Алгебраические уравнения, разрешимые в гипергеометрических функциях (Лахтин)/Глава VI/ДО

Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ — Глава VI. Инваріантныя свойства первичныхъ формъ $f(y',\ y'')$, $H(y',\ y'')$, $T(y',\ y'')$. Соотношенія между первичными функціями различныхъ типовъ
авторъ Л. К. Лахтинъ

Опубл.: 1893 год.

§ 26. Коваріантъ $(f,\ f)^{4}$ первичной формы наинисшей степени $f(y',\ y'')$  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

788

§ 27. Выраженіе формы, инваріантной по отношенію къ бинарнымъ линейнымъ подстановкамъ конечной группы, черезъ первичныя формы: $f(y',\ y'')$, $H(y',\ y'')$, $T(y',\ y'')$  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

796

§ 28. Тождества, связывающія между собою первичныя функціи $f(u)$, $H(u)$, $T(u)$ различныхъ типовъ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

804

---

Глава VI.

Инваріантныя свойства первичныхъ формъ $f(y',\;y'')$, $H(y',\;y'')$, $T(y',\;y'')$. Соотношенія между первичными функціями различныхъ типовъ.

§ 26. Коваріантъ $(f,\;f)^{4}$ первичной формы наинисшей степени $f(y',\;y'')$.

Слѣдуя обозначеніямъ, обычнымъ въ теоріи формъ, будемъ подразумѣвать подъ символомъ:

$(f,\;f)^{4}$

‎коваріантъ втораго порядка формы $f(y',\;y'')$:

$2\left\{{\frac {\partial ^{4}f}{\partial y'^{\,4}}}{\frac {\partial ^{4}f}{\partial y''^{\,4}}}-4{\frac {\partial ^{4}f}{\partial y'^{\,3}\partial y''}}{\frac {\partial ^{4}f}{\partial y'\partial y''^{\,3}}}+3\left({\frac {\partial ^{4}f}{\partial y'^{\,2}y''^{\,2}}}\right)^{2}\right\}.$

(1)

‎Составимъ коваріантъ для первичныхъ формъ $f(y',\;y'')$ тетраэдрическаго, октаэдрическаго и икосаэдрическаго типовъ^[1].

Формы $f(y',\;y'')$ одного и того же типа эквивалентны между собою; поэтому выраженія коваріанта $(f,\;f)^{4}$ для формъ $f(y',\;y'')$ одного и того же типа разнятся между собою лишь нѣкоторою (четвертою) степенью опредѣлителей линейныхъ подстановокъ.

Мы возьмемъ формы $f(y',\;y'')$ въ нормальныхъ видахъ:

$f'_{\text{т}}(y',\;y'')=y'^{\,4}-2{\sqrt {2}}y'y''^{\,3},$

(2)

$f_{\text{о}}(y',\;y'')=y'y''(y'^{\,4}-y''^{\,4}),$

(3)

$f_{\text{и}}(y',\;y'')=y'y''(y'^{\,10}+11y'^{\,5}y''^{\,5}-y''^{\,10}).$

(4)

‎Найдя коваріантъ $(f,\;f)^{4}$ для формъ (2), (3), (4) по формулѣ (1), мы убѣждаемся въ томъ, что онъ тождественно равенъ нулю.

Если такъ, то мы можемъ утверждать, что коваріантъ $(f,\;f)^{4}$ тождественно равенъ нулю и для всѣхъ формъ, эквивалентныхъ формамъ (2), (3), (4).

Отсюда слѣдуетъ:

Теорема 1. Коваріантъ $(f,\;f)^{4}$ для всякой первичной формы наинисшей степени $f(y',\;y'')$ тождественно равенъ нулю.

Докажемъ, что имѣетъ мѣсто:

Теорема 2 (обратная). Если форма $f(y',\;y'')$ не имѣетъ кратныхъ корней и коваріантъ ея $(f,\;f)^{4}$ тождественно равенъ нулю, то она есть первичная форма наинисшей степени^[2].

Пусть форма:

$f(y',\;y'')={\overset {k=\nu }{\underset {k=0}{\mathrm {S} }}}(\nu )_{k}a_{k}y'^{\,\nu -k}y''^{\,k}$[3], гдѣ $\nu \geqq 4,$

(5)

‎не имѣетъ кратныхъ корней и пусть имѣетъ мѣсто тождество:

$(f,\;f)^{4}=0.$

(6)

Замѣтимъ прежде всего, что всякую бинарную форму, не имѣющую кратныхъ корней, линейной подстановкой можно преобразовать такъ, чтобы

$a_{0}=a_{2}=0,\ a_{1}=1.$

(7)

‎Мы будемъ предполагать, что форма (5) уже приведена къ такому виду.

Выраженіе коваріанта $(f,\;f)^{4}$ для формы (5) въ раскрытомъ видѣ таково:

${\begin{matrix}(f,\;f)^{4}=2[\nu (\nu -1)(\nu -2)(\nu -3)]^{2}\times \\\times \,{\overset {k=\nu -4}{\underset {k=0}{\mathrm {S} }}}\;{\overset {h=\nu -4}{\underset {h=0}{\mathrm {S} }}}(\nu -4)_{k}(\nu -4)_{h}\left\{a_{k}a_{h+4}-4a_{k+1}a_{h+3}+3a_{k+2}a_{h+2}\right\}\times \\\times \,y'^{\,2\nu -k-h-8}y''^{\,k+h}.\end{matrix}}$

(8)

‎Вводимъ вмѣсто $h$ новый индексъ суммованія

$l=k+h\colon$

${\begin{matrix}(f,\;f)^{4}=2[\nu (\nu -1)(\nu -2)(\nu -3)]^{2}\times \\\times \,{\overset {l=2\nu -8}{\underset {l=0}{\mathrm {S} }}}y'^{\,\nu -l-8}y''^{\,l}{\overset {k=l,\;\nu -4}{\underset {k=0,\;l-(\nu -4)}{\mathrm {S} }}}(\nu -4)_{k}(\nu -4)_{l-k}\times \\\times \,\left\{a_{k}a_{l-k+4}-4a_{k+1}a_{l-k+3}+3a_{k+2}a_{l-k+2}\right\}.\end{matrix}}$

(9)

‎Во второй суммѣ формулы (9) предѣлами служатъ:

0 и $l$, если $l\leqq \nu -4,$

‎или:

$l-(\nu -4)$ и $\nu -4$, если $l\geqq \nu -4.$

‎Если $(f,\;f)^{4}$ тождественно обращается въ 0, то имѣетъ мѣсто равенство:

