Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/268

‎и совершивъ затѣмъ подстановку (22) въ уравненіи (55), находимъ:

${\begin{matrix}y^{24}+{\dfrac {2^{3}}{3^{2}}}{\sqrt {1-z}}y^{18}-{\dfrac {2}{3^{5}}}(32z+13)y^{12}\,+\\+\,{\dfrac {2^{4}}{3^{9}}}(32z-5){\sqrt {1-z}}y^{6}-{\dfrac {1}{3^{9}}}=0.\end{matrix}}$

(77)

‎Освободивъ это уравненіе отъ радикаловъ, находимъ:

${\begin{matrix}\left\{y^{24}-{\dfrac {2}{3^{5}}}(32z+13)y^{12}-{\dfrac {1}{3^{9}}}\right\}^{2}\,-\\-\,{\dfrac {2^{6}}{3^{4}}}\left\{y^{12}+{\dfrac {2}{3^{7}}}(32z-5)\right\}^{2}(1-z)y^{12}=0.\end{matrix}}$

(78)

‎Всѣ корни этого уравненія, какъ мы знаемъ, суть частные интегралы гипергеометрическаго уравненія (16), въ которомъ параметры $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ таковы:

$\alpha ={\frac {1}{4}},\ \beta =-{\frac {1}{12}},\ \gamma ={\frac {2}{3}}.$

(79)

‎Иными словами, корни уравненія (78) суть частные интегралы гипергеометрическаго уравненія:

$z(1-z){\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+{\frac {1}{6}}(4-7z){\frac {dy}{dz}}+{\frac {1}{48}}y=0.$

(80)

‎Изъ формулъ ([[../../Глава III/ДО#Eq48|48]]) [[../../Глава III/ДО|главы III]] слѣдуетъ, что существуетъ два частныхъ интеграла $y_{5},\ y_{6}$ уравненія (80), которые въ области безконечно удаленной точки могутъ быть изображены формулами:

$\left.{\begin{array}{l}y_{5}=z^{-{\frac {1}{4}}}F\left({\dfrac {1}{4}},\;{\dfrac {7}{12}},\;{\dfrac {4}{3}},\;{\dfrac {1}{z}}\right),\\y_{6}=z^{\frac {1}{12}}F\left(-{\dfrac {1}{12}},\;{\dfrac {1}{4}},\;{\dfrac {2}{3}},\;{\dfrac {1}{z}}\right).\end{array}}\right\}$

(81)

Тот же текст в современной орфографии

‎и совершив затем подстановку (22) в уравнении (55), находим:

${\begin{matrix}y^{24}+{\dfrac {2^{3}}{3^{2}}}{\sqrt {1-z}}y^{18}-{\dfrac {2}{3^{5}}}(32z+13)y^{12}\,+\\+\,{\dfrac {2^{4}}{3^{9}}}(32z-5){\sqrt {1-z}}y^{6}-{\dfrac {1}{3^{9}}}=0.\end{matrix}}$

(77)

‎Освободив это уравнение от радикалов, находим:

${\begin{matrix}\left\{y^{24}-{\dfrac {2}{3^{5}}}(32z+13)y^{12}-{\dfrac {1}{3^{9}}}\right\}^{2}\,-\\-\,{\dfrac {2^{6}}{3^{4}}}\left\{y^{12}+{\dfrac {2}{3^{7}}}(32z-5)\right\}^{2}(1-z)y^{12}=0.\end{matrix}}$

(78)

‎Все корни этого уравнения, как мы знаем, суть частные интегралы гипергеометрического уравнения (16), в котором параметры $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ таковы:

$\alpha ={\frac {1}{4}},\ \beta =-{\frac {1}{12}},\ \gamma ={\frac {2}{3}}.$

(79)

‎Иными словами, корни уравнения (78) суть частные интегралы гипергеометрического уравнения:

$z(1-z){\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+{\frac {1}{6}}(4-7z){\frac {dy}{dz}}+{\frac {1}{48}}y=0.$

(80)

‎Из формул (48) главы III следует, что существует два частных интеграла $y_{5},\ y_{6}$ уравнения (80), которые в области бесконечно удаленной точки могут быть изображены формулами:

$\left.{\begin{array}{l}y_{5}=z^{-{\frac {1}{4}}}F\left({\dfrac {1}{4}},\;{\dfrac {7}{12}},\;{\dfrac {4}{3}},\;{\dfrac {1}{z}}\right),\\y_{6}=z^{\frac {1}{12}}F\left(-{\dfrac {1}{12}},\;{\dfrac {1}{4}},\;{\dfrac {2}{3}},\;{\dfrac {1}{z}}\right).\end{array}}\right\}$

(81)