Алгебраические уравнения, разрешимые в гипергеометрических функциях (Лахтин)/Глава V/ДО

Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ — Глава V. Нормальные виды алгебраическихъ уравненій, имѣющихъ корнями отношенія частныхъ интеграловъ линейнаго дифференціальнаго уравненія втораго порядка
авторъ Л. К. Лахтинъ
Опубл.: 1893 год.

 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
773
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
776
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
778
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
783
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
787

[773]
Глава V.
Нормальный видъ алгебраическихъ уравненій, имѣющихъ корнями отношенія частныхъ интеграловъ линейнаго дифференціальнаго уравненія 2-го порядка.

Припомнимъ главнѣйшіе результаты, найденные въ главахъ IIIV.

Алгебраическія уравненія, имѣющія корнями отношенія частныхъ интеграловъ линейнаго дифференціальнаго уравненія 2-го порядка, приводятся къ виду:

(1)

при чемъ между многочленами существуетъ тождественная зависимость:

(2)

Уравненія эти принадлежатъ къ одному изъ четырехъ типовъ: двупирамидному, тетраэдрическому, октаэдрическому или икосаэдрическому.

Степень уравненія (1), степени многочленовъ и показатели приведены въ таблицѣ: [774]

(3)

Всѣ уравненія вида (1) удовлетворяются функціями Шварца:

Каждое изъ уравненій разсматриваемаго класса имѣетъ группу линейныхъ подстановокъ.

Всѣ уравненія одного типа и одинаковой степени эквивалентны между собою, т. е. изъ одного уравненія даннаго типа всѣ остальныя уравненія того же типа и той же степени могутъ быть получены линейными преобразованіями. Поэтому достаточно для каждаго типа построить одно нормальное уравненіе и найти способъ рѣшенія его: этимъ самымъ рѣшится задача о рѣшеніи всѣхъ уравненій изучаемаго класса.

Наконецъ, въ главѣ IV мы нашли нормальныя группы линейныхъ подстановокъ. Уравненія, соотвѣтствующія этимъ группамъ мы назовемъ нормальными. [775]

Вычисленіе коэффиціентовъ этихъ уравненій есть задача настоящей главы.

§ 21. Общіе пріемы вычисленія коэффиціентовъ уравненія, соотвѣтствующаго данной группѣ.

Представимъ уравненіе (1) въ такомъ видѣ:

(1')

Пусть одна изъ подстановокъ группы этого уравненія есть:

(4)

Въ такомъ случаѣ уравненіе:

(5)

должно быть тождественно съ уравненіемъ (1'), ибо уравненіе (1') неприводимо.

Такъ какъ степени многочленовъ и одинаковы (онѣ равны ), то уравненіе (5) можно представить въ такомъ видѣ:

[1]

(6)

Такъ какъ уравненіе (6) тождественно съ (1'), то числитель и знаменатель лѣвой части уравненія (6) могутъ разниться отъ и лишь постояннымъ множителемъ.

Отсюда слѣдуетъ, что уравненія: [776]

и

(7)

должны быть тождественны между собою.

Это мы можемъ выразить словами:

Уравненіе:

имѣетъ ту же группу линейныхъ подстановокъ, какъ и уравненіе (1')[2].

Пользуясь этимъ, легко опредѣлить числовыя величины коэффиціентовъ многочлена .

Для этого возьмемъ многочленъ -ой степени:

(8)

приравняемъ его нулю и потребуемъ, чтобы уравненіе:

(9)

отъ преобразованія посредствомъ основныхъ подстановокъ и соотвѣтствующей группы не мѣнялось.

Лѣвая часть полученнаго такимъ образомъ уравненія опредѣлитъ величину функціи до постояннаго множителя. Знаніе неосновной подстановки нѣсколько облегчитъ вычисленія.

Найдя функцію , мы вычислимъ по извѣстнымъ правиламъ коваріанты и и опредѣлимъ постоянныя и изъ условія (2).

Тогда уравненіе (1), соотвѣтствующее данной группѣ, будетъ вполнѣ опредѣлено.

§ 22. Уравненіе двупирамидное.

Мы получили уже въ § 4 двупирамидное уравненіе въ такой формѣ:

(10)

[777]

Мы можемъ его представить въ нѣсколько иномъ видѣ:

(11)

Остается показать, что это уравненіе есть нормальное двупирамидное уравненіе, т. е. не мѣняется отъ подстановокъ нормальной двупирамидной группы, найденной нами въ § 15.

Основныя подстановки нормальной двупирамидной группы таковы:

гдѣ

(12)

Инваріантность уравненія (11) по отношенію къ этимъ подстановкамъ ясна сама собою.


Посмотримъ, каково двупирамидное уравненіе общаго вида, не нормальное.

Для этого преобразуемъ уравненіе (11) произвольною линейною подстановкою:

(13)

Оно приметъ видъ:

(14)

Выраженія:

и

суть двѣ совершенно произвольныя цѣлыя линейныя функціи.

Обозначивъ ихъ буквами:

и

мы приведемъ уравненіе (14) къ виду: [778]

(15)

Положивъ:

(16)

мы приведемъ уравненіе (15) къ виду уравненія (1):

(17)

Таковъ самый общій видъ двупирамидпаго уравненія.

Въ немъ функція совершенно произвольный квадратный многочленъ. Обозначивъ линейные множители его черезъ и , мы опредѣлимъ функціи и изъ формулъ (16).

Между функціями существуетъ тождественная зависимость:

(18)

соотвѣтствующая тождеству (2).

§ 23. Уравненіе тетраэдрическое.

I.
Первая нормальная форма.

Основныя подстановки тетраэдрической группы въ первомъ нормальномъ видѣ суть слѣдующія:

(19)

Кромѣ того, намъ извѣстна одна очень простая неосновная подстановка:

(20)

Обозначимъ тетраэдрическую функцію перваго нормальнаго вида черезъ: [779]

Пусть:

(21)

Возьмемъ уравненіе:

(22)

Совершимъ надъ нимъ основную подстановку :

(23)

Сравнивая уравненія (22) и (23), находимъ:

Уравненіе (22) принимаетъ видъ:

(24)

Совершаемъ неосновную подстановку :

(25)

Сравнивая уравненія (24) и (25), находимъ:

Полагая , приведемъ уравненіе (24) къ виду:

(26)

Совершаемъ основную подстановку :

(27)

Сравнивая уравненія (26) и (27), находимъ:

[780]

Мы въ правѣ взять въ этомъ выраженіи какой угодно изъ двухъ знаковъ: + пли , потому что, какой бы знакъ мы ни взяли, уравненіе:

(28)

не будетъ мѣняться отъ основныхъ подстановокъ и первой нормальной тетраэдрической группы.

Возьмемъ верхній знакъ.

Тогда:

(29)

Вычисливъ коваріанты и многочлена , находимъ:

(30)

(31)

Подставивъ выраженія (29), (30), (31) въ равенство (2) и требуя, чтобы оно удовлетворялось тождественно, находимъ:

(32)

Первое нормальное тетраэдрическое уравненіе таково:

(33)

Сдѣлаемъ два замѣчанія по поводу выраженій (29), (30), (31).

1) Выраженіе , даваемое формулою (31), по видимому пятой степени, тогда какъ таблица (3) показываетъ, что степень многочлена равна 6.

Причина этого лежитъ въ томъ, что коэффиціентъ при въ многочленѣ (31) равенъ 0. Дѣйствительно, бинарная форма , соотвѣтствующая многочлену , такова:

[781]

Съ подобнымъ обстоятельствомъ мы встрѣтимся ниже при опредѣленіи многочлена .

2) Если бы въ формулѣ (27) мы приняли , то многочленъ получилъ бы выраженіе (30), а соотвѣтствующій ему гессіанъ —выраженіе (29), и уравненіе (33) приняло бы видъ:

(34)

Ясно, что уравненіе (34) получается изъ уравненія (33) линейнымъ преобразованіемъ:

Уравненіе (34) есть одно изъ безконечнаго числа уравненій того же тетраэдрическаго типа, какъ и уравненіе (33).