${\begin{matrix}{\overset {k=l,\;\nu -4}{\underset {k=0,\;l-(\nu -4)}{\mathrm {S} }}}(\nu -4)_{k}(\nu -4)_{l-k}\times \\\times \,\left\{a_{k}a_{l-k+4}-4a_{k+1}a_{l-k+3}+3a_{k+2}a_{l-k+2}\right\}=0,\end{matrix}}$

(10)

‎гдѣ:

$l=0,\ 1,\ 2,\ldots \ 2\nu -8.$

‎Согласно сдѣланному выше условію:

$a_{0}=a_{2}=0,\ a_{1}=1.$

(7)

‎Положивъ въ равенствѣ (10):

$l=0,$

‎и принявъ во вниманіе условія (7), находимъ:

$a_{3}=0.$

‎Итакъ:

$a_{1}=1,\ a_{0}=a_{2}=a_{3}=0.$

(11)

‎Всѣ коэффиціенты, слѣдующіе за $a_{3}$ не могутъ быть одновременно нулями; иначе форма (5) приняла бы такой видъ:

$y'^{\,\nu -1}y''$

‎и имѣла бы кратные корни, что противорѣчитъ условію теоремы.

Пусть $a_{m+1}$ есть первый изъ коэффиціентовъ, слѣдующихъ за $a_{3}$, отличный отъ 0.

Въ такомъ случаѣ имѣемъ:

$\left.{\begin{array}{l}a_{1}=1,\ a_{0}=a_{2}=a_{3}=\ldots =a_{m}=0,\\\nu >m\geqq 3,\;a_{m+1}\ {\text{отлично отъ}}\ 0.\end{array}}\right\}$

(12)

‎Полагая въ равенствѣ (10):

$l=m-2$

‎и принимая во вниманіе условія (12), находимъ:

$[(\nu -4)_{1}(\nu -4)_{m-3}-4(\nu -4)_{m-2}]a_{m+1}=0,$

(13)

‎или:

${\frac {\nu (\nu -4)_{m-3}}{m-2}}\left[m-6+{\frac {12}{\nu }}\right]a_{m+1}=0.$

(14)

‎Лѣвая часть равенства (14) можетъ быть представлена въ видѣ произведенія трехъ множителей:

${\frac {\nu (\nu -4)_{m-3}}{m-2}},\;m-6+{\frac {12}{\nu }},\;a_{m+1}.$

‎Первый изъ этихъ множителей при условіи:

$\nu >m\geqq 3$

‎нулю равняться не можетъ.

Множитель $a_{m+1}$, какъ мы знаемъ, тоже отличенъ отъ 0. Слѣдовательно, должно имѣть мѣсто тождественное равенство:

$m-6+{\frac {12}{\nu }}=0.$

(15)

‎Такъ какъ $m$ и $\nu$ суть числа цѣлыя и

$\nu \geqq 4,$

‎то изъ равенства (15) слѣдуетъ, что $\nu$ можетъ имѣть только одно изъ трехъ значеній:

$\nu =4,\ 6,\ 12.$

(16)

‎Соотвѣтствующія значенія $m$ таковы:

$m=3,\ 4,\ 5.$

(17)

‎Итакъ, степень формы $f(y',\;y'')$ должна равняться одному изъ чиселъ:

4, 6, 12.

‎Изъ равенствъ (12) и (17) слѣдуетъ, что:

при $\nu =4\colon$	$a_{1}=1,\ a_{0}=a_{2}=a_{3}=0,$	(18)
при $\nu =6\colon$	$a_{1}=1,\ a_{0}=a_{2}=a_{3}=a_{4}=0,$	(19)
при $\nu =12\colon$	$a_{1}=1,\ a_{0}=a_{2}=a_{3}=a_{4}=a_{5}=0.$	(20)

‎Самыя формы $f(y',\;y'')$ будутъ таковы:

1) $f(y',\;y'')=4y'^{\,3}y''+a_{4}y''^{\,4},$	(21)
2) $f(y',\;y'')=6y'^{\,5}y''+6a_{5}y'y''^{\,5}+a_{6}y''^{\,6},$	(22)
3) $f(y',\;y'')=12y'^{\,11}y''+(12)_{6}a_{6}y'^{\,6}y''^{\,6}+(12)_{7}a_{7}y'^{\,5}y''^{\,7}\,+$	(23)
$+\ldots +12a_{11}y'y''^{\,11}+a_{12}y''^{\,12}.$

‎Займемся каждою изъ этихъ формъ въ отдѣльности.

I. Непосредственной повѣркой убѣждаемся въ томъ, что форма:

$f(y',\;y'')=4y'^{\,3}y''+a_{4}y''^{\,4},$

(21)

‎удовлетворяетъ условію:

$(f,\;f)^{4}=0$

‎при всякомъ значеніи $a_{4}$.

II. Возьмемъ форму:

$f(y',\;y'')=6y'^{\,5}y''+6a_{5}y'y''^{\,5}+a_{6}y''^{\,6}.$

(22)

‎Положивъ въ равенствѣ (10):

$\nu =6,\ a_{1}=1,\ a_{0}=a_{2}=a_{3}=a_{4}=0$ и $l=3,$

‎находимъ:

$a_{6}=0.$

Форма (22) принимаетъ такой видъ:

$f(y',\;y'')=6y'^{\,5}y''+6a_{5}y'y''^{\,5}.$

(24)

‎Непосредственной повѣркой убѣждаемся въ томъ, что форма (24) удовлетворяетъ условію:

$(f,\;f)^{4}=0$

‎при всякомъ значеніи $a_{5}$.

III. Возьмемъ форму:

${\begin{matrix}f(y',\;y'')=12y'^{\,11}y''+(12)_{6}a_{6}y'^{\,6}y''^{\,6}+(12)_{7}a_{7}y'^{\,5}y''^{\,7}\,+\\+\ldots +12a_{11}y'y''^{\,11}+a_{12}y''^{\,12}.\end{matrix}}$

(23)

‎Положивъ въ равенствѣ (10):

$\nu =12,\ a_{1}=1,\ a_{0}=a_{2}=a_{3}=a_{4}=a_{5}=0,\ 4\leqq l\leqq 7,$

‎находимъ:

$[(8)_{1}\,.(8)_{l-1}-4\,.(8)_{l}]a_{l+3}=0,$

(25)

‎или:

$12(l-3){\frac {8\,.\,7\ldots (10-l)}{1\,.\,2\ldots l}}a_{l+3}=0,$

(26)

‎откуда:

$a_{l+3}=0$ при $4\leqq l\leqq 7,$

(27)

‎т. е.:

$a_{7}=a_{8}=a_{9}=a_{10}=0.$

(28)

