Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/254

Пусть:

$\eta _{1},\ \eta _{2},\ldots \ \eta _{\nu '},$

(38)

‎есть приведенная система корней уравненія (8).

Выразимъ величины (38) въ видѣ линейныхъ функцій двухъ какихъ нибудь частныхъ интеграловъ уравненія (9):

$\eta ',\ \eta ''.$

‎Перемноживъ полученныя выраженія между собою, мы получимъ первичную форму:

$\eta _{1}\eta _{2}\ldots \ \eta _{\nu '}={\mathfrak {F}}(\eta ',\;\eta ''),$

(39)

‎соотвѣтствующую алгебраическому уравненію (8).

Степень первичной формы (39) равна числу $\nu '$ корней приведенной системы (38), а индексъ $\mu '$ равенъ:

$\mu '={\frac {n}{\nu '}}.$

(40)

‎Всѣ первичныя формы, соотвѣтствующія алгебраическому уравненію (8), эквивалентны между собою: онѣ получаются изъ формы (39) всевозможными бинарными линейными преобразованіями.

Каждое такое преобразованіе соотвѣтствуетъ новому выбору тѣхъ двухъ частныхъ интеграловъ $\eta ',\ \eta ''$ уравненія (9), чрезъ которые мы выражаемъ корни приведенной системы (38).

Считая всѣ эквивалентныя формы тождественными между собою, мы можемъ сказать, что каждому алгебраическому уравненію (8) соотвѣтствуетъ опредѣленная первичная форма (39) и обратно: каждой первичной формѣ (39) сотвѣтствуетъ единственное уравненіе (8).

Для большей простоты формулъ мы примемъ $\eta ''$ равною одному изъ корней (38) уравненія (8).

Мы видѣли въ [[../../Глава VI/ДО#§27|§ 27]], что всякая первичная форма должна принадлежать къ одному изъ четырехъ видовъ:

$af(\eta ',\;\eta ''),\ bH(\eta ',\;\eta ''),\ gT(\eta ',\;\eta ''),\ hH^{\lambda _{1}}(\eta ',\;\eta '')+kf^{\lambda }(\eta ',\;\eta ''),$

(41)

‎гдѣ $a,\ b,\ g,\ h,\ k$—нѣкоторыя постоянныя.

Тот же текст в современной орфографии

Пусть:

$\eta _{1},\ \eta _{2},\ \ldots ,\ \eta _{\nu '},$

(38)

‎есть приведенная система корней уравнения (8).

Выразим величины (38) в виде линейных функций двух каких-нибудь частных интегралов уравнения (9):

$\eta ',\ \eta ''.$

‎Перемножив полученные выражения между собой, мы получим первичную форму:

$\eta _{1}\eta _{2}\ldots \eta _{\nu '}={\mathfrak {F}}(\eta ',\;\eta ''),$

(39)

‎соответствующую алгебраическому уравнению (8).

Степень первичной формы (39) равна числу $\nu '$ корней приведенной системы (38), а индекс $\mu '$ равен:

$\mu '={\frac {n}{\nu '}}.$

(40)

‎Все первичные формы, соответствующие алгебраическому уравнению (8), эквивалентны между собой: они получаются из формы (39) всевозможными бинарными линейными преобразованиями.

Каждое такое преобразование соответствует новому выбору тех двух частных интегралов $\eta ',\ \eta ''$ уравнения (9), через которые мы выражаем корни приведенной системы (38).

Считая все эквивалентные формы тождественными между собой, мы можем сказать, что каждому алгебраическому уравнению (8) соответствует определенная первичная форма (39) и обратно: каждой первичной форме (39) сответствует единственное уравнение (8).

Для большей простоты формул мы примем $\eta ''$ равным одному из корней (38) уравнения (8).

Мы видели в § 27, что всякая первичная форма должна принадлежать к одному из четырех видов:

$af(\eta ',\;\eta ''),\ bH(\eta ',\;\eta ''),\ gT(\eta ',\;\eta ''),\ hH^{\lambda _{1}}(\eta ',\;\eta '')+kf^{\lambda }(\eta ',\;\eta ''),$

(41)

‎где $a,\ b,\ g,\ h,\ k$ — некоторые постоянные.