Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/246

‎дифференціальное же уравненіе (3) въ новое дифференціальное уравненіе:

${\frac {d^{2}\eta }{dz^{2}}}=P\eta ,$

(9)

‎гдѣ $P$ есть раціональная функція $z$, которая выражается черезъ $p_{1}$ и $p_{2}$ слѣдующимъ образомъ:

$P={\frac {1}{4}}p_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {dp_{1}}{dz}}-p_{2}.$

(10)

‎Та же функція $P$ можетъ быть выражена черезъ $R(z)$ изъ такого уравненія:

${\begin{matrix}-2P=[R(z)]_{z}+{\dfrac {1}{c^{2}}}\left({\dfrac {dR(z)}{dz}}\right)^{2}\left\{{\dfrac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}}{{\dfrac {2}{c^{2}}}R^{2}(z)}}+{\dfrac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}}{2\left({\dfrac {1}{c}}R(z)-1\right)}}\,+\right.\\\left.+\,{\dfrac {{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}+{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda ^{2}}}-1}{{\dfrac {2}{c}}R(z)\left({\dfrac {1}{c}}R(z)-1\right)}}\right\}.\end{matrix}}$[1]

(11)

‎Изъ равенства (7) слѣдуетъ, что отношеніе частныхъ интеграловъ $y_{1},\ y_{2}$ уравненія (3) таково же, какъ отношеніе соотвѣтствующихъ имъ частныхъ интеграловъ $\eta _{1},\ \eta _{2}$ уравненія (9):

$u={\frac {y_{1}}{y_{2}}}={\frac {\eta _{1}}{\eta _{2}}}.$

(12)

‎Отношеніе

${\frac {\eta _{1}}{\eta _{2}}}$

‎есть корень того же алгебраическаго уравненія (1).

Корни $\eta _{1},\ \eta _{2}$ уравненія (8) выражаются черезъ корень $u$ уравненія (1) при помощи формулъ:

1. См. формулы ([[../../Глава II/ДО#Eq19|19]]) и ([[../../Глава II/ДО#Eq75|75]]) [[../../Глава II/ДО|главы II]].

Тот же текст в современной орфографии

‎дифференциальное же уравнение (3) в новое дифференциальное уравнение:

${\frac {d^{2}\eta }{dz^{2}}}=P\eta ,$

(9)

‎где $P$ есть рациональная функция $z$, которая выражается через $p_{1}$ и $p_{2}$ следующим образом:

$P={\frac {1}{4}}p_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {dp_{1}}{dz}}-p_{2}.$

(10)

‎Та же функция $P$ может быть выражена через $R(z)$ из такого уравнения:

${\begin{matrix}-2P=[R(z)]_{z}+{\dfrac {1}{c^{2}}}\left({\dfrac {dR(z)}{dz}}\right)^{2}\left\{{\dfrac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}}{{\dfrac {2}{c^{2}}}R^{2}(z)}}+{\dfrac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}}{2\left({\dfrac {1}{c}}R(z)-1\right)}}\,+\right.\\\left.+\,{\dfrac {{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}+{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda ^{2}}}-1}{{\dfrac {2}{c}}R(z)\left({\dfrac {1}{c}}R(z)-1\right)}}\right\}.\end{matrix}}$[1]

(11)

‎Из равенства (7) следует, что отношение частных интегралов $y_{1},\ y_{2}$ уравнения (3) такое же, как отношение соответствующих им частных интегралов $\eta _{1},\ \eta _{2}$ уравнения (9):

$u={\frac {y_{1}}{y_{2}}}={\frac {\eta _{1}}{\eta _{2}}}.$

(12)

‎Отношение

${\frac {\eta _{1}}{\eta _{2}}}$

‎есть корень того же алгебраического уравнения (1).

Корни $\eta _{1},\ \eta _{2}$ уравнения (8) выражаются через корень $u$ уравнения (1) при помощи формул:

1. См. формулы (19) и (75) главы II.