‎Полагая въ равенствѣ (10):

$\left.{\begin{matrix}\nu =12,\ a_{1}=1,\\a_{0}=a_{2}=a_{3}=a_{4}=a_{5}=a_{7}=a_{8}=a_{9}=a_{10}=0,\ l=8,\end{matrix}}\right\}$

(29)

‎находимъ:

$a_{11}=-49\,.a_{6}^{2}.$

(30)

Полагая въ равенствѣ (10) при тѣхъ же остальныхъ условіяхъ

$l=9,$

‎находимъ:

$a_{12}=0.$

‎Форма (23) принимаетъ слѣдующій видъ:

$f(y',\;y'')=12y'^{\,11}y''+(12)_{6}a_{6}y'^{\,6}y''^{\,6}-12\,.\,49a_{6}^{2}y'y''^{\,11}.$

(31)

‎Непосредственной повѣркой убѣждаемся въ томъ, что форма (31) удовлетворяетъ условію:

$(f,\;f)^{4}=0$

‎при всякомъ значеніи $a_{6}$.

Мы нашли слѣдующія три формы, не имѣющія кратныхъ корней и удовлетворяющія условію:

$(f,\;f)^{4}=0\colon$

1) $f(y',\;y'')=4y'^{\,3}y''+a_{4}y''^{\,4},$	(21)
2) $f(y',\;y'')=6y'^{\,5}y''+6a_{5}y'y''^{\,5},$	(24)
3) $f(y',\;y'')=12y'^{\,11}y''+(12)_{6}a_{6}y'^{\,6}y''^{\,6}-12\,.\,49a_{6}^{2}y'y''^{\,11}.$	(31)

‎Остальныя формы, удовлетворяющія тѣмъ же условіямъ, суть всевозможныя формы, эквивалентныя тремъ найденнымъ формамъ (21), (24), (31).

Упростимъ формы (21), (24), (31). Совершимъ надъ ними линейныя преобразованія:

‎надъ формою (21):

$\left.{\begin{array}{l}y'=-{\sqrt[{12}]{\dfrac {a_{4}}{4}}}y_{1},\\y''={\dfrac {1}{\sqrt[{4}]{a_{4}}}}y_{2};\end{array}}\right\}$

(32)

‎надъ формою (24):

$\left.{\begin{array}{l}y'=e^{-{\frac {\pi i}{24}}}{\sqrt[{24}]{\dfrac {a_{5}}{6^{4}}}}y_{1},\\y''=e^{\frac {5\pi i}{24}}{\dfrac {1}{\sqrt[{24}]{6^{4}a_{5}^{5}}}}y_{2};\end{array}}\right\}$

(33)

‎надъ формою (31):

$\left.{\begin{array}{l}y'={\sqrt[{60}]{\dfrac {7a_{6}}{12^{5}}}}y_{1},\\y''={\dfrac {1}{\sqrt[{60}]{7^{11}12^{5}a_{6}^{11}}}}y_{2}.\end{array}}\right\}$

(34)

‎Послѣ этихъ преобразованій формы (21), (24), (32) примутъ такой видъ:

1) $f'_{\text{т}}(y_{1},\;y_{2})=y_{1}^{4}-2{\sqrt {2}}y_{1}y_{2}^{3},$	(35)
2) $f_{\text{о}}(y_{1},\;y_{2})=y_{1}y_{2}(y_{1}^{4}-y_{2}^{4}),$	(36)
3) $f_{\text{и}}(y_{1},\;y_{2})=y_{1}y_{2}(y_{1}^{10}+11y_{1}^{5}y_{2}^{5}-y_{2}^{10}).$	(37)

‎Это суть первичныя формы наинисшей степени.

Теорема доказана.

Результаты, полученные въ настоящемъ параграфѣ, можно формулировать такъ:

Для того, чтобы форма $f(y',\;y'')$ была первичною формою наинисшей степени, необходимо и достаточно:

1) чтобы она не имѣла кратныхъ корней,

2) чтобы она удовлетворяла условію:

$(f,\;f)^{4}=0.$

‎§ 27. Выраженіе формы, инваріантной по отношенію къ бинарнымъ линейнымъ подстановкамъ конечной группы, черезъ первичныя формы:

$f(y',\;y''),\ H(y',\;y''),\ T(y',\;y'').$

Уяснимъ прежде всего геометрическій смыслъ уравненій:

$f(u)=0,\ H(u)=0,\ T(u)=0.$

‎Изъ уравненія:

$H^{\lambda _{1}}(u):c'T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)=z:z-1:1$

(38)

‎видно, что уравненіе

$f(u)=0$

‎имѣетъ корнями тѣ точки сѣти, которыя соотвѣтствуютъ значенію $z=\infty$. Это суть вершины сѣти, въ которыхъ сходится по $\lambda$ четыреугольниковъ. Онѣ служатъ проэкціями вершинъ многогранника, соотвѣтствующаго сѣти.

Итакъ, уравненіе:

$f(u)=0$

‎имѣетъ корнями проэкціи вершинъ многогранника.

Такимъ же образомъ убѣдимся въ томъ, что уравненіе:

$H(u)=0$

‎имѣетъ корнями проэкціи центровъ граней многогранника, а уравненіе:

$T(u)=0$

‎имѣетъ корнями проэкціи срединъ реберъ многогранника.

Ясно, что уравненія:

$f(u)=0,\ H(u)=0,\ T(u)=0$

‎не мѣняются отъ подстановокъ группы уравненія (38).

Пусть намъ удалось найти такую цѣлую функцію $F(u)$, что уравненіе

$F(u)=0$

(39)

‎не мѣняется отъ подстановокъ той же группы.

Будемъ различать два случая:

1) степень уравненія (39) ниже степени $N$ уравненія (38).

2) Степень уравненія (39) выше степени $N$ уравненія (38).

Начнемъ съ перваго случая.

I.

Пусть степень уравненія (39) ниже $N$.

Возьмемъ какой нибудь корень $u_{1}$ уравненія (39).

Совершивъ надъ $u_{1}$ всѣ подстановки группы, находимъ $N$ величинъ:

$u_{1},\ u_{2},\ldots \ u_{N}.$

(40)

‎Всѣ точки, имъ соотвѣтствующія, суть соотвѣтственныя точки сѣти четыреугольниковъ.

Всѣ величины (40) суть корни уравненія (39).

Такъ какъ степень уравненія (39) ниже $N$, то въ числѣ величинъ (40) найдутся равныя.

Соотвѣтственныя точки сѣти четыреугольниковъ только тогда могутъ совпадать, когда онѣ лежатъ въ вершинахъ четыреугольниковъ.

