Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/266

$\eta _{1},\ \eta _{2}$ и должны быть тождественны съ найденными выше выраженіями (68) этихъ коэффиціентовъ.

Сравнивая полученныя два выраженія каждаго изъ коэффиціентовъ $A_{10k}$, мы опредѣлимъ величины постоянныхъ, входящихъ въ формулы (68). Само собою ясно, что находя выраженія формъ $A_{10k}(\eta _{1},\;\eta _{2})$ изъ уравненія (73), мы можемъ ограничиваться вычисленіемъ одного или двухъ старшихъ коэффиціентовъ этихъ формъ.

Приведемъ величины нѣсколькихъ изъ коэффиціентовъ, найденныхъ этимъ способомъ:

$\left.{\begin{matrix}p_{2}=-{\dfrac {14}{5^{2}}},\ p_{3}=-{\dfrac {41}{5^{3}}},\ p_{5}=-{\dfrac {293}{5^{5}}},\ p_{6}=-{\dfrac {254}{5^{6}}},\\p_{6}=-{\dfrac {718}{5^{8}}},\ p_{7}=-{\dfrac {271}{5^{9}}},\ldots ,\ p_{11}=-{\dfrac {1}{5^{25}}},\ldots ,\\q_{12}={\dfrac {1}{5^{25}}}.\end{matrix}}\right\}$

(74)

‎Всѣхъ коэффиціентовъ мы не вычисляемъ потому, что уравненіе (63) по своей высокой степени и сложности коэффиціентовъ можетъ имѣть исключительно теоретическій интересъ.

Вставивъ въ формулы (68) вмѣсто $f(\eta _{1},\;\eta _{2}),\ H(\eta _{1},\;\eta _{2}),\ T(\eta _{1},\;\eta _{2})$ выраженія (37) этихъ первичныхъ формъ черезъ независимое перемѣнное $z$, и внеся затѣмъ полученныя выраженія коэффиціентовъ въ уравненіе (63), найдемъ:

${\begin{matrix}\eta ^{120}+p_{2}{\dfrac {(R-c)^{5}R^{7}}{c'{}^{5}R'{}^{10}}}\eta ^{100}+p_{3}{\dfrac {(R-c)^{8}R^{10}}{c'{}^{8}R'{}^{15}}}\eta ^{90}\,+\\+\,p_{4}{\dfrac {(R-c)^{10}R^{14}}{c'{}^{10}R'{}^{20}}}\eta ^{80}+p_{5}{\dfrac {(R-c)^{13}R^{17}}{c'{}^{13}R'{}^{25}}}\eta ^{70}\,+\\+\,{\dfrac {(R-c)^{15}R^{20}}{c'{}^{15}R'{}^{30}}}(p_{6}+Rq_{6})\eta ^{60}+p_{7}{\dfrac {(R-c)^{18}R^{24}}{c'{}^{18}R'{}^{35}}}\eta ^{50}\,+\\+\,{\dfrac {(R-c)^{20}R^{27}}{c'{}^{20}R'{}^{40}}}(p_{8}+Rq_{8})\eta ^{40}+{\dfrac {(R-c)^{23}R^{30}}{c'{}^{23}R'{}^{45}}}(p_{9}+Rq_{9})\eta ^{30}\,+\\+\,{\dfrac {(R-c)^{25}R^{34}}{c'{}^{25}R'{}^{50}}}(p_{10}+Rq_{10})\eta ^{20}+{\dfrac {(R-c)^{28}R^{37}}{c'{}^{28}R'{}^{55}}}(p_{11}+Rq_{11})\eta ^{10}\,+\\+\,q_{12}{\dfrac {(R-c)^{30}R^{40}}{c'{}^{30}R'{}^{60}}}=0.\end{matrix}}$

(75)

Тот же текст в современной орфографии

$\eta _{1},\ \eta _{2}$ и должны быть тождественны с найденными выше выражениями (68) этих коэффициентов.

Сравнивая полученные два выражения каждого из коэффициентов $A_{10k}$, мы определим величины постоянных, входящих в формулы (68). Само собой ясно, что находя выражения форм $A_{10k}(\eta _{1},\;\eta _{2})$ из уравнения (73), мы можем ограничиваться вычислением одного или двух старших коэффициентов этих форм.

Приведем величины нескольких из коэффициентов, найденных этим способом:

$\left.{\begin{matrix}p_{2}=-{\dfrac {14}{5^{2}}},\ p_{3}=-{\dfrac {41}{5^{3}}},\ p_{5}=-{\dfrac {293}{5^{5}}},\ p_{6}=-{\dfrac {254}{5^{6}}},\\p_{6}=-{\dfrac {718}{5^{8}}},\ p_{7}=-{\dfrac {271}{5^{9}}},\ldots ,\ p_{11}=-{\dfrac {1}{5^{25}}},\ldots ,\\q_{12}={\dfrac {1}{5^{25}}}.\end{matrix}}\right\}$

(74)

‎Все коэффициенты мы не вычисляем, потому что уравнение (63) по своей высокой степени и сложности коэффициентов может иметь исключительно теоретический интерес.

Вставив в формулы (68) вместо $f(\eta _{1},\;\eta _{2}),\ H(\eta _{1},\;\eta _{2}),\ T(\eta _{1},\;\eta _{2})$ выражения (37) этих первичных форм через независимую переменную $z$, и внеся затем полученные выражения коэффициентов в уравнение (63), найдем:

${\begin{matrix}\eta ^{120}+p_{2}{\dfrac {(R-c)^{5}R^{7}}{c'{}^{5}R'{}^{10}}}\eta ^{100}+p_{3}{\dfrac {(R-c)^{8}R^{10}}{c'{}^{8}R'{}^{15}}}\eta ^{90}\,+\\+\,p_{4}{\dfrac {(R-c)^{10}R^{14}}{c'{}^{10}R'{}^{20}}}\eta ^{80}+p_{5}{\dfrac {(R-c)^{13}R^{17}}{c'{}^{13}R'{}^{25}}}\eta ^{70}\,+\\+\,{\dfrac {(R-c)^{15}R^{20}}{c'{}^{15}R'{}^{30}}}(p_{6}+Rq_{6})\eta ^{60}+p_{7}{\dfrac {(R-c)^{18}R^{24}}{c'{}^{18}R'{}^{35}}}\eta ^{50}\,+\\+\,{\dfrac {(R-c)^{20}R^{27}}{c'{}^{20}R'{}^{40}}}(p_{8}+Rq_{8})\eta ^{40}+{\dfrac {(R-c)^{23}R^{30}}{c'{}^{23}R'{}^{45}}}(p_{9}+Rq_{9})\eta ^{30}\,+\\+\,{\dfrac {(R-c)^{25}R^{34}}{c'{}^{25}R'{}^{50}}}(p_{10}+Rq_{10})\eta ^{20}+{\dfrac {(R-c)^{28}R^{37}}{c'{}^{28}R'{}^{55}}}(p_{11}+Rq_{11})\eta ^{10}\,+\\+\,q_{12}{\dfrac {(R-c)^{30}R^{40}}{c'{}^{30}R'{}^{60}}}=0.\end{matrix}}$

(75)