II.
Вторая нормальная форма.

Основныя подстановки второй нормальной тетраэдрической группы таковы:

гдѣ

(35)

Обозначимъ тетраэдрическую функцію втораго нормальнаго вида черезъ

Пусть:

(36)

Возьмемъ уравненіе: [782]

(37)

Совершимъ надъ нимъ основную подстановку :

(38)

Сравнивая уравненія (37) и (38), находимъ:

Уравненіе (37) принимаетъ видъ:

(39)

Совершаемъ подстановку :

(40)

Лѣвая часть уравненія (40) при обращается въ

Такъ какъ въ лѣвой части уравненія (39) свободный членъ равенъ 0, то

(41)

Уравненіе (39) приметъ видъ:

(42)

Итакъ:

(43)

Соотвѣтствующіе коваріанты и таковы:

(44)

(45)

Подставляя выраженія (43), (44), (45) въ условіе (2), находимъ:

(46)

[783]

Второе нормальное тетраэдрическое уравненіе таково:

(47)

Такъ какъ сѣти треугольниковъ, соотвѣтствующія уравненіямъ (33) и (47), эквивалентны, то уравненіе (47) можетъ быть получено изъ уравненія (33) линейнымъ преобразованіемъ неизвѣстнаго.


Функціи третьяго нормальнаго тетраэдрическаго типа мы не вычисляемъ потому, что онѣ довольно сложны и намъ впослѣдствіи нужны не будутъ.

Функціи третьяго нормальнаго типа могутъ быть получены изъ функцій:

подстановкою , опредѣляемой формулою (17) главы IV.

§ 24. Уравненіе октаэдрическое.

I.
Первая нормальная форма.

Основныя подстановки первой нормальной октаэдрической группы таковы:

(48)

Кромѣ того, существуетъ очень простая неосновная подстановка:

(49)

Пусть:

(50)

Возьмемъ уравненіе: [784]

(51)

Совершимъ подстановку :

(52)

Если мы допустимъ, что отлично отъ 0, то сравнивая между собою уравненія (51) и (52), придемъ къ заключенію:

Въ такомъ случаѣ функція дѣлится на , форма имѣетъ два равныхъ линейныхъ множителя: она дѣлится на , что противорѣчитъ опредѣленію первичной формы.

Итакъ, коэффиціентъ равенъ 0.

Сравнивая между собою уравненія (51) и (52) въ предположеніи, что равно 0, отлично отъ 0[3], находимъ:

Уравненіе (51) принимаетъ видъ:

(53)

Совершимъ надъ уравненіемъ (53) подстановку :

(54)

Лѣвая часть уравненія (54) при обращается въ:

Такъ какъ въ лѣвой части уравненія (53) свободный членъ равенъ 0, то:

(55)

[785]

Итакъ, многочленъ выражается слѣдующимъ образомъ:

(56)

Отсюда:

(57)

(58)

Изъ условія (2) находимъ, что:

(59)

Первое нормальное октаэдрическое уравненіе таково:

(60)
II.
Вторая нормальная форма.

Основныя подстановки второй нормальной октаэдрической группы таковы:

(61)

Примѣняя тотъ же пріемъ, который мы подробно прослѣдили на трехъ предшествующихъ случаяхъ, мы найдемъ такое выраженіе функціи :

(62)

Отсюда:

(63)
[786]

(64)

Второе нормальное октаэдрическое уравненіе таково:

(65)
III.
Третья нормальная форма.

Для нахожденія октаэдрической функціи въ третьей нормальной формѣ, преобразуемъ найденную нами функцію

линейной подстановкой:

гдѣ

Эта подстановка была нами найдена въ § 14.

Выполнивъ вычисленія, находимъ:

(66)

откуда:

(67)

Функцію мы не вычисляемъ, такъ какъ она намъ нужна не будетъ. [787]

§ 25. Уравненіе икосаэдрическое.

Основныя подстановки первой нормальной икосаэдрической группы таковы:

(68)

кромѣ того существуетъ, какъ мы знаемъ, одна очень простая неосновная подстановка:

Положивъ:

(69)

и примѣняя затѣмъ пріемы уже подробно разсмотрѣнные выше, мы придемъ къ заключенію, что:

Поэтому имѣемъ:

(70)

Отсюда:

(71)

(72)

Изъ условія (2) находимъ:

(73)

Нормальное икосаэдрическое уравненіе таково:

(74)


Сноски

править
  1. Слѣдуя прежнимъ обозначеніямъ, мы полагаемъ:

  2. Это и понятно: уравненіе (1') при обращается въ

  3. Коэффиціенты и не могутъ равняться одновременно нулю; иначе форма имѣла бы два равныхъ линейныхъ множителя: она дѣлилась бы на .