Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/272

Эта страница не была вычитана

‎въ уравненіи икосаэдрическаго типа (76) и примемъ

k=12^{\frac {3}{10}}.

‎Выполнивъ эту подстановку, находимъ:

{\begin{matrix}y^{120}+p_{2}{\sqrt[{3}]{z}}\,y^{100}+p_{3}{\sqrt {1-z}}\,y^{90}+p_{4}{\sqrt[{3}]{z^{2}}}\,y^{80}+p_{5}{\sqrt {1-z}}{\sqrt[{3}]{z}}\,y^{70}\,+\\+\,{\dfrac {1}{12^{3}}}(p_{6}-12^{3}q_{6}z)y^{60}+p_{7}{\sqrt {1-z}}{\sqrt[{3}]{z^{2}}}\,y^{50}\,+\\+\,{\dfrac {1}{12^{3}}}(p_{8}-12^{3}q_{8}z){\sqrt[{3}]{z^{2}}}\,y^{40}+{\dfrac {1}{12^{3}}}(p_{9}-12^{3}q_{9}z){\sqrt {1-z}}\,y^{30}\,+\\+\,{\dfrac {1}{12^{3}}}(p_{10}-12^{3}q_{10}z){\sqrt {1-z}}{\sqrt[{3}]{z}}\,y^{20}\,+\\+\,{\dfrac {1}{12^{3}}}(p_{11}-12^{3}q_{11}z){\sqrt {1-z}}{\sqrt[{3}]{z}}\,y^{10}+{\dfrac {1}{12^{6}}}=0.\end{matrix}}

‎Освободивъ это уравненіе отъ радикаловъ, мы получили бы уравненіе 720-ой степени весьма сложное по своему виду.

Корни уравненія (94) суть частные интегралы гипергеометрическаго уравненія (16), въ которомъ:

$\alpha ={\frac {11}{60}},\ \beta =-{\frac {1}{60}},\ \gamma ={\frac {2}{3}},$

(95)

‎т. е. корни уравненія (94) суть частные интегралы уравненія:

$z(1-z){\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+{\frac {1}{6}}(4-7z){\frac {dy}{dz}}+{\frac {11}{3600}}y=0.$

(96)

‎Это уравненіе имѣетъ два линейно независимыхъ частныхъ интеграла $y_{5},\ y_{6}$ , которые въ области III (черт. 2) изображаются формулами

$\left.{\begin{array}{l}y_{5}=z^{-{\frac {11}{60}}}F\left({\dfrac {11}{60}},\;{\dfrac {31}{60}},\;{\dfrac {6}{5}},\;{\dfrac {1}{z}}\right),\\y_{6}=z^{\frac {1}{60}}F\left(-{\dfrac {1}{60}},\;{\dfrac {19}{60}},\;{\dfrac {4}{5}},\;{\dfrac {1}{z}}\right).\end{array}}\right\}$

(97)

Тот же текст в современной орфографии

‎в уравнении икосаэдрического типа (76) и примем

k=12^{\frac {3}{10}}.

‎Выполнив эту подстановку, находим:

{\begin{matrix}y^{120}+p_{2}{\sqrt[{3}]{z}}\,y^{100}+p_{3}{\sqrt {1-z}}\,y^{90}+p_{4}{\sqrt[{3}]{z^{2}}}\,y^{80}+p_{5}{\sqrt {1-z}}{\sqrt[{3}]{z}}\,y^{70}\,+\\+\,{\dfrac {1}{12^{3}}}(p_{6}-12^{3}q_{6}z)y^{60}+p_{7}{\sqrt {1-z}}{\sqrt[{3}]{z^{2}}}\,y^{50}\,+\\+\,{\dfrac {1}{12^{3}}}(p_{8}-12^{3}q_{8}z){\sqrt[{3}]{z^{2}}}\,y^{40}+{\dfrac {1}{12^{3}}}(p_{9}-12^{3}q_{9}z){\sqrt {1-z}}\,y^{30}\,+\\+\,{\dfrac {1}{12^{3}}}(p_{10}-12^{3}q_{10}z){\sqrt {1-z}}{\sqrt[{3}]{z}}\,y^{20}\,+\\+\,{\dfrac {1}{12^{3}}}(p_{11}-12^{3}q_{11}z){\sqrt {1-z}}{\sqrt[{3}]{z}}\,y^{10}+{\dfrac {1}{12^{6}}}=0.\end{matrix}}

‎Освободив это уравнение от радикалов, мы получили бы уравнение 720-ой степени весьма сложное по своему виду.

Корни уравнения (94) суть частные интегралы гипергеометрического уравнения (16), в котором: