Алгебраические уравнения, разрешимые в гипергеометрических функциях (Лахтин)/Глава VIII/ДО

Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ — Глава VIII. Алгебраическія уравненія, имѣющія корнями частные интегралы линейнаго дифференціальнаго уравненія 2-го порядка
авторъ Л. К. Лахтинъ

Опубл.: 1893 год.

§ 34. Предварительныя замѣчанія  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

§ 35. Выраженія первичныхъ формъ $f(\eta _{1},\ \eta _{2})$, $H(\eta _{1},\ \eta _{2})$, $T(\eta _{1},\ \eta _{2})$ въ видѣ радикаловъ изъ раціональныхъ функцій перемѣннаго $z$  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

§ 36. Внѣшній видъ уравненій, имѣющихъ корнями частные интегралы дифференціальнаго уравненія вида: ${\frac {d^{2}\eta }{dz^{2}}}=P\eta$  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

§ 37. Алгебраическія уравненія, имѣющія корнями частные интегралы гипергеометрическихъ дифференціальныхъ уравненій  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

---

Глава VIII.

Алгебраическія уравненія, имѣющія корнями частные интегралы линейнаго дифференціальнаго уравненія 2-го порядка.

§ 34. Предварительныя замѣчанія.

Въ настоящей главѣ мы разсмотримъ ближе внѣшній видъ уравненій, свойства которыхъ изучены нами въ главѣ I, уравненій, имѣющихъ корнями частные интегралы линейнаго дифференціальнаго уравненія 2-го порядка.

Въ главѣ I мы видѣли^[1], что корни этихъ уравненій выражаются какъ явныя функціи корней алгебраическаго уравненія:

$H^{\lambda _{1}}(u):c'T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)={\frac {1}{c}}R(z):{\frac {1}{c}}R(z)-1:1,$

(1)

‎рѣшеніе котораго было нами найдено въ главѣ VII.

Припомнимъ главнѣйшіе результаты, найденные въ главѣ I и отчасти въ главѣ II.

Пусть корни уравненія

$\Phi (y,\;z)=0$

(2)

‎служатъ частными интегралами линейнаго дифференціальнаго уравненія:

${\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+p_{1}{\frac {dy}{dz}}+p_{2}y=0.$

(3)

Отношеніе двухъ линейно независимыхъ частныхъ интеграловъ $y_{1},\ y_{2}$ уравненія (3):

${\frac {y_{1}}{y_{2}}}=u$

(4)

‎есть корень нѣкотораго алгебраическаго уравненія вида (1).

Корни $y_{1}$ и $y_{2}$ могутъ быть выражены, какъ явныя функціи $u$:

$\left.{\begin{matrix}y_{1}=ku{\sqrt {\dfrac {T(u)R(z)}{f(u)H(u){\dfrac {dR(z)}{dz}}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz},\\y_{2}=k{\sqrt {\dfrac {T(u)R(z)}{f(u)H(u){\dfrac {dR(z)}{dz}}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz},\end{matrix}}\right\}$

(5)

‎гдѣ $k$ есть нѣкоторое постоянное.

Если $y_{2}$ есть корень уравненія (2), то мы въ правѣ сказать что уравненіе (2) можетъ быть получено изъ уравненія (1) преобразованіемъ неизвѣстнаго:

$y=k{\sqrt {\dfrac {T(u)R(z)}{f(u)H(u){\dfrac {dR(z)}{dz}}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}.$

(6)

‎Корни уравненія (2) выражаются черезъ корни уравненія (1) при помощи формулъ (6).

Умѣя рѣшить уравненіе (1), мы можемъ найти всѣ корни уравненія (2).

Положивъ:

$y=ke^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}\eta ,$

(7)

‎мы преобразуемъ уравненіе (2) въ новое уравненіе:

$F(\eta ,\;z)=0,$

(8)

‎дифференціальное же уравненіе (3) въ новое дифференціальное уравненіе:

${\frac {d^{2}\eta }{dz^{2}}}=P\eta ,$

(9)

‎гдѣ $P$ есть раціональная функція $z$, которая выражается черезъ $p_{1}$ и $p_{2}$ слѣдующимъ образомъ:

$P={\frac {1}{4}}p_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {dp_{1}}{dz}}-p_{2}.$

(10)

‎Та же функція $P$ можетъ быть выражена черезъ $R(z)$ изъ такого уравненія:

${\begin{matrix}-2P=[R(z)]_{z}+{\dfrac {1}{c^{2}}}\left({\dfrac {dR(z)}{dz}}\right)^{2}\left\{{\dfrac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}}{{\dfrac {2}{c^{2}}}R^{2}(z)}}+{\dfrac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}}{2\left({\dfrac {1}{c}}R(z)-1\right)}}\,+\right.\\\left.+\,{\dfrac {{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}+{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda ^{2}}}-1}{{\dfrac {2}{c}}R(z)\left({\dfrac {1}{c}}R(z)-1\right)}}\right\}.\end{matrix}}$[2]

(11)

‎Изъ равенства (7) слѣдуетъ, что отношеніе частныхъ интеграловъ $y_{1},\ y_{2}$ уравненія (3) таково же, какъ отношеніе соотвѣтствующихъ имъ частныхъ интеграловъ $\eta _{1},\ \eta _{2}$ уравненія (9):

$u={\frac {y_{1}}{y_{2}}}={\frac {\eta _{1}}{\eta _{2}}}.$

(12)

‎Отношеніе

${\frac {\eta _{1}}{\eta _{2}}}$

‎есть корень того же алгебраическаго уравненія (1).

Корни $\eta _{1},\ \eta _{2}$ уравненія (8) выражаются черезъ корень $u$ уравненія (1) при помощи формулъ:

$\eta _{1}=u{\sqrt {\dfrac {T(u)R(z)}{f(u)H(u){\dfrac {dR(z)}{dz}}}}},\quad \eta _{2}={\sqrt {\dfrac {T(u)R(z)}{f(u)H(u){\dfrac {dR(z)}{dz}}}}}.$

(13)

‎Уравненіе (8) можно разсматривать, какъ результатъ преобразованія уравненія (1) подстановкою:

$\eta ={\sqrt {\dfrac {T(u)R(z)}{f(u)H(u){\dfrac {dR(z)}{dz}}}}}.$

(14)

‎Найдя уравненіе (8), мы можемъ построить уравненіе (2), преобразуя уравненіе (8) подстановкою:

$\eta ={\frac {1}{k}}e^{{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}y.$

(15)

‎Изъ уравненій вида (2) наибольшій интересъ представляютъ тѣ уравненія, корни которыхъ суть частные интегралы гипергеометрическаго уравненія:

$z(1-z){\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+\left\{\gamma -(\alpha +\beta +1)z\right\}{\frac {dy}{dz}}-\alpha \beta y=0.$

(16)

‎Мы знаемъ, что въ такомъ случаѣ параметры $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ суть функціи величинъ $\lambda ,\ \lambda _{1},\lambda _{2}$ и опредѣляются по формуламъ:

$\left.{\begin{array}{l}\alpha ={\dfrac {1}{2}}\left(1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}}}-{\dfrac {1}{\lambda _{2}}}+{\dfrac {1}{\lambda }}\right),\\\beta ={\dfrac {1}{2}}\left(1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}}}-{\dfrac {1}{\lambda _{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda }}\right),\\\gamma =1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}}}.\end{array}}\right\}$[3]

(17)

Положимъ въ формулахъ (10) и (11):

$p_{1}={\frac {\gamma -(\alpha +\beta +1)z}{z(1-z)}},\ p_{2}=-{\frac {\alpha \beta }{z(1-z)}},$

(18)

‎гдѣ $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ опредѣляются формулами (17).

Изъ формулъ (10), (18), (17) находимъ:

$P=-{\dfrac {1}{2}}\left\{{\dfrac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}}{2z^{2}}}+{\dfrac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}}{2(z-1)^{2}}}+{\dfrac {{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}+{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda ^{2}}}-1}{2z(1-z)}}\right\}.$

(19)

‎Вставивъ это выраженіе въ лѣвую часть равенства (11), мы находимъ уравненіе, опредѣляющее функцію $R(z)$. Мы видимъ, что оно удовлетворяется при:

$R(z)=cz.$

(20)

‎Итакъ, положивъ

$R(z)=cz,$

(20)

‎и преобразуя затѣмъ уравненіе (8) подстановкою:

$\eta ={\frac {1}{k}}e^{{\frac {1}{2}}\int {\frac {\gamma -(\alpha +\beta +1)z}{z(1-z)}}\,dz}y,$

‎или:

$\eta ={\frac {1}{k}}z^{{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{\lambda _{1}}}\right)}(1-z)^{{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{\lambda _{2}}}\right)}y,$

(21)

‎гдѣ $k$—нѣкоторое произвольное постоянное, мы должны получить новое алгебраическое уравненіе, имѣющее корнями частные интегралы гипергеометрическаго уравненія (16).

Такъ какъ для уравненій типовъ: тетраэдрическаго, октаэдрическаго и икосаэдрическаго величины $\lambda _{1}$ и $\lambda _{2}$ опредѣляются равенствами:

$\lambda _{1}=3,\ \lambda _{2}=2,$

‎то подстановка (21) можетъ быть для уравненій этихъ трехъ типовъ представлена формулою:

$\eta ={\frac {1}{k}}z^{\frac {1}{3}}(1-z)^{\frac {1}{4}}y.$

(22)

‎Мы видимъ, что изъ числа уравненій изучаемаго класса наибольшій интересъ представляютъ:

1) уравненія вида (8)—по наибольшей простотѣ своихъ свойствъ,

2) уравненія, получаемыя изъ уравненій вида (8) преобразованіемъ (22)—по своему свойству имѣть корнями частные интегралы гипергеометрическаго уравненія.

Остальныя уравненія того же класса могутъ быть получаемы изъ уравненій (8) подстановкою:

$\eta ={\frac {1}{k}}e^{{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}y,$

(15)

‎гдѣ $p_{1}$ какая угодно раціональная функція $z$, подчиненная только тому условію, чтобы выраженіе:

$e^{{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}$

‎было алгебраическою функціею $z$.

Что касается до уравненія (8), соотвѣтствующаго уравненію (1) двупирамиднаго типа, то оно было нами разсмотрѣно въ § 4.

Это уравненіе рѣшается въ радикалахъ совершенно элементарнымъ образомъ. Поэтому мы будемъ говорить только объ уравненіяхъ вида (8) типовъ: тетраэдрическаго, октаэдрическаго и икосаэдрическаго.

Въ § 20 мы нашли, что порядокъ $n$ группы бинарныхъ линейныхъ подстановокъ, каждаго изъ названныхъ трехъ типовъ вдвое выше порядка $N$ соотвѣтствующей группы неоднородныхъ линейныхъ подстановокъ. Отсюда слѣдуетъ, что степень $n$ уравненія (8) вдвое выше степени $N$ уравненія (1) того же типа:

$n=2N.$

Далѣе, отсюда заключаемъ, что индексы:

$\mu ={\frac {n}{\nu }},\ \mu _{1}={\frac {n}{\nu _{1}}},\ \mu _{2}={\frac {n}{\nu _{2}}}$

‎первичныхъ формъ $f(\eta _{1},\;\eta _{2}),\ H(\eta _{1},\;\eta _{2}),\ T(\eta _{1},\;\eta _{2})$ вдвое больше показателей:

$\lambda ={\frac {N}{\nu }},\ \lambda _{1}={\frac {N}{\nu _{1}}},\ \lambda _{2}={\frac {N}{\nu _{2}}}.$

§ 35. Выраженія первичныхъ формъ $f(\eta _{1},\;\eta _{2})$, $H(\eta _{1},\;\eta _{2})$, $T(\eta _{1},\;\eta _{2})$ въ видѣ радикаловъ изъ раціональныхъ функцій перемѣннаго $z$

Мы видѣли въ теоремѣ 10 главы I, что всякая первичная форма, имѣющая аргументами два частныхъ интеграла уравненія (8), равна радикалу изъ раціональной функціи $z$. Степень этого радикала равна индексу первичной формы или дѣлителю этого индекса—если степень радикала удастся понизить.

Построимъ сказанныя выраженія для первичныхъ формъ $f(\eta _{1},\;\eta _{2}),\ H(\eta _{1},\;\eta _{2}),\ T(\eta _{1},\;\eta _{2})$ разсматриваемыхъ трехъ типовъ.

Возведемъ обѣ части втораго изъ равенствъ (13) въ степень

$n=2N\colon$

$\eta _{2}^{n}={\frac {T^{N}(u)R^{N}}{f^{N}(u)H^{N}(u)R'{}^{N}}},$

(23)

‎гдѣ для краткости введены обозначенія:

$R=R(z),\ R'={\frac {dR(z)}{dz}}.$

‎Изъ уравненія (1) имѣемъ:

$H_{1}^{\lambda }(u)=Rf^{\lambda }(u),\ T_{2}^{\lambda }(u)={\frac {1}{c'}}(R-c)f^{\lambda }(u),$

(24)

‎откуда:

$H^{N}(u)=R^{\nu _{1}}f^{\lambda \nu _{1}}(u),\ T^{N}(u)={\frac {1}{c'{}^{\nu _{2}}}}(R-c)^{\nu _{2}}f^{\lambda \nu _{2}}(u).$

(25)

‎Вставивъ эти выраженія въ формулу (23), находимъ:

$\eta _{2}^{n}={\frac {(R-c)^{\nu _{2}}R^{N-\nu _{1}}}{c'{}^{\nu _{2}}R'{}^{N}}}f^{\lambda (\nu _{2}-\nu _{1}-\nu )}(u).$

(26)

‎Величины $\nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$, какъ мы знаемъ, таковы:

для тетраэдрическаго типа: $\nu =4,\ \nu _{1}=4,\ \nu _{2}=6,$

для октаэдрическаго типа: $\nu =6,\ \nu _{1}=8,\ \nu _{2}=12,$

для икосаэдрическаго типа: $\nu =12,\ \nu _{1}=200,\ \nu _{2}=30.$

Во всѣхъ трехъ случаяхъ имѣетъ мѣсто равенство:

$\nu _{2}-\nu _{1}-\nu =-2.$

(27)

‎Поэтому равенство (26) можно представить въ такомъ видѣ:

$\eta _{2}^{n}f^{2\lambda }(u)={\frac {(R-c)^{\nu _{2}}R^{N-\nu _{1}}}{c'{}^{\nu _{2}}R'{}^{N}}}.$

(28)

‎Такъ какъ многочленъ $f(u)$ степени $\nu$, то:

$\eta _{2}^{n}f(u)=f(\eta _{1},\;\eta _{2}).$

‎Отсюда слѣдуетъ, что равенство (28) можно представить въ слѣдующемъ видѣ:

$f^{2\lambda }(\eta _{1},\;\eta _{2})={\frac {(R-c)^{\nu _{2}}R^{N-\nu _{1}}}{c'{}^{\nu _{2}}R'{}^{N}}}.$

(29)

‎Отсюда, обозначая индексъ первичной формы $f(\eta _{1},\;\eta _{2})$ по прежнему буквою $\mu$ и припомнивъ, что

$2\lambda =\mu ,$

‎находимъ:

$f(\eta _{1},\;\eta _{2})={\sqrt[{\mu }]{\frac {(R-c)^{\nu _{2}}R^{N-\nu _{1}}}{c'{}^{\nu _{2}}R'{}^{N}}}}.$

(30)

‎Первичная форма $f(\eta _{1},\;\eta _{2})$ выражена въ видѣ радикала степени $\mu$ изъ раціональной функціи $z$.

Изъ уравненій (24) слѣдуетъ:

$\left.{\begin{array}{l}H^{2\lambda _{1}}(\eta _{1},\;\eta _{2})=R^{2}f^{2\lambda }(\eta _{1},\;\eta _{2}),\\T^{2\lambda _{2}}(\eta _{1},\;\eta _{2})={\dfrac {1}{c'{}^{2}}}(R-c)^{2}f^{2\lambda }(\eta _{1},\;\eta _{2}).\end{array}}\right\}$

(31)

‎Подставивъ въ эти равенства выраженіе (30) формы $f(\eta _{1},\;\eta _{2})$, находимъ:

$\left.{\begin{array}{l}H^{2\lambda _{1}}(\eta _{1},\;\eta _{2})={\dfrac {(R-c)^{\nu _{2}}R^{N-\nu _{1}+2}}{c'{}^{\nu _{2}}R'{}^{N}}},\\T^{2\lambda _{2}}(\eta _{1},\;\eta _{2})={\dfrac {(R-c)^{\nu _{2}+2}R^{N-\nu _{1}}}{c'{}^{\nu _{2}+2}R'{}^{N}}}.\end{array}}\right\}$

(32)

‎Откуда, припомнивъ, что:

$2\lambda _{1}=\mu _{1},\ \lambda _{2}=\mu _{2},$

‎находимъ:

$H(\eta _{1},\;\eta _{2})={\sqrt[{\mu _{1}}]{\frac {(R-c)^{\nu _{2}}R^{N-\nu _{1}+2}}{c'{}^{\nu _{2}}R'{}^{N}}}},$

(33)

$T(\eta _{1},\;\eta _{2})={\sqrt[{\mu _{1}}]{\frac {(R-c)^{\nu _{2}+2}R^{N-\nu _{1}}}{c'{}^{\nu _{2}+2}R'{}^{N}}}}.$

(34)

‎Формулы эти даютъ выраженія первичныхъ формъ $H(\eta _{1},\;\eta _{2}),\ T(\eta _{1},\;\eta _{2})$ въ видѣ радикаловъ изъ раціональной функціи $z$.

Примѣнимъ формулы (30), (33), (34) къ каждому изъ разсматриваемыхъ трехъ типовъ въ отдѣльности, давая показателямъ $\mu ,\ \mu _{1},\ \mu _{2},\ \nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$ соотвѣтствующія значенія.

I. Типъ тетраэдрическій.

$\left.{\begin{array}{l}f(\eta _{1},\;\eta _{2})={\dfrac {(R-c)R}{c'R'{}^{2}}}{\sqrt[{3}]{R}},\\H(\eta _{1},\;\eta _{2})={\dfrac {(R-c)R}{c'{}^{2}R'{}^{2}}}{\sqrt[{3}]{R^{2}}},\\T(\eta _{1},\;\eta _{2})={\dfrac {(R-c)^{2}R^{2}}{c'{}^{2}R'{}^{3}}}.\end{array}}\right\}$

(35)

II. Типъ октаэдрическій.

$\left.{\begin{array}{l}f(\eta _{1},\;\eta _{2})={\dfrac {(R-c)R^{2}}{c'{\sqrt {c'}}R'{}^{3}}}{\sqrt {R-c}},\\H(\eta _{1},\;\eta _{2})={\dfrac {(R-c)^{2}R^{3}}{c'{}^{2}R'{}^{4}}},\\T(\eta _{1},\;\eta _{2})={\dfrac {(R-c)^{3}R^{4}}{c'{}^{3}{\sqrt {c'}}R'{}^{6}}}{\sqrt {R-c}}.\end{array}}\right\}$

(36)

III. Типъ икосаэдрическій.

$\left.{\begin{array}{l}f(\eta _{1},\;\eta _{2})={\dfrac {(R-c)^{3}R^{4}}{c'{}^{3}R'{}^{6}}},\\H(\eta _{1},\;\eta _{2})={\dfrac {(R-c)^{5}R^{7}}{c'{}^{5}R'{}^{10}}},\\T(\eta _{1},\;\eta _{2})={\dfrac {(R-c)^{8}R^{10}}{c'{}^{8}R'{}^{15}}}.\end{array}}\right\}$

(37)

‎Заслуживаетъ нѣкотораго вниманія та особенность уравненія икосаэдрическаго типа, что здѣсь всѣ три формы $f(\eta _{1},\;\eta _{2})$, $H(\eta _{1},\;\eta _{2})$, $T(\eta _{1},\;\eta _{2})$ суть раціональныя функціи $z$.

§ 36. Внѣшній видъ уравненій, имѣющихъ корнями частные интегралы дифференціальнаго уравненія вида:

${\frac {d^{2}\eta }{dz^{2}}}=P\eta .$

(9)

‎Пусть, согласно нашимъ обозначеніямъ, уравненіе степени

$F(\eta ,\;z)=0$

(8)

‎имѣетъ корнями частные интегралы дифференціальнаго уравненія:

${\frac {d^{2}\eta }{dz^{2}}}=P\eta .$

(9)

Пусть:

$\eta _{1},\ \eta _{2},\ldots \ \eta _{\nu '},$

(38)

‎есть приведенная система корней уравненія (8).

Выразимъ величины (38) въ видѣ линейныхъ функцій двухъ какихъ нибудь частныхъ интеграловъ уравненія (9):

$\eta ',\ \eta ''.$

‎Перемноживъ полученныя выраженія между собою, мы получимъ первичную форму:

$\eta _{1}\eta _{2}\ldots \ \eta _{\nu '}={\mathfrak {F}}(\eta ',\;\eta ''),$

(39)

‎соотвѣтствующую алгебраическому уравненію (8).

Степень первичной формы (39) равна числу $\nu '$ корней приведенной системы (38), а индексъ $\mu '$ равенъ:

$\mu '={\frac {n}{\nu '}}.$

(40)

‎Всѣ первичныя формы, соотвѣтствующія алгебраическому уравненію (8), эквивалентны между собою: онѣ получаются изъ формы (39) всевозможными бинарными линейными преобразованіями.

Каждое такое преобразованіе соотвѣтствуетъ новому выбору тѣхъ двухъ частныхъ интеграловъ $\eta ',\ \eta ''$ уравненія (9), чрезъ которые мы выражаемъ корни приведенной системы (38).

Считая всѣ эквивалентныя формы тождественными между собою, мы можемъ сказать, что каждому алгебраическому уравненію (8) соотвѣтствуетъ опредѣленная первичная форма (39) и обратно: каждой первичной формѣ (39) соотвѣтствуетъ единственное уравненіе (8).

Для большей простоты формулъ мы примемъ $\eta ''$ равною одному изъ корней (38) уравненія (8).

Мы видѣли въ § 27, что всякая первичная форма должна принадлежать къ одному изъ четырехъ видовъ:

$af(\eta ',\;\eta ''),\ bH(\eta ',\;\eta ''),\ gT(\eta ',\;\eta ''),\ hH^{\lambda _{1}}(\eta ',\;\eta '')+kf^{\lambda }(\eta ',\;\eta ''),$

(41)

‎гдѣ $a,\ b,\ g,\ h,\ k$—нѣкоторыя постоянныя.

Отсюда заключаемъ, что уравненіе (8) должно имѣть одинъ изъ четырехъ видовъ, соотвѣтствующихъ формамъ (41).

Индексы формъ (41) таковы:

$\mu =2\lambda ,\ \mu _{1}=2\lambda _{1},\ \mu _{2}=2\lambda _{2},\ \mu _{3}=2.$

(42)

‎Въ началѣ § 2 мы видѣли, что уравненіе (8) содержитъ неизвѣстное $\eta$ исключительно въ степеняхъ, дѣлящихся на индексъ соотвѣтствующей первичной формы.

Пусть уравненіе (8) соотвѣтствуетъ первичной формѣ:

${\mathfrak {F}}(\eta ',\;\eta '')$

‎степени $\nu '$, индекса $\mu '$.

Тогда уравненіе (8) будетъ таково:

$\eta ^{n}+A_{\mu '}\eta ^{n-\mu '}+A_{2\mu '}\eta ^{n-2\mu '}+\ldots +A_{n-\mu '}\eta ^{\mu '}+A_{n}=0,$

(43)

‎гдѣ:

$A_{\mu '},\ A_{2\mu '},\ldots \ A_{n-\mu '},\ A_{n}$

(44)

‎суть раціональныя функціи $z$.

Посмотримъ, какъ найти выраженія этихъ функцій.

Коэффиціенты (44) суть цѣлыя, однородныя, симметрическія функціи корней уравненія (43), или, что то же, уравненія (8). Выразивъ ихъ, какъ функціи корней и вставивъ затѣмъ выраженія этихъ корней чрезъ интегралы $\eta ',\ \eta ''$, мы представимъ каждый изъ коэффиціентовъ (44) въ видѣ цѣлой однородной бинарной формы съ аргументами $\eta ',\ \eta ''$:

$A_{k\mu '}(\eta ',\;\eta ''),$ гдѣ $k=1,\ 2,\ 3,\ \ldots ,\ \nu '.$

(45)

‎Всѣ формы (45) инваріанты по отношенію къ группамъ бинарныхъ линейныхъ подстановокъ, испытываемыхъ величинами $\eta ',\ \eta ''$ при всевозможныхъ обходахъ на плоскости перемѣннаго $z$.

Это слѣдуетъ изъ того, что коэффиціенты (44) могутъ быть представлены въ видѣ раціональныхъ функцій перемѣннаго $z$.

Что касается коэффиціента

$A_{n}(\eta ',\;\eta ''),$

‎то онъ равенъ произведенію корней уравненія (8), и поэтому можетъ разниться лишь постояннымъ множителемъ отъ степени $\mu '$ первичной формы

${\mathfrak {F}}(\eta ',\;\eta ''),$

‎соотвѣтствующей уравненію (8):

$A_{n}(\eta ',\;\eta '')=q_{n}{\mathfrak {F}}^{\mu '}(\eta ',\;\eta ''),$

(46)

‎гдѣ $q_{n}$— постоянное число.

Мы знаемъ, что первичная форма въ степени, равной ея индексу, есть раціональная функція $z$. Помня, что первичная форма выражается одною изъ формулъ (41) и имѣя равенства (35), (36), (37), мы можемъ найти выраженіе этой раціональной функціи $z$, какова бы ни была первичная форма ${\mathfrak {F}}(\eta ',\;\eta '')$.

Вставивъ во второй части равенства (46) вмѣсто ${\mathfrak {F}}^{\mu '}(\eta ',\;\eta '')$ ея выраженіе въ видѣ функціи $z$, мы опредѣлимъ коэффиціентъ $A_{n}$ уравненія (43) до постояннаго множителя.

Подобнымъ же образомъ найдутся выраженія остальныхъ коэффиціентовъ (44). Дѣйствительно, на основаніи теоремы 3 главы VI мы можемъ утверждать, что каждая изъ формъ (45) можетъ быть представлена въ такомъ видѣ:

${\begin{matrix}A_{k\mu '}(\eta ',\;\eta '')=\\=\Phi [H^{\lambda _{1}}(\eta ',\;\eta ''),\;f^{\lambda }(\eta ',\;\eta '')]f^{m_{1}}(\eta ',\;\eta '')H^{m_{2}}(\eta ',\;\eta '')T^{m_{3}}(\eta ',\;\eta ''),\end{matrix}}$

(47)

‎гдѣ $\Phi$ есть форма нѣкоторой степени $s$, однородная относительно ея аргументовъ:

$H^{\lambda _{1}}(\eta ',\;\eta '')$ и $f^{\lambda }(\eta ',\;\eta ''),$

‎показатели $m_{1},\ m_{2}\,m_{3}$ суть числа цѣлыя, положительныя и меньшія чиселъ $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$.

Сравнивая степени формъ, стоящихъ въ обѣихъ частяхъ тождества (47), находимъ неопредѣленное уравненіе:

$k\mu '=Ns+m_{1}\nu +m_{2}\nu _{1}+m_{3}\nu _{2}.$

(48)

‎Такъ какъ

$k\mu '<n,\ n=2N,$

‎то изъ неопредѣленнаго уравненія (48) заключаемъ, что степень $s$ формы $\Phi$ равна 0 или 1.

Неопредѣленное уравненіе (48) даетъ одну или, въ крайнемъ случаѣ, весьма ограниченное число системъ рѣшеній. Если уравненіе (48) окажется невозможнымъ, то это служитъ признакомъ того, что коэффиціентъ $A_{k\mu '}$ равенъ нулю.

Вставивъ найденныя системы рѣшеній уравненія (48) въ формулу (47), мы найдемъ одно или, въ крайнемъ случаѣ, весьма ограниченное число выраженій, могущихъ изобразить собою коэффиціентъ $A_{k\mu '}$. Въ каждомъ изъ этихъ выраженій входитъ одинъ или два неизвѣстныхъ постоянныхъ коэффиціента.

Вставивъ найденныя выраженія коэффиціентовъ $A_{k\mu '}(\eta ',\;\eta '')$ въ уравненіе (43), раздѣливъ все уравненіе на $\eta ''{}^{n}$ и положивъ

$\eta =\eta '',\ {\frac {\eta '}{\eta ''}}=u,$

‎найдемъ:

$1+A_{\mu '}(u)+A_{2\mu '}(u)+\ldots +A_{n}(u)=0.$

(49)

‎Равенство (49) должно быть тождествомъ: иначе отношеніе

${\frac {\eta '}{\eta ''}}=u$

‎было бы постояннымъ.

Отобравъ въ лѣвой части равенства (49) коэффиціенты при одинаковыхъ степеняхъ $u$ и приравнивая ихъ нулю, мы находимъ уравненія 1-ой степени, опредѣляющія тѣ неизвѣстныя постоянныя, которыя входятъ въ коэффиціенты $A_{k\mu '}(u)$.

Выполнивъ эти вычисленія, мы найдемъ окончательныя выраженія функцій $A_{k\mu '}(\eta ',\;\eta '')$.

Вставивъ затѣмъ въ полученныя выраженія $A_{k\mu '}(\eta ',\;\eta '')$ вмѣсто первичныхъ формъ

$f(\eta ',\;\eta ''),\ H(\eta ',\;\eta ''),\ T(\eta ',\;\eta '')$

‎ихъ выраженія въ видѣ функцій перемѣннаго $z$, мы находимъ окончательныя выраженія коэффиціентовъ (44) уравненія (43).

Таковъ совершенно общій пріемъ составленія уравненія (43). Онъ представляетъ лишь механическія затрудненія, правда довольно значительныя, при опредѣленіи неизвѣстныхъ постоянныхъ, обращающихъ въ тождество уравненіе (49).

Пріемъ этотъ въ отдѣльныхъ случаяхъ можетъ быть упрощенъ или замѣненъ другими болѣе удобными въ этихъ случаяхъ пріемами, какъ это мы сейчасъ увидимъ.

Изъ уравненій вида (43) наибольшій интересъ по своей простотѣ представляютъ уравненія, соотвѣтствующія первичной формѣ $f(\eta ',\;\eta '')$—эти уравненія содержатъ въ себѣ наименьшее число членовъ. Займемся ихъ составленіемъ.

I. Уравненіе тетраэдрическаго типа.

Возьмемъ формы втораго нормальнаго тетраэдрическаго типа:

$\left.{\begin{array}{l}f(\eta _{1},\;\eta _{2})=\eta _{1}^{4}-2{\sqrt {2}}\eta _{1}\eta _{2}^{3},\\H(\eta _{1},\;\eta _{2})=2{\sqrt {2}}\eta _{1}^{3}\eta _{2}+\eta _{2}^{4},\\T(\eta _{1},\;\eta _{2})=\eta _{1}^{6}+5{\sqrt {2}}\eta _{1}^{3}\eta _{2}^{3}-\eta _{2}^{6}.\end{array}}\right\}$

(50)

‎Подставивъ эти выраженія въ равенства (35), находимъ:

$\left.{\begin{array}{l}\eta _{1}^{4}-2{\sqrt {2}}\eta _{1}\eta _{2}^{3}={\dfrac {(R-c)R}{c'R'{}^{2}}}{\sqrt[{3}]{R}},\\2{\sqrt {2}}\eta _{1}^{3}\eta _{2}+\eta _{2}^{4}={\dfrac {(R-c)R}{c'{}^{2}R'{}^{2}}}{\sqrt[{3}]{R^{2}}},\\\eta _{1}^{6}+5{\sqrt {2}}\eta _{1}^{3}\eta _{2}^{3}-\eta _{2}^{6}={\dfrac {(R-c)^{2}R^{2}}{c'{}^{2}R'{}^{3}}}.\end{array}}\right\}$

(51)

Положивъ въ формулахъ (51):

${\frac {\eta _{1}}{\eta _{2}}}=u,$

‎находимъ:

$\left.{\begin{array}{l}1-{\dfrac {2{\sqrt {2}}}{u^{3}}}={\dfrac {(R-c)R}{c'R'{}^{2}\eta _{1}^{4}}}{\sqrt[{3}]{R}},\\1+{\dfrac {5{\sqrt {2}}}{u^{3}}}-{\dfrac {1}{u^{6}}}={\dfrac {(R-c)^{2}R^{2}}{c'{}^{2}R'{}^{3}\eta _{1}^{6}}}.\end{array}}\right\}$

(52)

‎Исключимъ $u$ изъ уравненій (52):

${\begin{matrix}\eta _{1}^{8}-{\dfrac {2}{3}}{\dfrac {(R-c)R}{c'R'{}^{2}}}{\sqrt[{3}]{R}}\eta _{1}^{4}-{\dfrac {8}{27}}{\dfrac {(R-c)^{2}R^{2}}{c'{}^{2}R'{}^{3}}}\eta _{1}^{2}\,-\\-\,{\dfrac {1}{27}}{\dfrac {(R-c)^{2}R^{2}}{c'{}^{2}R'{}^{4}}}{\sqrt[{3}]{R^{2}}}=0.\end{matrix}}$

(53)

‎Освободивъ это уравненіе отъ радикаловъ и опуская индексъ 1 при $\eta _{1}$, находимъ:

${\begin{matrix}\left(\eta ^{8}-{\dfrac {2^{2}}{3^{2}}}{\dfrac {(R-c)^{2}R^{2}}{c'{}^{2}R'{}^{3}}}\eta ^{2}\right)^{3}-{\dfrac {2^{3}}{3^{3}}}{\dfrac {(R-c)^{3}R^{4}}{c'{}^{3}R'{}^{6}}}\eta ^{12}\,-\\-\,{\dfrac {2}{3^{3}}}\left(\eta ^{8}-{\dfrac {2^{3}}{3^{3}}}{\dfrac {(R-c)^{2}R^{2}}{c'{}^{2}R'{}^{3}}}\eta ^{2}\right){\dfrac {(R-c)^{3}R^{4}}{c'{}^{3}R'{}^{6}}}\eta ^{4}-{\dfrac {1}{3^{9}}}{\dfrac {(R-c)^{6}R^{8}}{c'{}^{6}R'{}^{12}}}=0.\end{matrix}}$

(54)

‎Это—уравненіе, соотвѣтствующее первичной формѣ:

$f(\eta _{1},\;\eta _{2})=\eta _{1}^{4}-2{\sqrt {2}}\eta _{1}\eta _{2}^{3}.$

‎Оно, какъ и слѣдовало ожидать, содержитъ въ себѣ неизвѣстное $\eta$ только въ степеняхъ, кратныхъ 6. Свободный членъ его

$-{\dfrac {1}{3^{9}}}{\dfrac {(R-c)^{6}R^{8}}{c'{}^{6}R'{}^{12}}},$

‎какъ и должно быть, разнится отъ выраженія

$f^{6}(\eta _{1},\;\eta _{2})={\frac {(R-c)^{6}R^{8}}{c'{}^{6}R'{}^{12}}}$

‎только постояннымъ множителемъ: $-{\frac {1}{3^{9}}}.$

Подставивъ въ уравненіи (54) вмѣсто $c$ и $c'$ ихъ величины:

$c=-1,\ c'=1$

‎и положивъ:

${\frac {1}{c}}R(z)=z,$

‎находимъ:

${\begin{matrix}\eta ^{24}-{\dfrac {2^{3}}{3^{2}}}(1-z)^{2}z^{2}\eta ^{18}-{\dfrac {2}{3^{5}}}(32z+13)(1-z)^{3}z^{4}\eta ^{12}\,+\\+\,{\dfrac {2^{4}}{3^{9}}}(32z-5)(1-z)^{5}z^{6}\eta ^{6}-{\dfrac {1}{3^{9}}}(1-z)^{6}z^{8}=0.\end{matrix}}$

(55)

II. Уравненіе октаэдрическаго типа.

Возьмемъ октаэдрическія формы перваго нормальнаго вида:

$\left.{\begin{array}{l}f(\eta _{1},\;\eta _{2})=\eta _{1}^{5}\eta _{2}-\eta _{1}\eta _{2}^{5},\\H(\eta _{1},\;\eta _{2})=\eta _{1}^{8}+14\eta _{1}^{4}\eta _{2}^{4}+\eta _{2}^{8},\\T(\eta _{1},\;\eta _{2})=\eta _{1}^{12}-33\eta _{1}^{8}\eta _{2}^{4}-33\eta _{1}^{4}\eta _{2}^{8}+\eta _{2}^{12}.\end{array}}\right\}$

(56)

‎Вставивъ эти выраженія въ формулы (36), находимъ:

$\left.{\begin{array}{l}\eta _{1}^{5}\eta _{2}-\eta _{1}\eta _{2}^{5}={\dfrac {(R-c)R^{2}}{c'{\sqrt {c'}}R'{}^{3}}}{\sqrt {R-c}},\\\eta _{1}^{8}+14\eta _{1}^{4}\eta _{2}^{4}+\eta _{2}^{8}={\dfrac {(R-c)^{2}R^{3}}{c'{}^{2}R'{}^{4}}},\\\eta _{1}^{12}-33\eta _{1}^{8}\eta _{2}^{4}-33\eta _{1}^{4}\eta _{2}^{8}+\eta _{2}^{12}={\dfrac {(R-c)^{3}R^{4}}{c'{}^{3}{\sqrt {c'}}R'{}^{6}}}{\sqrt {R-c}}.\end{array}}\right\}$

(57)

Положивъ въ уравненіяхъ (57):

${\frac {\eta _{1}}{\eta _{2}}}=u,$

‎находимъ:

$\left.{\begin{array}{l}u^{8}+14u^{4}+1={\dfrac {(R-c)^{2}R^{3}}{c'{}^{2}R'{}^{4}\eta _{2}^{8}}},\\u^{12}-33u^{8}-33u^{4}+1={\dfrac {(R-c)^{3}R^{4}}{c'{}^{3}{\sqrt {c'}}R'{}^{6}\eta _{2}^{12}}}{\sqrt {R-c}}.\end{array}}\right\}$

(58)

‎Исключивъ $u$ изъ уравненій (58), находимъ:

${\begin{matrix}\eta _{2}^{24}-{\dfrac {5}{2\,.\,3}}{\dfrac {(R-c)^{2}R^{3}}{c'{}^{2}R'{}^{4}}}\eta _{2}^{16}-{\dfrac {5}{2^{4}}}{\dfrac {(R-c)^{3}R^{4}}{c'{}^{3}{\sqrt {c'}}R'{}^{6}}}{\sqrt {R-c}}\,\eta _{2}^{12}\,-\\-\,{\dfrac {3\,.\,5}{2^{8}}}{\dfrac {(R-c)^{4}R^{6}}{c'{}^{4}R'{}^{8}}}\eta _{2}^{8}-{\dfrac {1}{2^{8}}}{\dfrac {(R-c)^{5}R^{7}}{c'{}^{5}{\sqrt {c'}}R'{}^{10}}}{\sqrt {R-c}}\,\eta _{2}^{4}\,-\\-\,{\dfrac {1}{2^{10}\,.\,3^{3}}}{\dfrac {(R-c)^{6}R^{8}}{c'{}^{6}R'{}^{12}}}\left({\dfrac {R-c}{c'}}-R\right)=0.\end{matrix}}$

(59)

‎или, освобождая это уравненіе отъ радикаловъ и опустивъ индексъ 2 при $\eta _{2}$:

${\begin{matrix}\left\{\eta ^{24}-{\dfrac {5}{2\,.\,3}}{\dfrac {(R-c)^{2}R^{3}}{c'{}^{2}R'{}^{4}}}\eta ^{16}-{\dfrac {3\,.\,5}{2^{8}}}{\dfrac {(R-c)^{4}R^{6}}{c'{}^{4}R'{}^{8}}}\eta ^{8}\,-\right.\\\left.-\,{\dfrac {1}{2^{10}\,.\,3^{3}}}{\dfrac {(R-c)^{6}R^{8}}{c'{}^{6}R'{}^{12}}}\left({\dfrac {R-c}{c'}}-R\right)\right\}^{2}\,-\\-\,{\dfrac {5^{2}}{2^{8}}}\left\{\eta ^{8}-{\dfrac {1}{2^{4}\,.\,5}}{\dfrac {(R-c)^{2}R^{3}}{c'{}^{2}R'{}^{4}}}\right\}^{2}{\dfrac {(R-c)^{7}R^{8}}{c'{}^{7}R'{}^{12}}}\eta ^{8}=0.\end{matrix}}$

(60)

‎Таково уравненіе, соотвѣтствующее октаэдрической формѣ $f(\eta _{1},\;\eta _{2})$.

Подставивъ въ него значенія постоянныхъ:

$c=108,\ c'=1,$

‎и положивъ:

${\frac {1}{c}}R(z)=z,$

‎находимъ:

${\begin{matrix}\left\{\eta ^{24}-2\,.\,3^{2}\,.\,5(1-z)^{2}z^{3}\eta ^{16}-{\dfrac {3^{7}\,.\,5}{2^{4}}}(1-z)^{4}z^{6}\eta ^{8}+{\dfrac {3^{6}}{2^{4}}}(1-z)^{6}z^{8}\right\}^{2}\,+\\+\,{\dfrac {3^{9}\,.\,5^{2}}{2^{2}}}\left\{\eta ^{8}-{\dfrac {3^{3}}{2^{2}\,.\,5}}(1-z)^{2}z^{3}\right\}^{2}(1-z)^{7}z^{8}\eta ^{8}=0.\end{matrix}}$

(61)

III. Уравненіе икосаэдрическаго типа.

Возьмемъ нормальныя формы икосаэдрическаго типа:

$\left.{\begin{array}{l}f(\eta _{1},\;\eta _{2})=\eta _{1}\eta _{2}(\eta _{1}^{10}+11\eta _{1}^{5}\eta _{2}^{5}-\eta _{2}^{10}),\\H(\eta _{1},\;\eta _{2})=\eta _{1}^{20}-228\eta _{1}^{15}\eta _{2}^{5}+494\eta _{1}^{10}\eta _{2}^{10}\,+\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad +\,228\eta _{1}^{5}\eta _{2}^{15}+\eta _{2}^{20},\\T(\eta _{1},\;\eta _{2})=\eta _{1}^{30}+522\eta _{1}^{25}\eta _{2}^{5}-10005\eta _{1}^{20}\eta _{2}^{10}\,-\\\quad \quad \quad -\,10005\eta _{1}^{10}\eta _{2}^{20}-522\eta _{1}^{5}\eta _{2}^{25}+\eta _{2}^{30}.\end{array}}\right\}$

(62)

‎Мы могли бы составить уравненіе, соотвѣтствующее первичной формѣ $f(\eta _{1},\;\eta _{2})$, пользуясь тѣмъ же пріемомъ, который мы примѣнили въ предшествующихъ двухъ случаяхъ; но исключеніе перемѣннаго

$u={\frac {\eta _{1}}{\eta _{2}}}$

‎въ данномъ случаѣ представляло бы весьма большія механическія затрудненія.

Будетъ нѣсколько короче воспользоваться общимъ пріемомъ, указаннымъ въ началѣ настоящаго параграфа.

Индексъ первичной формы $f(\eta _{1},\;\eta _{2})$ икосаэдрическаго типа равенъ 10; поэтому искомое уравненіе будетъ такого вида:

$\eta ^{120}+A_{10}\eta ^{110}+A_{20}\eta ^{100}+\ldots +A_{110}\eta ^{10}+A_{120}=0.$

(63)

Выразивъ коэффиціенты этого уравненія въ видѣ однородныхъ формъ съ аргументами $\eta _{1},\ \eta _{2}$, мы можемъ сказать, что коэффиціентъ

$A_{10k}(\eta _{1},\;\eta _{2})$

‎представляется въ такомъ видѣ:

${\begin{matrix}A_{10k}(\eta _{1},\;\eta _{2})=\Phi [f^{5}(\eta _{1},\;\eta _{2}),\;H^{3}(\eta _{1},\;\eta _{2})]\,\times \\\,\times f^{m_{1}}(\eta _{1},\;\eta _{2})H^{m_{2}}(\eta _{1},\;\eta _{2})T^{m_{3}}(\eta _{1},\;\eta _{2}),\end{matrix}}$

(64)

‎при чемъ показатели $m_{1},\ m_{2},\ m_{3}$, и степень $s$ формы $\Phi$ связаны между собою неопредѣленнымъ уравненіемъ:

$10k=60s+12m_{1}+20m_{2}+30m_{3},$

(65)

‎откуда:

$k=6s+{\frac {6}{5}}m_{1}+2m_{2}+3m_{3}.$

(66)

‎Изъ этого уравненія слѣдуетъ, что число $m_{1}$ дѣлится на 5. Такъ какъ мы, кромѣ того, знаемъ, что $m_{1}$ должно быть меньше 5, то число это, необходимо, равно 0.

