _{1}}(\eta _{1},\;\eta _{2})={\dfrac {(R-c)^{\nu _{2}}R^{N-\nu _{1}+2}}{c'{}^{\nu _{2}}R'{}^{N}}},\\T^{2\lambda _{2}}(\eta _{1},\;\eta _{2})={\dfrac {(R-c)^{\nu _{2}+2}R^{N-\nu _{1}}}{c'{}^{\nu _{2}+2}R'{}^{N}}}.\end{array}}\right\}$

(32)

‎Откуда, припомнив, что:

$2\lambda _{1}=\mu _{1},\ \lambda _{2}=\mu _{2},$

‎находим:

$H(\eta _{1},\;\eta _{2})={\sqrt[{\mu _{1}}]{\frac {(R-c)^{\nu _{2}}R^{N-\nu _{1}+2}}{c'{}^{\nu _{2}}R'{}^{N}}}},$

(33)

$T(\eta _{1},\;\eta _{2})={\sqrt[{\mu _{1}}]{\frac {(R-c)^{\nu _{2}+2}R^{N-\nu _{1}}}{c'{}^{\nu _{2}+2}R'{}^{N}}}}.$

(34)

‎Формулы эти дают выражения первичных форм $H(\eta _{1},\;\eta _{2}),\ T(\eta _{1},\;\eta _{2})$ в виде радикалов из рациональной функции $z$.

Применим формулы (30), (33), (34) к каждому из рассматриваемых трех типов в отдельности, давая показателям $\mu ,\ \mu _{1},\ \mu _{2},\ \nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$ соответствующие значения.

I. Тип тетраэдрический.

$\left.{\begin{array}{l}f(\eta _{1},\;\eta _{2})={\dfrac {(R-c)R}{c'R'{}^{2}}}{\sqrt[{3}]{R}},\\H(\eta _{1},\;\eta _{2})={\dfrac {(R-c)R}{c'{}^{2}R'{}^{2}}}{\sqrt[{3}]{R^{2}}},\\T(\eta _{1},\;\eta _{2})={\dfrac {(R-c)^{2}R^{2}}{c'{}^{2}R'{}^{3}}}.\end{array}}\right\}$

(35)