Если такъ, то многочленъ $F(u)$ долженъ дѣлиться на одну изъ функцій $f(u),\ H(u),\ T(u)$.

Пусть онъ раздѣлился на $f(u)$:

$F(u)=f(u)F_{1}(u).$

(41)

‎Уравненіе:

$F_{1}(u)=0$

‎тоже не мѣняется отъ подстановокъ той же группы и къ нему примѣнимы тѣ же разсужденія; и т. д.

Въ результатѣ мы придемъ къ заключенію, что многочленъ $F(u)$ можетъ быть представленъ въ слѣдующемъ видѣ:

$F(u)=f^{m_{1}}(u)H^{m_{2}}(u)T^{m_{3}}(u),$

(42)

‎гдѣ $m_{1},\ m_{2},\ m_{3}$ числа цѣлыя положительныя, или равныя нулю.

II.

Пусть степень уравненія (39) выше $N$.

Возьмемъ какой нибудь корень $u_{1}$ этого уравненія.

Совершая надъ $u_{1}$ подстановки группы, находимъ $N$ величинъ:

$u_{1},\ u_{2},\ldots \ u_{N}.$

(40)

‎Если между величинами (40) найдутся равныя, то, примѣняя тѣ же разсужденія, какъ и выше, найдемъ, что $F(u)$ дѣлится на одинъ изъ многочленовъ: $f(u),\ H(u),\ T(u)$.

Пусть между величинами (40) равныхъ не оказалось.

Подставимъ величину $u_{1}$ въ уравненіе (38) и опредѣлимъ соотвѣтствующее значеніе $z$. Обозначимъ его буквою $z_{1}$:

$z_{1}={\frac {H^{\lambda _{1}}(u_{1})}{cf^{\lambda }(u_{1})}}.$

(43)

‎Величины (40) составляютъ совокупность всѣхъ корней уравненія:

$z_{1}={\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}},$

(44)

‎или:

$H^{\lambda _{1}}(u)-z_{1}cf^{\lambda }(u)=0.$

(45)

‎Отсюда слѣдуетъ, что многочленъ $F(u)$ дѣлится нацѣло на лѣвую часть уравненія (45):

$F(u)=[H^{\lambda _{1}}(u)-z_{1}cf^{\lambda }(u)]F_{1}(u).$

(46)

‎Уравненіе

$F_{1}(u)=0$

‎тоже не мѣняется отъ подстановокъ группы уравненія (38), и къ нему примѣнимы тѣ же разсужденія.

Соображая все сказанное, мы приходимъ къ заключенію, что функція $F(u)$ можетъ быть представлена въ такомъ видѣ:

$F(u)=\Phi [H^{\lambda _{1}}(u),\;f^{\lambda }(u)]f^{m_{1}}(u)H^{m_{2}}(u)T^{m_{3}}(u),$

(47)

‎гдѣ $\Phi$ есть цѣлая форма, однородная относительно входящихъ въ нее величинъ:

$F(u)=H^{\lambda _{1}}(u)$ и $f^{\lambda }(u),$

‎а $m_{1},\ m_{2},\ m_{3}$ суть числа цѣлыя и положительныя или равныя 0. Число $m_{2}$ мы въ правѣ считать не большимъ 2 вслѣдствіе тождественной связи между функціями $f(u),\ H(u)$ и $T(u)$:

$H^{\lambda _{1}}(u)-cf^{\lambda }(u)=c'T^{\lambda _{2}}(u),$

‎гдѣ $\lambda _{2}=2$.

Пусть форма $F(y',\;y'')$, цѣлая и однородная относительно $y',\;y''$, инваріантна по отношенію къ бинарнымъ подстановкамъ нѣкоторой группы, т. е. пусть она подъ вліяніемъ этихъ подстановокъ или совсѣмъ не мѣняется, или пріобрѣтаетъ лишь постоянные множители.

Въ такомъ случаѣ уравненіе:

$F(u)=0$

(39)

‎не будетъ мѣняться отъ подстановокъ соотвѣтствующей группы неоднородныхъ линейныхъ подстановокъ.

Какъ мы видѣли выше, функція $F(u)$ изобразится формулою (47).

Возстановивъ однородность въ тождествѣ (47), находимъ:

${\begin{matrix}F(y',\;y'')=\\=\Phi [H^{\lambda _{1}}(y',\;y''),\;f^{\lambda }(y',\;y'')]f^{m_{1}}(y',\;y'')H^{m_{2}}(y',\;y'')T^{m_{3}}(y',\;y'').\end{matrix}}$

(48)

‎Этотъ результатъ мы можемъ формулировать въ видѣ теоремы:

Теорема 3. Всякая форма, инваріантная по отношенію къ бинарнымъ подстановкамъ нѣкоторой группы, выражается раціонально черезъ формы: $H(y',\;y''),\ f(y',\;y''),\ T(y',\;y'')$·

Изъ этой теоремы мы выводимъ такія слѣдствія:

Слѣдствіе 1. Всякій коваріантъ формы $f(y',\;y'')$ можетъ быть выраженъ раціонально черезъ $H(y',\;y''),\ f(y',\;y''),\ T(y',\;y'')$.

Дѣйствительно, всякій коваріантъ формы $f(y',\;y'')$ инваріантенъ по отношенію къ подстановкамъ группы.

Слѣдствіе 2. Всякая бинарная форма, не имѣющая кратныхъ корней и удовлетворяющая условію:

$(f,\;f)^{4}=0,$

‎имѣетъ только два независимыхъ коваріанта:

$H(y',\;y''),\ T(y',\;y'').$^[4]

‎Дѣйствительно, изъ теоремъ 1-ой и 2-ой мы знаемъ, что условіе:

$(f,\;f)^{4}=0$

‎характерно для первичной формы наинисшей степени $f(y',\;y'')$, а изъ слѣдствія 1-го теоремы 3 видимъ, что всякій коваріантъ этой формы выражается черезъ формы:

$H(y',\;y''),\ f(y',\;y''),\ T(y',\;y'').$

‎Теорема 4. Всякая первичная форма выражается одною изъ формулъ:

$af(y',\;y''),\;bH(y',\;y''),\ gT(y',\;y''),\ hH^{\lambda _{1}}(y',\;y'')+kf^{\lambda }(y',\;y''),$

(51)

‎гдѣ:

$a,\ b,\ g,\ h,\ k$

‎суть постоянныя числа.

‎Пусть:

$F(y',\;y'')$

‎есть первичная форма некоторой степени $\nu '$ и пусть линей­ные множители ея таковы:

${\begin{matrix}y_{1}=c_{1}^{(1)}y'+c_{2}^{(1)}y'',\ y_{2}=c_{1}^{(2)}y'+c_{2}^{(2)}y'',\ldots ,\ y_{i}=c_{1}^{(i)}y'+c_{2}^{(i)}y'',\ldots ,\\y_{\nu '}=c_{1}^{(v')}y'+c_{2}^{(v')}y''.\end{matrix}}$

(49)

‎Величины (49) служатъ приведенною системою корней того уравненія, которому удовлетворяетъ величина $y_{1}$. Это суть всевозможныя значенія многозначной функціи $y_{1}$ за исключеніемъ тѣхъ значеній, которыя разнятся отъ одного изъ остальныхъ лишь постояннымъ множителемъ.

Положимъ:

${\frac {y'}{y''}}=u,$

‎и возьмемъ уравненіе:

$F(u)=0.$

(39)

‎Корни этого уравненія таковы:

${\begin{matrix}u_{1}=-{\dfrac {c_{2}^{(1)}}{c_{1}^{(1)}}},\ u_{2}=-{\dfrac {c_{2}^{(2)}}{c_{1}^{(2)}}},\ldots ,\ u_{i}=-{\dfrac {c_{2}^{(i)}}{c_{1}^{(i)}}},\ldots ,\\u_{\nu '}=-{\dfrac {c_{2}^{(v')}}{c_{1}^{(v')}}}.\end{matrix}}$

(50)

‎Относительно величинъ (50) мы можемъ сказать слѣдующее:

1) равныхъ величинъ между ними нѣтъ,

2) всѣ величины (50) связаны между собою нѣкоторою группою линейныхъ подстановокъ.

Построивъ сѣть, соотвѣтствующую этой группѣ, мы найдемъ, что точки, изображающія количества (50) соотвѣтственны относительно четыреугольниковъ этой сѣти.

Относительно этихъ точекъ можно сдѣлать два предположенія:

1) точки (50) находятся въ вершинахъ четыреугольниковъ сѣти,

2) точки (50) не находятся въ вершинахъ четыреугольниковъ сѣти.

Въ первомъ случаѣ уравненіе (39) тождественно съ однимъ изъ уравненій:

$f(u)=0,\ H(u)=0,\ T(u)=0.$

‎Разсмотримъ второй случай.

Пусть точки (50) не находятся въ вершинахъ четыреугольниковъ сѣти.

Найдемъ величину $z_{1}$ по формулѣ:

$z_{1}={\frac {H^{\lambda _{1}}(u_{1})}{f^{\lambda }(u_{1})}},$

(43)

‎гдѣ $u_{1}$ есть первая изъ величинъ (50). Ясно, что количества (50) какъ разъ исчерпываютъ собою всѣ корни уравненія:

$z_{1}={\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{f^{\lambda }(u)}},$

(44)

‎или:

$H^{\lambda _{1}}(u)-z_{1}f^{\lambda }(u)=0.$

(45)

‎Если такъ, то уравненіе (39) тождественно съ уравненіемъ (45).

Итакъ, мы нашли, что уравненіе (39) тождественно съ однимъ изъ уравненій:

$f(u)=0,\ H(u)=0,\ T(u)=0,\ H^{\lambda _{1}}(u)-z_{1}f^{\lambda }(u)=0.$

‎Отсюда слѣдуетъ, что многочленъ $F(u)$ тождественъ съ однимъ изъ многочленовъ:

$af(u),\ bH(u),\ gT(u),\ hH^{\lambda _{1}}(u)+kf^{\lambda }(u),$

‎гдѣ $a,\ b,\ g,\ h,\ k$ суть нѣкоторыя постоянныя числа.

Возстановивъ однородность, находимъ, что форма $F(y',\;y'')$ тождественна съ одною изъ формъ:

$af(y',\;y''),\ bH(y',\;y''),\ gT(y',\;y''),\ hH^{\lambda _{1}}(y',\;y'')+kf^{\lambda }(y',\;y'').$

(51)

‎Теорема доказана.

Теорема 5. Форма

$T(y',\;y'')$

‎есть первичная форма.

Если бы $T(y',\;y'')$ не была первичною формою, то, какъ коваріантъ первичной формы $f(y',\;y'')$, она могла бы быть представлена въ видѣ произведенія первичныхъ формъ. Эти первичныя формы на основаніи теоремы 4 выразились бы формулами вида:

$af(y',\;y''),\ bH(y',\;y''),\ gT(y',\;y''),\ hH^{\lambda _{1}}(y',\;y'')+kf^{\lambda }(y',\;y'').$

(51)

‎Ясно, что форма $T(y',\;y'')$ не можетъ имѣть общаго множителя съ формами $f(y',\;y''),\ H(y',\;y'')$ и поэтому ни на одну изъ этихъ двухъ формъ она дѣлиться не можетъ.

Такъ какъ степень формы:

$hH^{\lambda _{1}}(y',\;y'')+kf^{\lambda }(y',\;y'')$

‎выше степени формы $T(y',\;y'')$, то форма $T(y',\;y'')$ на нее раздѣлиться также не можетъ.

Итакъ, форма $T(y',\;y'')$ не дѣлится ни на одну изъ формъ (51) кромѣ формы $gT(y',\;y'')$. Она, необходимо, форма первичная.

§ 28. Тождества, связывающія между собою первичныя формы $f(u),\ H(u),\ T(u)$ различныхъ типовъ.

Въ § 14 мы разсмотрѣли относительное расположеніе вершинъ, центровъ граней и срединъ реберъ различныхъ многогранниковъ, приведенныхъ въ такія положенія, что они, какъ мы говорили, соотвѣтствуютъ другъ другу.

Соотвѣтственными положеніями многогранниковъ могутъ служить: четырехгранная двупирамида, тетраэдръ и октаэдръ въ положеніяхъ, соотвѣтствующихъ первымъ нормальнымъ сѣтямъ и икосаэдръ въ положеніи, соотвѣтствующемъ второй нормальной сѣти, или: икосаэдръ въ положеніи, соотвѣтствующемъ первой нормальной сѣти, тетраэдръ и октаэдръ въ положеніяхъ, соотвѣтствующихъ третьимъ нормальнымъ сѣтямъ.

Поэтому, сравнивая между собою функціи типовъ: четверичнаго, тетраэдрическаго и октаэдрическаго, мы беремъ первые или третьи нормальные виды, а сравнивая функціи икосаэдрическія съ остальными, мы беремъ первыя нормальныя икосаэдрическія функціи и третьи нормальныя тетраэдрическія и октаэдрическія функціи.

Пользуясь результатами, найденными въ § 27, мы можемъ получить рядъ соотношеній между функціями $f(u),\ H(u),\ T(u)$ различныхъ типовъ.