Итакъ:

${\begin{matrix}m_{1}=0,\\k=6s+2m_{2}+3m_{3}.\end{matrix}}$

(67)

‎Неопредѣленное уравненіе (67) при всѣхъ значеніяхъ $k$ отъ $k=1$ до $k=11$ допускаетъ только по одной системѣ цѣлыхъ положительныхъ рѣшеній. Рѣшивъ эти уравненія, находимъ слѣдующія выраженія коэффиціентовъ $A_{10k}(\eta _{1},\;\eta _{2})$:

$\left.{\begin{array}{l}A_{10}=0,\ A_{20}=p_{2}H(\eta _{1},\;\eta _{2}),\ A_{30}=p_{3}T(\eta _{1},\;\eta _{2}),\\A_{40}=p_{4}H^{2}(\eta _{1},\;\eta _{2}),\ A_{50}=p_{5}H(\eta _{1},\;\eta _{2})T(\eta _{1},\;\eta _{2}),\\A_{60}=p_{6}f^{5}(\eta _{1},\;\eta _{2})+q_{6}H^{3}(\eta _{1},\;\eta _{2}),\\A_{70}=p_{7}H^{2}(\eta _{1},\;\eta _{2})T(\eta _{1},\;\eta _{2}),\\A_{80}=p_{8}f^{5}(\eta _{1},\;\eta _{2})+q_{8}H^{3}(\eta _{1},\;\eta _{2})H(\eta _{1},\;\eta _{2}),\\A_{90}=p_{9}f^{5}(\eta _{1},\;\eta _{2})+q_{9}H^{3}(\eta _{1},\;\eta _{2})T(\eta _{1},\;\eta _{2}),\\A_{100}=p_{10}f^{5}(\eta _{1},\;\eta _{2})+q_{10}H^{3}(\eta _{1},\;\eta _{2})H^{2}(\eta _{1},\;\eta _{2}),\\A_{110}=p_{11}f^{5}(\eta _{1},\;\eta _{2})+q_{11}H^{3}(\eta _{1},\;\eta _{2})H(\eta _{1},\;\eta _{2})T(\eta _{1},\;\eta _{2}),\end{array}}\right\}$

(68)

‎гдѣ $p_{2},\ p_{3},\ldots \ p_{11},\ q_{6},\ q_{8},\ q_{9},\ldots \ q_{11}$ суть нѣкоторые пока намъ не извѣстные постоянные коэффиціенты.

Коэффиціентъ $A_{120}$, какъ мы знаемъ, разнится отъ $f^{10}(\eta _{1},\;\eta _{2})$ только нѣкоторымъ постояннымъ множителемъ:

$A_{120}=q_{12}f^{10}(\eta _{1},\;\eta _{2}).$

(69)

‎Для опредѣленія постоянныхъ $p_{2},\ p_{3},\ldots \ p_{11},\ q_{6},\ q_{8},\ldots \ q_{12}$ мы могли бы подставить выраженія коэффиціентовъ (68) и (69) въ уравненіе (63) и примѣнить общій пріемъ, указанный выше.

Такой способъ, несомнѣнно, привелъ бы къ цѣли, но потребовалъ бы громадныхъ ариѳметическихъ вычисленій.

Можно нѣсколько упростить эти вычисленія, пользуясь слѣдующими соображеніями^[4].

Въ § 20 мы нашли основныя подстановки икосаэдрической группы бинарныхъ линейныхъ подстановокъ. Тѣмъ же способомъ можно найти всѣ подстановки этой группы.

Обозначивъ черезъ $\upsilon$ бинарную подстановку:

$\upsilon ={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},$

(70)

‎соотвѣтствующую неоднородной подстановкѣ:

$U(u)=-{\frac {1}{u}},$

‎мы можемъ изобразить бинарныя подстановки нормальной икосаэдрической группы такими символическими формулами:

$\left.{\begin{array}{l}\sigma ^{k},\ \sigma ^{k}\upsilon ,\ \sigma ^{k}\tau \sigma ^{h},\ \sigma ^{k}\tau \sigma ^{k}\upsilon ,\\{\text{гдѣ }}k=0,\ 1,\ldots \ 9,\\{\phantom {\text{гдѣ }}}h=0,\ 1,\ldots \ 4.\end{array}}\right\}$[5]

(71)

‎Если $\eta _{1}$ есть корень уравненія (63), то тому же уравненію удовлетворитъ функція$-\eta _{2}$: это слѣдуетъ изъ того, что въ группу (71) разсматриваемаго уравненія входитъ подстановка $\upsilon$:

$\left.{\begin{matrix}{\bar {\eta }}_{1}=-\eta _{2},\\{\bar {\eta }}_{2}=\eta _{1}.\end{matrix}}\right\}$

(70')

‎Примѣняя къ величинамъ $\eta _{1},\ -\eta _{2}$ подстановки группы (71), находимъ всѣ корни уравненія (63), выраженныя въ видѣ линейныхъ функцій отъ $\eta _{1},\ \eta _{2}$.

Десятыя степени корней изобразятся формулами:

$\left.{\begin{matrix}\eta _{1}^{10},\ \eta _{2}^{10},\ \left({\dfrac {\varepsilon -\varepsilon ^{4}}{\sqrt {5}}}\varepsilon ^{h}\eta _{1}-{\dfrac {\varepsilon ^{2}-\varepsilon ^{3}}{\sqrt {5}}}\eta _{2}\right)^{10},\\\left({\dfrac {\varepsilon ^{2}-\varepsilon ^{3}}{\sqrt {5}}}\varepsilon ^{h}\eta _{1}+{\dfrac {\varepsilon -\varepsilon ^{4}}{\sqrt {5}}}\eta _{2}\right)^{10},\\{\text{гдѣ }}h=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{5}}.\end{matrix}}\right\}$

(72)

‎Уравненіе (63) представится въ такомъ видѣ:

${\begin{matrix}(\eta ^{10}-\eta _{1}^{10})(\eta ^{10}-\eta _{2}^{10}){\overset {h=4}{\underset {h=0}{P}}}\left\{\eta ^{10}-\left({\dfrac {\varepsilon -\varepsilon ^{4}}{\sqrt {5}}}\varepsilon ^{h}\eta _{1}-{\dfrac {\varepsilon ^{2}-\varepsilon ^{3}}{\sqrt {5}}}\eta _{2}\right)^{10}\right\}\,\times \\\times \,\left\{\eta ^{10}-\left({\dfrac {\varepsilon ^{2}-\varepsilon ^{3}}{\sqrt {5}}}\varepsilon ^{h}\eta _{1}+{\dfrac {\varepsilon -\varepsilon ^{4}}{\sqrt {5}}}\eta _{2}\right)^{10}\right\}=0.\end{matrix}}$

(73)

‎Представивъ уравненіе (63) въ видѣ (73), мы можемъ вычислить симметрическія функціи $s_{10},\ s_{20},\ s_{30}\ldots$ его корней, а затѣмъ и коэффиціенты уравненія (63). Эти коэффиціенты представляются въ видѣ однородныхъ формъ съ аргументами $\eta _{1},\ \eta _{2}$ и должны быть тождественны съ найденными выше выраженіями (68) этихъ коэффиціентовъ.

Сравнивая полученныя два выраженія каждаго изъ коэффиціентовъ $A_{10k}$, мы опредѣлимъ величины постоянныхъ, входящихъ въ формулы (68). Само собою ясно, что находя выраженія формъ $A_{10k}(\eta _{1},\;\eta _{2})$ изъ уравненія (73), мы можемъ ограничиваться вычисленіемъ одного или двухъ старшихъ коэффиціентовъ этихъ формъ.

Приведемъ величины нѣсколькихъ изъ коэффиціентовъ, найденныхъ этимъ способомъ:

$\left.{\begin{matrix}p_{2}=-{\dfrac {14}{5^{2}}},\ p_{3}=-{\dfrac {41}{5^{3}}},\ p_{5}=-{\dfrac {293}{5^{5}}},\ p_{6}=-{\dfrac {254}{5^{6}}},\\p_{6}=-{\dfrac {718}{5^{8}}},\ p_{7}=-{\dfrac {271}{5^{9}}},\ldots ,\ p_{11}=-{\dfrac {1}{5^{25}}},\ldots ,\\q_{12}={\dfrac {1}{5^{25}}}.\end{matrix}}\right\}$

(74)

‎Всѣхъ коэффиціентовъ мы не вычисляемъ потому, что уравненіе (63) по своей высокой степени и сложности коэффиціентовъ можетъ имѣть исключительно теоретическій интересъ.

Вставивъ въ формулы (68) вмѣсто $f(\eta _{1},\;\eta _{2}),\ H(\eta _{1},\;\eta _{2}),\ T(\eta _{1},\;\eta _{2})$ выраженія (37) этихъ первичныхъ формъ черезъ независимое перемѣнное $z$, и внеся затѣмъ полученныя выраженія коэффиціентовъ въ уравненіе (63), найдемъ:

${\begin{matrix}\eta ^{120}+p_{2}{\dfrac {(R-c)^{5}R^{7}}{c'{}^{5}R'{}^{10}}}\eta ^{100}+p_{3}{\dfrac {(R-c)^{8}R^{10}}{c'{}^{8}R'{}^{15}}}\eta ^{90}\,+\\+\,p_{4}{\dfrac {(R-c)^{10}R^{14}}{c'{}^{10}R'{}^{20}}}\eta ^{80}+p_{5}{\dfrac {(R-c)^{13}R^{17}}{c'{}^{13}R'{}^{25}}}\eta ^{70}\,+\\+\,{\dfrac {(R-c)^{15}R^{20}}{c'{}^{15}R'{}^{30}}}(p_{6}+Rq_{6})\eta ^{60}+p_{7}{\dfrac {(R-c)^{18}R^{24}}{c'{}^{18}R'{}^{35}}}\eta ^{50}\,+\\+\,{\dfrac {(R-c)^{20}R^{27}}{c'{}^{20}R'{}^{40}}}(p_{8}+Rq_{8})\eta ^{40}+{\dfrac {(R-c)^{23}R^{30}}{c'{}^{23}R'{}^{45}}}(p_{9}+Rq_{9})\eta ^{30}\,+\\+\,{\dfrac {(R-c)^{25}R^{34}}{c'{}^{25}R'{}^{50}}}(p_{10}+Rq_{10})\eta ^{20}+{\dfrac {(R-c)^{28}R^{37}}{c'{}^{28}R'{}^{55}}}(p_{11}+Rq_{11})\eta ^{10}\,+\\+\,q_{12}{\dfrac {(R-c)^{30}R^{40}}{c'{}^{30}R'{}^{60}}}=0.\end{matrix}}$

(75)

Подставивъ вмѣсто $c$ и $c'$ величины этихъ постоянныхъ:

$c=-12^{3},\ c'=1,$

‎и положивъ:

${\frac {1}{c}}R(z)=z,$

‎находимъ:

${\begin{matrix}\eta ^{120}+12^{6}p_{2}(1-z)^{5}z^{7}\eta ^{100}+12^{9}p_{3}(1-z)^{8}z^{10}\eta ^{90}\,+\\+\,12^{12}p_{4}(1-z)^{10}z^{14}\eta ^{80}+12^{15}p_{5}(1-z)^{13}z^{17}\eta ^{70}\,+\\+\,12^{15}(p_{6}-12^{3}zq_{6})(1-z)^{15}z^{20}\eta ^{60}+12^{21}p_{7}(1-z)^{18}z^{24}\eta ^{50}\,+\\+\,12^{21}(p_{8}-12^{3}zq_{8})(1-z)^{20}z^{27}\eta ^{40}\,+\\+\,12^{24}(p_{9}-12^{3}zq_{9})(1-z)^{23}z^{30}\eta ^{30}\,+\\+\,12^{27}(p_{10}-12^{3}zq_{10})(1-z)^{25}z^{34}\eta ^{20}\,+\\+\,12^{30}(p_{11}-12^{3}zq_{11})(1-z)^{28}z^{37}\eta ^{10}+12^{30}(1-z)^{30}z^{40}=0.\end{matrix}}$

(76)

‎§ 37. Алгебраическія уравненія, имѣющія корнями частные интегралы гипергеометрическихъ дифференціальныхъ уравненій.

Мы видѣли въ § 34, что преобразуя уравненіе

$F(\eta ,\;z)=0$

(8)

‎подстановкой:

$\eta ={\frac {1}{k}}z^{\frac {1}{3}}(1-z)^{\frac {1}{4}}y,$

(22)

‎мы получаемъ новое алгебраическое уравненіе, имѣющее корнями частные интегралы гипергеометрическаго уравненія.

Выполнимъ эти преобразованія для уравненій, найденныхъ въ предыдущемъ параграфѣ.

I. Уравненіе тетраэдрическаго типа.

Положивъ въ формулѣ (22):

$k=1$

‎и совершивъ затѣмъ подстановку (22) въ уравненіи (55), находимъ:

${\begin{matrix}y^{24}+{\dfrac {2^{3}}{3^{2}}}{\sqrt {1-z}}y^{18}-{\dfrac {2}{3^{5}}}(32z+13)y^{12}\,+\\+\,{\dfrac {2^{4}}{3^{9}}}(32z-5){\sqrt {1-z}}y^{6}-{\dfrac {1}{3^{9}}}=0.\end{matrix}}$

(77)

‎Освободивъ это уравненіе отъ радикаловъ, находимъ:

${\begin{matrix}\left\{y^{24}-{\dfrac {2}{3^{5}}}(32z+13)y^{12}-{\dfrac {1}{3^{9}}}\right\}^{2}\,-\\-\,{\dfrac {2^{6}}{3^{4}}}\left\{y^{12}+{\dfrac {2}{3^{7}}}(32z-5)\right\}^{2}(1-z)y^{12}=0.\end{matrix}}$

(78)

‎Всѣ корни этого уравненія, какъ мы знаемъ, суть частные интегралы гипергеометрическаго уравненія (16), въ которомъ параметры $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ таковы:

$\alpha ={\frac {1}{4}},\ \beta =-{\frac {1}{12}},\ \gamma ={\frac {2}{3}}.$

(79)

‎Иными словами, корни уравненія (78) суть частные интегралы гипергеометрическаго уравненія:

$z(1-z){\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+{\frac {1}{6}}(4-7z){\frac {dy}{dz}}+{\frac {1}{48}}y=0.$

(80)

‎Изъ формулъ (48) главы III слѣдуетъ, что существуетъ два частныхъ интеграла $y_{5},\ y_{6}$ уравненія (80), которые въ области безконечно удаленной точки могутъ быть изображены формулами:

$\left.{\begin{array}{l}y_{5}=z^{-{\frac {1}{4}}}F\left({\dfrac {1}{4}},\;{\dfrac {7}{12}},\;{\dfrac {4}{3}},\;{\dfrac {1}{z}}\right),\\y_{6}=z^{\frac {1}{12}}F\left(-{\dfrac {1}{12}},\;{\dfrac {1}{4}},\;{\dfrac {2}{3}},\;{\dfrac {1}{z}}\right).\end{array}}\right\}$

(81)

‎Всякій интегралъ уравненія (80) и, вслѣдствіе этого, всякій корень уравненія (78) могутъ быть представлены въ видѣ линейной функціи отъ $y_{5}$ и $y_{5}$:

$y=Ay_{5}+By_{6}.$

(82)

‎Одинъ изъ корней уравненія (80) въ области точки $z=\infty$ разлагается въ рядъ вида:

$y={\frac {e^{\frac {\pi i}{12}}}{2{\sqrt {2}}}}z^{-{\frac {1}{4}}}+\ldots$

(83)

‎Этотъ корень при $z=\infty$ обращается въ 0 и можетъ выражаться формулою (82) только въ такомъ случаѣ, если

$A={\frac {e^{\frac {\pi i}{12}}}{2{\sqrt {2}}}},\ B=0.$

(84)

‎Итакъ, одинъ изъ корней уравненія (78) въ области III (см. черт. 2) изображается формулою:

$y={\frac {e^{\frac {\pi i}{12}}}{2{\sqrt {2}}}}F\left({\dfrac {1}{4}},\;{\dfrac {7}{12}},\;{\dfrac {4}{3}},\;{\dfrac {1}{z}}\right)z^{-{\frac {1}{4}}}.$

(85)

‎Остальные корни суть другія значенія той же самой многозначной функціи, имѣющей 48 значеній какъ видно изъ уравненія (78).

Выраженія этихъ остальныхъ корней въ области III и выраженія всѣхъ корней въ области I найдутся изъ формулы (85) примѣненіемъ общихъ формулъ теоріи гипергеометрическихъ функцій^[6].

На этихъ вычисленіяхъ мы не будемъ останавливаться.

