Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/265

$\left.{\begin{array}{l}\sigma ^{k},\ \sigma ^{k}\upsilon ,\ \sigma ^{k}\tau \sigma ^{h},\ \sigma ^{k}\tau \sigma ^{k}\upsilon ,\\{\text{гдѣ }}k=0,\ 1,\ldots \ 9,\\{\phantom {\text{гдѣ }}}h=0,\ 1,\ldots \ 4.\end{array}}\right\}$[1]

(71)

‎Если $\eta _{1}$ есть корень уравненія (63), то тому же уравненію удовлетворитъ функція$-\eta _{2}$: это слѣдуетъ изъ того, что въ группу (71) разсматриваемаго уравненія входитъ подстановка $\upsilon$:

$\left.{\begin{matrix}{\bar {\eta }}_{1}=-\eta _{2},\\{\bar {\eta }}_{2}=\eta _{1}.\end{matrix}}\right\}$

(70')

‎Примѣняя къ величинамъ $\eta _{1},\ -\eta _{2}$ подстановки группы (71), находимъ всѣ корни уравненія (63), выраженныя въ видѣ линейныхъ функцій отъ $\eta _{1},\ \eta _{2}$.

Десятыя степени корней изобразятся формулами:

$\left.{\begin{matrix}\eta _{1}^{10},\ \eta _{2}^{10},\ \left({\dfrac {\varepsilon -\varepsilon ^{4}}{\sqrt {5}}}\varepsilon ^{h}\eta _{1}-{\dfrac {\varepsilon ^{2}-\varepsilon ^{3}}{\sqrt {5}}}\eta _{2}\right)^{10},\\\left({\dfrac {\varepsilon ^{2}-\varepsilon ^{3}}{\sqrt {5}}}\varepsilon ^{h}\eta _{1}+{\dfrac {\varepsilon -\varepsilon ^{4}}{\sqrt {5}}}\eta _{2}\right)^{10},\\{\text{гдѣ }}h=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{5}}.\end{matrix}}\right\}$

(72)

‎Уравненіе (63) представится въ такомъ видѣ:

${\begin{matrix}(\eta ^{10}-\eta _{1}^{10})(\eta ^{10}-\eta _{2}^{10}){\overset {h=4}{\underset {h=0}{P}}}\left\{\eta ^{10}-\left({\dfrac {\varepsilon -\varepsilon ^{4}}{\sqrt {5}}}\varepsilon ^{h}\eta _{1}-{\dfrac {\varepsilon ^{2}-\varepsilon ^{3}}{\sqrt {5}}}\eta _{2}\right)^{10}\right\}\,\times \\\times \,\left\{\eta ^{10}-\left({\dfrac {\varepsilon ^{2}-\varepsilon ^{3}}{\sqrt {5}}}\varepsilon ^{h}\eta _{1}+{\dfrac {\varepsilon -\varepsilon ^{4}}{\sqrt {5}}}\eta _{2}\right)^{10}\right\}=0.\end{matrix}}$

(73)

‎Представивъ уравненіе (63) въ видѣ (73), мы можемъ вычислить симметрическія функціи $s_{10},\ s_{20},\ s_{30}\ldots$ его корней, а затѣмъ и коэффиціенты уравненія (63). Эти коэффиціенты представляются въ видѣ однородныхъ формъ съ аргунентами

1. Сравн. формулы ([[../../Глава IV/ДО#Eq58|58]]), [[../../Глава IV/ДО|главы IV]].

Тот же текст в современной орфографии

$\left.{\begin{array}{l}\sigma ^{k},\ \sigma ^{k}\upsilon ,\ \sigma ^{k}\tau \sigma ^{h},\ \sigma ^{k}\tau \sigma ^{k}\upsilon ,\\{\text{где }}k=0,\ 1,\ldots \ 9,\\{\phantom {\text{где }}}h=0,\ 1,\ldots \ 4.\end{array}}\right\}$[1]

(71)

‎Если $\eta _{1}$ есть корень уравнения (63), то тому же уравнению удовлетворит функция $-\eta _{2}$: это следует из того, что в группу (71) рассматриваемого уравнения входит подстановка $\upsilon$:

$\left.{\begin{matrix}{\bar {\eta }}_{1}=-\eta _{2},\\{\bar {\eta }}_{2}=\eta _{1}.\end{matrix}}\right\}$

(70')

‎Применяя к величинам $\eta _{1},\ -\eta _{2}$ подстановки группы (71), находим все корни уравнения (63), выраженные в виде линейных функций от $\eta _{1},\ \eta _{2}$.

Десятые степени корней изобразятся формулами:

$\left.{\begin{matrix}\eta _{1}^{10},\ \eta _{2}^{10},\ \left({\dfrac {\varepsilon -\varepsilon ^{4}}{\sqrt {5}}}\varepsilon ^{h}\eta _{1}-{\dfrac {\varepsilon ^{2}-\varepsilon ^{3}}{\sqrt {5}}}\eta _{2}\right)^{10},\\\left({\dfrac {\varepsilon ^{2}-\varepsilon ^{3}}{\sqrt {5}}}\varepsilon ^{h}\eta _{1}+{\dfrac {\varepsilon -\varepsilon ^{4}}{\sqrt {5}}}\eta _{2}\right)^{10},\\{\text{где }}h=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{5}}.\end{matrix}}\right\}$

(72)

‎Уравнение (63) представится в таком виде:

${\begin{matrix}(\eta ^{10}-\eta _{1}^{10})(\eta ^{10}-\eta _{2}^{10})\prod \limits _{h=0}^{h=4}\left\{\eta ^{10}-\left({\dfrac {\varepsilon -\varepsilon ^{4}}{\sqrt {5}}}\varepsilon ^{h}\eta _{1}-{\dfrac {\varepsilon ^{2}-\varepsilon ^{3}}{\sqrt {5}}}\eta _{2}\right)^{10}\right\}\,\times \\\times \,\left\{\eta ^{10}-\left({\dfrac {\varepsilon ^{2}-\varepsilon ^{3}}{\sqrt {5}}}\varepsilon ^{h}\eta _{1}+{\dfrac {\varepsilon -\varepsilon ^{4}}{\sqrt {5}}}\eta _{2}\right)^{10}\right\}=0.\end{matrix}}$

(73)

‎Представив уравнение (63) в виде (73), мы можем вычислить симметрические функции $s_{10},\ s_{20},\ s_{30},\ \ldots$ его корней, а затем и коэффициенты уравнения (63). Эти коэффициенты представляются в виде однородных форм с аргунентами

1. Сравн. формулы (58) главы IV.