При составленіи этихъ соотношеній мы должны помнить, что многочлены:

$f(u),\ H(u),\ T(u)$

‎имѣютъ корнями: проэкціи вершинъ, центровъ граней и срединъ реберъ соотвѣтствующаго многогранника.

Типъ функціи мы будемъ обозначать индексомъ внизу функціональнаго знака.

Рядомъ съ тетраэдрическими функціями:

$f_{\text{т}}(u),\ H_{\text{т}}(u),\ T_{\text{т}}(u)$

‎мы будемъ пользоваться функціями, соотвѣтствующими дополнительному тетраэдру и обозначимъ ихъ такъ:

$f_{\text{т}}^{*}(u),\ H_{\text{т}}^{*}(u),\ T_{\text{т}}^{*}(u).$

‎I. Такъ какъ вершины тетраэдра совпадаютъ съ центрами граней дополнительнаго ему тетраэдра, то:

$\left.{\begin{array}{l}f_{\text{т}}(u)=H_{\text{т}}^{*}(u),\\f_{\text{т}}^{*}(u)=H_{\text{т}}(u),\end{array}}\right\}$

(52)

II. Такъ какъ средины реберъ двухъ взаимно дополнительныхъ тетраэдровъ совпадаютъ, то должно имѣть мѣсто тождество:

$T_{\text{т}}(u)=T_{\text{т}}^{*}(u).$

(53)

‎III. Восемь вершинъ двухъ взаимно дополнительныхъ тетраэдровъ совпадаютъ съ восьмью центрами граней октаэдра; отсюда слѣдуютъ тождества:

$f_{\text{т}}(u)\,.\,f_{\text{т}}^{*}(u)=H_{\text{т}}(u)\,.\,H_{\text{т}}^{*}(u)=H_{\text{о}}(u),$[5]

(54)

‎или:

$f_{\text{т}}(u)H_{\text{т}}(u)=f_{\text{т}}^{*}(u)H_{\text{т}}^{*}(u)=H_{\text{о}}(u).$

(55)

‎IV. Шесть срединъ реберъ каждаго изъ двухъ взаимно дополнительныхъ тетраэдровъ совпадаютъ съ вершинами октаэдра:

$T_{\text{т}}(u)=T_{\text{т}}^{*}(u)=f_{\text{о}}(u).$

(56)

‎V. Вершины $A,\ A',\ P,\ P'$ вмѣстѣ съ срединами реберъ $B,\ B'$ четырехгранной двупирамиды^[6] совпадаютъ съ вершинами октаэдра:

$f_{\text{ч}}(u)H_{\text{ч}}(u)T_{\text{ч}}(u)={\frac {1}{4}}f_{\text{о}}(u)={\frac {1}{4}}T_{\text{т}}(u).$

(57)

‎VI. Вершины октаэдра совпадаютъ съ 6 изъ числа 30 срединъ реберъ соотвѣтствующаго ему икосаэдра. Отсюда слѣдуетъ, что икосаэдрическая функція $T_{\text{и}}(u)$ дѣлится нацѣло на октаэдрическую функцію $f''_{\text{о}}(u)$:

$T(u)=f''_{\text{о}}(u)\psi (u).$

(58)

‎Совершая надъ обѣими частями тождества (58) икосаэдрическую подстановку:

$S_{\text{и}}^{k}(u)=\varepsilon ^{k}u,$ гдѣ $k=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{5}},$

‎находимъ:

$T_{\text{и}}(u)=f''_{\text{о}}(\varepsilon ^{k}u)\psi (\varepsilon ^{k}u).$

(59)

‎Изъ формулы (66) главы V заключаемъ, что многочлены:

$f''_{\text{о}}(u),\ f''_{\text{о}}(\varepsilon u),\ f''_{\text{о}}(\varepsilon ^{2}u),\ f''_{\text{о}}(\varepsilon ^{3}u),\ f''_{\text{о}}(\varepsilon ^{4}u)$

(60)

‎различны между собою и общихъ корней не имѣютъ.

Если такъ, то изъ тождества (59) слѣдуетъ, что многочленъ $T_{\text{и}}(u)$ дѣлится на всѣ 5 многочленовъ (60); онъ равенъ произведенію многочленовъ (60):

$T_{\text{и}}(u)=f''_{\text{о}}(u)f''_{\text{о}}(\varepsilon u)f''_{\text{о}}(\varepsilon ^{2}u)f''_{\text{о}}(\varepsilon ^{3}u)f''_{\text{о}}(\varepsilon ^{4}u).$

(61)

‎VII. Такъ какъ положеніе тетраэдра не мѣняется отъ поворотовъ, не мѣняющихъ положенія соотвѣтствующей ему четырехгранной двупирамиды, то уравненія:

$f_{\text{т}}(u)=0$ и $H_{\text{т}}(u)=0$

‎инваріанты относительно подстановокъ четверичной группы.

Отсюда слѣдуетъ, что многочлены $f_{\text{т}}(u)$ и $H_{\text{т}}(u)$ могутъ быть выражены черезъ $f_{\text{ч}}(u),\ H_{\text{ч}}(u),\ T_{\text{ч}}(u)$ по формулѣ (47). При этомъ ясно, что въ данномъ случаѣ показатели $m_{1},\ m_{2},\ m_{3}$ равны нулю, а форма $\Phi$ первой степени относительно ея аргументовъ:

$\left.{\begin{array}{l}f_{\text{т}}(u)=aH_{\text{ч}}^{2}(u)+bf_{\text{ч}}^{2}(u),\\H_{\text{т}}(u)=hH_{\text{ч}}^{2}(u)+kf_{\text{ч}}^{2}(u).\end{array}}\right\}$

(62)

‎Совершивъ сравненіе коэффиціентовъ при одинаковыхъ степеняхъ въ обѣихъ частяхъ тождествъ (62), легко находимъ числовыя значенія $a,\ b,\ h,\ k$. Вставивъ эти числовыя значенія въ равенства (62), находимъ такія тождества:

$\left.{\begin{matrix}f_{\text{т}}(u)=4H_{\text{ч}}^{2}(u)+4\varepsilon f_{\text{ч}}^{2}(u),\\H_{\text{т}}(u)=4H_{\text{ч}}^{2}(u)+4\varepsilon ^{2}f_{\text{ч}}^{2}(u),\\{\text{гдѣ}}\ \varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{3}}.\end{matrix}}\right\}$

(63)

‎VIII. Возведя въ квадратъ обѣ части тождества:

$f_{\text{о}}(u)=T_{\text{т}}(u)$

(56')