II. Уравненіе октаэдрическаго типа.

Выполнимъ такія же вычисленія для уравненія (61) октаэдрическаго типа. ‎Совершимъ въ уравненіи (61) подстановку:

$\eta ={\frac {1}{k}}z^{\frac {1}{3}}(1-z)^{\frac {1}{4}}y,$

(22)

‎положивъ при этомъ

$k=1.$

‎Въ результатѣ находимъ:

${\begin{matrix}\left(y^{24}-2\,.\,3^{2}\,.\,5z^{\frac {1}{3}}y^{16}-{\dfrac {3^{7}\,.\,5}{2^{4}}}z^{\frac {2}{3}}y^{8}+{\dfrac {3^{6}}{2^{4}}}\right)^{2}\,+\\+\,{\dfrac {3^{9}\,.\,5^{2}}{2^{2}}}\left(y^{8}-{\dfrac {3^{3}}{2^{2}\,.\,5}}z^{\frac {1}{3}}\right)^{2}(1-z)y^{8}=0.\end{matrix}}$

(86)

‎Освободивъ это уравненіе отъ радикаловъ, находимъ:

${\begin{matrix}\left\{\left(y^{24}+{\dfrac {3^{6}}{2^{4}}}\right)^{3}-2^{3}\,.\,3^{6}\,.\,5^{3}zy^{48}-{\dfrac {3^{21}\,.\,5^{3}}{2^{12}}}z^{2}y^{24}\,-\right.\\\left.-\,{\dfrac {3^{10}\,.\,5^{2}}{2^{3}}}z\left(y^{24}+{\dfrac {3^{6}}{2^{4}}}\right)y^{24}\right\}^{2}+{\dfrac {3^{27}\,.\,5^{6}}{2^{6}}}\left(y^{24}-{\dfrac {3^{9}}{2^{6}\,.\,5^{3}}}z\right)^{2}(1-z)^{3}y^{24}=0.\end{matrix}}$

(87)

‎Корни этого уравненія суть частные интегралы гипергеометрическаго уравненія (16), въ которомъ параметры $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ таковы:

$\alpha ={\frac {5}{24}},\ \beta =-{\frac {1}{24}},\ \gamma ={\frac {2}{3}},$

(88)

‎т. е. корни уравненія (87) суть частные интегралы гипергеометрическаго уравненія:

$z(1-z){\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+{\frac {1}{6}}(4-7z){\frac {dy}{dz}}+{\frac {5}{576}}y=0.$

(89)

‎Изъ формулъ (48) главы III слѣдуетъ, что два частныхъ интеграла $y_{5},\ y_{6}$ уравненія (89) въ области III (черт. 2) изображаются формулами:

$\left.{\begin{array}{l}y_{5}=z^{-{\frac {5}{24}}}F\left({\dfrac {5}{24}},\;{\dfrac {13}{24}},\;{\dfrac {5}{4}},\;{\dfrac {1}{z}}\right),\\y_{6}=z^{\frac {1}{24}}F\left(-{\dfrac {1}{24}},\;{\dfrac {7}{24}},\;{\dfrac {3}{4}},\;{\dfrac {1}{z}}\right).\end{array}}\right\}$

(90)

‎Всякій частный интегралъ уравненія (89) изобразится формулою вида:

$y=Ay_{5}+By_{6},$

(91)

‎гдѣ $A$ и $B$ суть постоянныя.

Одинъ изъ корней уравненія (87) въ области точки $z=\infty$ разлагается въ рядъ вида:

$y={\frac {2^{\frac {1}{4}}}{3^{\frac {9}{8}}}}z^{-{\frac {5}{24}}}+\ldots$

(92)

‎Эта функція при $z=\infty$ обращается въ 0 и только въ томъ случаѣ можетъ быть изображена формулою (91), если:

$A={\frac {2^{\frac {1}{4}}}{3^{\frac {9}{8}}}},\ B=0.$

‎Итакъ, одинъ изъ корней уравненія (87) въ области III изображается формулою:

$y={\frac {2^{\frac {1}{4}}}{3^{\frac {9}{8}}}}F\left({\dfrac {5}{24}},\;{\dfrac {13}{24}},\;{\dfrac {5}{4}},\;{\dfrac {1}{z}}\right)z^{-{\frac {5}{24}}}.$

(93)

‎Остальные корни уравненія (87) выразятся другими значеніями той же многозначной функціи. Число всѣхъ значеній этой функціи равно 144, какъ видно изъ уравненія (87).

III. Уравненіе икосаэдрическаго типа.

Совершимъ ту же подстановку:

$\eta ={\frac {1}{k}}z^{\frac {1}{3}}(1-z)^{\frac {1}{4}}y$

(22)

‎въ уравненіи икосаэдрическаго типа (76) и примемъ

$k=12^{\frac {3}{10}}.$

‎Выполнивъ эту подстановку, находимъ:

${\begin{matrix}y^{120}+p_{2}{\sqrt[{3}]{z}}\,y^{100}+p_{3}{\sqrt {1-z}}\,y^{90}+p_{4}{\sqrt[{3}]{z^{2}}}\,y^{80}+p_{5}{\sqrt {1-z}}{\sqrt[{3}]{z}}\,y^{70}\,+\\+\,{\dfrac {1}{12^{3}}}(p_{6}-12^{3}q_{6}z)y^{60}+p_{7}{\sqrt {1-z}}{\sqrt[{3}]{z^{2}}}\,y^{50}\,+\\+\,{\dfrac {1}{12^{3}}}(p_{8}-12^{3}q_{8}z){\sqrt[{3}]{z^{2}}}\,y^{40}+{\dfrac {1}{12^{3}}}(p_{9}-12^{3}q_{9}z){\sqrt {1-z}}\,y^{30}\,+\\+\,{\dfrac {1}{12^{3}}}(p_{10}-12^{3}q_{10}z){\sqrt {1-z}}{\sqrt[{3}]{z}}\,y^{20}\,+\\+\,{\dfrac {1}{12^{3}}}(p_{11}-12^{3}q_{11}z){\sqrt {1-z}}{\sqrt[{3}]{z}}\,y^{10}+{\dfrac {1}{12^{6}}}=0.\end{matrix}}$

‎Освободивъ это уравненіе отъ радикаловъ, мы получили бы уравненіе 720-ой степени весьма сложное по своему виду.

Корни уравненія (94) суть частные интегралы гипергеометрическаго уравненія (16), въ которомъ:

$\alpha ={\frac {11}{60}},\ \beta =-{\frac {1}{60}},\ \gamma ={\frac {2}{3}},$

(95)

‎т. е. корни уравненія (94) суть частные интегралы уравненія:

$z(1-z){\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+{\frac {1}{6}}(4-7z){\frac {dy}{dz}}+{\frac {11}{3600}}y=0.$

(96)

‎Это уравненіе имѣетъ два линейно независимыхъ частныхъ интеграла $y_{5},\ y_{6}$, которые въ области III (черт. 2) изображаются формулами

$\left.{\begin{array}{l}y_{5}=z^{-{\frac {11}{60}}}F\left({\dfrac {11}{60}},\;{\dfrac {31}{60}},\;{\dfrac {6}{5}},\;{\dfrac {1}{z}}\right),\\y_{6}=z^{\frac {1}{60}}F\left(-{\dfrac {1}{60}},\;{\dfrac {19}{60}},\;{\dfrac {4}{5}},\;{\dfrac {1}{z}}\right).\end{array}}\right\}$

(97)

‎Всякій интегралъ уравненія (96) изобразится формулою вида:

$y=Ay_{5}+By_{6},$

(98)

‎гдѣ $A$ и $B$ суть нѣкоторыя постоянныя.

Въ области точки $z=\infty$ одинъ изъ корней уравненія (94) разлагается въ рядъ вида:

$y={\frac {e^{\frac {\pi i}{40}}}{12^{\frac {3}{5}}q_{11}^{\frac {1}{10}}}}z^{-{\frac {11}{60}}}+\ldots$

(99)

‎Эта функція при $z=\infty$ обращается въ 0 и можетъ изображаться формулою (98) только при условіи:

$A={\frac {e^{\frac {\pi i}{40}}}{12^{\frac {3}{5}}q_{11}^{\frac {1}{10}}}},\ B=0.$

‎Итакъ, одинъ изъ корней уравненія (94) въ области III изображается формулою:

$y={\frac {e^{\frac {\pi i}{40}}}{12^{\frac {3}{5}}q_{11}^{\frac {1}{10}}}}F\left({\dfrac {11}{60}},\;{\dfrac {31}{60}},\;{\dfrac {6}{5}},\;{\dfrac {1}{z}}\right)z^{-{\frac {11}{60}}}.$

(100)

‎Остальные корни того же уравненія изобразятся другими значеніями той же функціи. Всего функція (100) должна имѣть 720 значеній.

---

Этимъ мы закончимъ изученіе свойствъ и видовъ уравненій разсмотрѣннаго нами класса уравненій и перейдемъ къ постановкѣ общей задачи о видахъ и рѣшеніяхъ алгебраическихъ уравненій, разрѣшимыхъ въ гипергеометрическихъ функціяхъ.

---

Сноски

1. См. формулы (106) и (107) главы I.
2. См. формулы (19) и (75) главы II.
3. См. формулы (71) главы II.
4. Этотъ способъ предложенъ Фуксомъ въ его второмъ мемуарѣ: Ueber linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, welche algebraische Integrale besitzen und eine neue Anwendung der Invariantentheorie. Crelles Journal. Bd. 85.
   ‎Онъ значительно проще непосредственнаго сравненія коэффиціентовъ, хотя тоже требуетъ вычисленій очень утомительныхъ. Фуксъ, указавъ на пріемъ, однако не вычислилъ ни одного изъ коэффиціентовъ уравненія.
5. Сравн. формулы (58), главы IV.
6. См. Тихомандритскій. О гипергеометрическихъ рядахъ. Стр. 53—57.