Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/260

$f^{6}(\eta _{1},\;\eta _{2})={\frac {(R-c)^{6}R^{8}}{c'{}^{6}R'{}^{12}}}$

‎только постояннымъ множителемъ: $-{\frac {1}{3^{9}}}.$

Подставивъ въ уравненіи (54) вмѣсто $c$ и $c'$ ихъ величины:

$c=-1,\ c'=1$

‎и положивъ:

${\frac {1}{c}}R(z)=z,$

‎находимъ:

${\begin{matrix}\eta ^{24}-{\dfrac {2^{3}}{3^{2}}}(1-z)^{2}z^{2}\eta ^{18}-{\dfrac {2}{3^{5}}}(32z+13)(1-z)^{3}z^{4}\eta ^{12}\,+\\+\,{\dfrac {2^{4}}{3^{9}}}(32z-5)(1-z)^{5}z^{6}\eta ^{6}-{\dfrac {1}{3^{9}}}(1-z)^{6}z^{8}=0.\end{matrix}}$

(55)

II. Уравненіе октаэдрическаго типа.

Возьмемъ октаэдрическія формы перваго нормальнаго вида:

$\left.{\begin{array}{l}f(\eta _{1},\;\eta _{2})=\eta _{1}^{5}\eta _{2}-\eta _{1}\eta _{2}^{5},\\H(\eta _{1},\;\eta _{2})=\eta _{1}^{8}+14\eta _{1}^{4}\eta _{2}^{4}+\eta _{2}^{8},\\T(\eta _{1},\;\eta _{2})=\eta _{1}^{12}-33\eta _{1}^{8}\eta _{2}^{4}-33\eta _{1}^{4}\eta _{2}^{8}+\eta _{2}^{12}.\end{array}}\right\}$

(56)

‎Вставивъ эти выраженія въ формулы (36), находимъ:

$\left.{\begin{array}{l}\eta _{1}^{5}\eta _{2}-\eta _{1}\eta _{2}^{5}={\dfrac {(R-c)R^{2}}{c'{\sqrt {c'}}R'{}^{3}}}{\sqrt {R-c}},\\\eta _{1}^{8}+14\eta _{1}^{4}\eta _{2}^{4}+\eta _{2}^{8}={\dfrac {(R-c)^{2}R^{3}}{c'{}^{2}R'{}^{4}}},\\\eta _{1}^{12}-33\eta _{1}^{8}\eta _{2}^{4}-33\eta _{1}^{4}\eta _{2}^{8}+\eta _{2}^{12}={\dfrac {(R-c)^{3}R^{4}}{c'{}^{3}{\sqrt {c'}}R'{}^{6}}}{\sqrt {R-c}}.\end{array}}\right\}$

(57)

Тот же текст в современной орфографии

$f^{6}(\eta _{1},\;\eta _{2})={\frac {(R-c)^{6}R^{8}}{c'{}^{6}R'{}^{12}}}$

‎только постоянным множителем: $-{\frac {1}{3^{9}}}.$

Подставив в уравнении (54) вместо $c$ и $c'$ их величины:

$c=-1,\ c'=1$

‎и положив:

${\frac {1}{c}}R(z)=z,$

‎находим:

${\begin{matrix}\eta ^{24}-{\dfrac {2^{3}}{3^{2}}}(1-z)^{2}z^{2}\eta ^{18}-{\dfrac {2}{3^{5}}}(32z+13)(1-z)^{3}z^{4}\eta ^{12}\,+\\+\,{\dfrac {2^{4}}{3^{9}}}(32z-5)(1-z)^{5}z^{6}\eta ^{6}-{\dfrac {1}{3^{9}}}(1-z)^{6}z^{8}=0.\end{matrix}}$

(55)

II. Уравнение октаэдрического типа.

Возьмем октаэдрические формы первого нормального вида:

$\left.{\begin{array}{l}f(\eta _{1},\;\eta _{2})=\eta _{1}^{5}\eta _{2}-\eta _{1}\eta _{2}^{5},\\H(\eta _{1},\;\eta _{2})=\eta _{1}^{8}+14\eta _{1}^{4}\eta _{2}^{4}+\eta _{2}^{8},\\T(\eta _{1},\;\eta _{2})=\eta _{1}^{12}-33\eta _{1}^{8}\eta _{2}^{4}-33\eta _{1}^{4}\eta _{2}^{8}+\eta _{2}^{12}.\end{array}}\right\}$

(56)

‎Вставив эти выражения в формулы (36), находим:

$\left.{\begin{array}{l}\eta _{1}^{5}\eta _{2}-\eta _{1}\eta _{2}^{5}={\dfrac {(R-c)R^{2}}{c'{\sqrt {c'}}R'{}^{3}}}{\sqrt {R-c}},\\\eta _{1}^{8}+14\eta _{1}^{4}\eta _{2}^{4}+\eta _{2}^{8}={\dfrac {(R-c)^{2}R^{3}}{c'{}^{2}R'{}^{4}}},\\\eta _{1}^{12}-33\eta _{1}^{8}\eta _{2}^{4}-33\eta _{1}^{4}\eta _{2}^{8}+\eta _{2}^{12}={\dfrac {(R-c)^{3}R^{4}}{c'{}^{3}{\sqrt {c'}}R'{}^{6}}}{\sqrt {R-c}}.\end{array}}\right\}$

(57)