‎и припомнивъ, что:

$-12i{\sqrt {3}}T_{\text{т}}^{2}(u)=H_{\text{т}}^{2}(u)-f_{\text{т}}^{2}(u),$

(64)

‎находимъ:

$f_{\text{о}}^{2}(u)={\frac {i}{12{\sqrt {3}}}}[H_{\text{т}}^{2}(u)-f_{\text{т}}^{2}(u)].$[7]

(65)

‎IX. Такъ какъ положеніе икосаэдра не мѣняется отъ поворотовъ, не мѣняющихъ положенія соотвѣтствующаго ему тетраэдра, то уравненіе:

$f_{\text{и}}(u)=0$

‎инваріантно по отношенію къ подстановкамъ третьей нормальной тетраэдрической группы. Отсюда слѣдуетъ, что многочленъ $f_{\text{и}}(u)$ можетъ быть выраженъ черезъ $f''_{\text{т}}(u),\ H''_{\text{т}}(u),\ T''_{\text{т}}(u)$ по формулѣ (47):

$f_{\text{и}}(u)=\Phi [H_{\text{т}}''^{\,2}(u),\;f_{\text{т}}''^{\,2}(u)]f_{\text{т}}''^{\,m_{1}}(u)H_{\text{т}}''^{\,m_{2}}(u)T_{\text{т}}''^{\,m_{3}}(u).$

(66)

‎Вершины икосаэдра не совпадаютъ ни съ вершинами, ни съ центрами граней, ни съ срединами реберъ соотвѣтствующаго тетраэдра. Отсюда слѣдуетъ, что въ тождествѣ (66) показатели $m_{1},\ m_{2},\ m_{3}$ равны нулю. Если такъ, то функція $\Phi$ первой степени относительно входящихъ въ нее аргументовъ:

$f_{\text{и}}(u)=hH_{\text{т}}''^{\,3}(u)+kf_{\text{т}}''^{\,3}(u).$

(67)

‎Вычислять коэффиціенты $h$ и $k$ мы не будемъ, потому что они намъ не нужны.

Возьмемъ тождество:

$f_{\text{о}}^{2}(u)={\frac {i}{12{\sqrt {3}}}}[H_{\text{т}}^{3}(u)-f_{\text{т}}^{3}(u)].$

(65)

‎Совершивъ надъ нимъ подстановку $\sigma$, преобразующую первую нормальную тетраэдрическую сѣть въ третью^[8], находимъ:

$f_{\text{о}}''^{\,2}(u)={\frac {i}{12{\sqrt {3}}}}[H_{\text{т}}''^{\,3}(u)-f_{\text{т}}''^{\,3}(u)].$

(65')

Рѣшая систему уравненій (67) и (65') относительно $H_{\text{т}}''^{\,2}(u)$ и $f_{\text{т}}''^{\,2}(u)$, получаемъ:

$\left.{\begin{array}{l}H_{\text{т}}''^{\,3}(u)=Af_{\text{и}}(u)+Bf_{\text{о}}''^{\,2}(u),\\f_{\text{т}}''^{\,3}(u)=Cf_{\text{и}}(u)+Df_{\text{о}}''^{\,2}(u).\end{array}}\right\}$

(68)

‎Коэффиціенты $A,\ B,\ C,\ D$ имѣютъ конечныя величины потому, что опредѣлитель:

${\begin{vmatrix}h,&k,\\{\dfrac {i}{12{\sqrt {3}}}},&-{\dfrac {i}{12{\sqrt {2}}}}\end{vmatrix}}$

(69)

‎не можетъ равняться 0; иначе величина $h$ равнялась бы $-k$, функція $f_{\text{и}}(u)$ разнилась бы отъ $f_{\text{о}}''^{\,2}(u)$ лишь постояннымъ множителемъ, первичная функція $f_{\text{и}}(u)$ имѣла бы кратные корни; а этого быть не можетъ.

Всѣ четыре коэффиціента: $A,\ B,\ C,\ D$ отличны отъ нуля; иначе тождества (68) были бы невозможны: напр. при $B=0$ мы нашли бы:

$H_{\text{т}}''^{\,3}(u)=Af_{\text{и}}(u);$

‎первичная функція $f_{\text{и}}(u)$ имѣла бы кратные корни.

Итакъ, въ тождествахъ (68) коэффиціенты $A,\ B,\ C,\ D$ конечны и отличны отъ 0.

Такъ какъ уравненія:

$f_{\text{и}}(u)=0$ и $H_{\text{и}}(u)=0$

‎инваріантны по отношенію къ подстановкамъ третьей нормальной тетраэдрической группы, то должны имѣть мѣсто тождества вида:

$\left.{\begin{array}{l}T_{\text{и}}(u)=\Phi _{1}[f_{\text{т}}''^{\,3}(u),\;H_{\text{т}}''^{\,3}(u)]f_{\text{т}}''^{\,m_{1}}(u)H_{\text{т}}''^{\,m_{2}}(u)T_{\text{т}}''^{\,m_{3}}(u),\\H_{\text{и}}(u)=\Phi _{2}[f_{\text{т}}''^{\,3}(u),\;H_{\text{т}}''^{\,3}(u)]f_{\text{т}}''^{\,p_{1}}(u)H_{\text{т}}''^{\,p_{2}}(u)T_{\text{т}}''^{\,p_{3}}(u).\end{array}}\right\}$

(70)

‎Подставивъ въ тождества (70) выраженія (68) функціи $f_{\text{т}}''^{\,3}(u)$ и $H_{\text{т}}''^{\,3}(u)$ и замѣтивъ, что вслѣдствіе тождества (56') должно имѣть мѣсто тождество:

$T_{\text{т}}''^{\,2}(u)=f_{\text{о}}''^{\,2}(u),$

(56'')

‎мы приведемъ тождества (70) къ такому виду:

$\left.{\begin{array}{l}T_{\text{и}}(u)=\psi _{1}[f_{\text{и}}(u),\;f_{\text{о}}''^{\,2}(u)]f_{\text{т}}''^{\,\alpha }(u)H_{\text{т}}''^{\,\beta }(u)f_{\text{о}}''^{\,m_{3}}(u),\\H_{\text{и}}(u)=\psi _{2}[f_{\text{и}}(u),\;f_{\text{о}}''^{\,2}(u)]f_{\text{т}}''^{\,\gamma }(u)H_{\text{т}}''^{\,\delta }(u)f_{\text{о}}''^{\,p_{3}}(u),\end{array}}\right\}$

(71)

‎гдѣ $\psi _{1},\ \psi _{2}$ суть цѣлыя однородныя формы по отношенію къ входящимъ въ нихъ аргументамъ, а показатели $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma ,\ \delta$ суть наименьшіе положительные вычеты чиселъ $m_{1},\ m_{2},\ p_{1},\ p_{2}$ по модулю 3.

Каждое изъ чиселъ:

$\alpha ,\ \beta ,\ m_{3},\ \gamma ,\ \delta ,\ p_{3}$

‎можетъ равняться только 0 или 1, потому что функціи $T_{\text{и}}(u)$ и $H_{\text{и}}(u)$ кратныхъ корней не имѣютъ.

Такъ какъ вершины октаэдра совпадаютъ съ 6 изъ числа 30 срединъ реберъ икосаэдра, а вершины и центры граней тетраэдра совпадаютъ съ 8 изъ числа 20 центровъ граней икосаэдра, то $T_{\text{и}}(u)$ дѣлится на $f_{\text{о}}''^{\,2}(u)$, а $H_{\text{и}}(u)$ дѣлится на $f_{\text{т}}''^{\,2}(u)H_{\text{т}}''^{\,2}(u)$. Поэтому въ равенствахъ (71) показатели $m_{3}$, $\gamma$ и $\delta$ равны 1.

Такъ какъ многочлены $T_{\text{и}}(u)$ и $H_{\text{и}}(u)$ общихъ корней имѣть не могутъ, то показатели: $\alpha$, $\beta$ и $p_{3}$ должны равняться нулю. Теперь не трудно найти, каковы степени формъ $\psi _{1}$ и $\psi _{2}$ относительно $f_{\text{и}}(u)$ и $f_{\text{о}}''^{\,2}(u)$: первая изъ нихъ второй степени, а вторая—первой степени.

Итакъ:

$\left.{\begin{array}{l}T_{\text{и}}(u)=[af_{\text{и}}^{2}(u)+bf_{\text{и}}(u)f_{\text{о}}''^{\,2}(u)+cf_{\text{о}}''^{\,4}(u)]f''_{\text{о}}(u),\\H_{\text{и}}(u)=[pf_{\text{и}}(u)+qf_{\text{о}}''^{\,2}(u)]f''_{\text{т}}(u)H''_{\text{т}}(u).\end{array}}\right\}$

(72)

‎Замѣтивъ, что изъ тождества (55) слѣдуетъ:

$f''_{\text{т}}(u)H''_{\text{т}}(u)=H''_{\text{о}}(u),$

(55')

‎и подставивъ это выраженіе во второе изъ равенствъ (72), мы можемъ затѣмъ опредѣлить числовыя величины постоянныхъ $a,\ b,\ c,\ p,\ q$ черезъ сравненіе коэффиціентовъ.

Вставивъ эти числовыя значенія коэффиціентовъ въ тождества (72), находимъ:

$\left.{\begin{array}{l}T_{\text{и}}(u)=[f_{\text{о}}''^{\,4}(u)-10f_{\text{о}}''^{\,2}(u)f_{\text{и}}(u)+45f_{\text{и}}^{2}(u)]f''_{\text{о}}(u),\\H_{\text{и}}(u)=[f_{\text{о}}''^{\,2}(u)-3f_{\text{и}}(u)]H''_{\text{о}}(u).\end{array}}\right\}$

(73)

‎X. Возведя въ кубъ обѣ части тождества (55') и замѣнивъ $f_{\text{т}}''^{\,3}(u),\ H_{\text{т}}''^{\,3}(u)$ выраженіями (68), мы найдемъ тождество такого вида:

$H_{\text{о}}''^{\,3}(u)=af_{\text{и}}^{2}(u)+bf_{\text{и}}(u)f_{\text{о}}''^{\,2}(u)+cf_{\text{о}}''^{\,4}(u).$

(74)

‎Подставивъ выраженія функцій $H''_{\text{о}}(u),\ f_{\text{и}}(u),\ f''_{\text{о}}(u)$ и совершивъ сравненіе коэффиціентовъ, находимъ числовыя величины $a,\ b,\ c$. Вставивъ ихъ въ равенство (74), находимъ:

$H_{\text{о}}''^{\,3}(u)=64f_{\text{и}}^{2}(u)-11f_{\text{и}}(u)f_{\text{о}}''^{\,2}(u)+f_{\text{о}}''^{\,4}(u).$

(75)

---

Найденныя въ настоящей главѣ свойства функцій $f(u),\ H(u),\ T(u)$ и соотношенія между функціями различныхъ типовъ дадутъ возможность раскрыть глубже свойства изучаемыхъ нами уравненій и приведутъ весьма просто къ ихъ рѣшенію.

---

Сноски

1. О двупирамидномъ типѣ мы не говоримъ въ настоящемъ параграфѣ потому, что форма второй степени не имѣетъ коваріанта $(f,\;f)^{4}$.
2. Доказательство этой теоремы приведено у Гордана: Vorlesungen über Invariantentheorie, томъ II, стр. 204. При доказательствѣ онъ пользуется символическимъ методомъ Аронгольда (Aronhold). Сущность приведеннаго мною доказательства та же, что у Гордана.
3. Черезъ $(\nu )_{k}$ мы обозначаемъ биноміальный коэффиціентъ: ${\frac {\nu (\nu -1)\ldots (\nu -k+1)}{1\,.\,2\,.\,3\ldots k}}.$

4. Это свойство формъ $f(y',\;y'')$ впервые обнаружено Клейномъ изъ геометрическихъ соображеній. См. Math. Annalen. Томъ 9. Ueber binäre Formen mit linearen Transformationen in sich selbst.
   ‎Горданъ изслѣдовалъ систему инваріантовъ первичныхъ формъ $f(y',\;y'')$ помощью символическаго метода Аронгольда. См. Math. Annalen. Т. 14. Binäre Formen mit verschwindenden Covarianten.
   ‎Приведенное мною доказательство разнится отъ доказательствъ Клейна и Гордана.
5. Для большей полноты слѣдовало бы во второй части тождества (54) и всѣхъ дальнѣйшихъ подобныхъ тождествъ присоединять постоянный множитель, потому что изъ тождественности двухъ уравненій слѣдуетъ лишь пропорціональность ихъ коэффиціентовъ. Сравнивая затѣмъ коэффиціенты при одинаковыхъ степеняхъ перемѣннаго, можно найти числовую величину этого постояннаго множителя. Для сокращенія разсужденій мы во всѣхъ тождествахъ, подобныхъ (54), прямо вставляемъ числовыя значенія множителей пропорціональности.
6. См. черт. 19.
7. Это тождество можно получить тѣмъ же путемъ, какъ мы получили тождества (63).
8. См. главу IV, формулу (17).