Алгебраические уравнения, разрешимые в гипергеометрических функциях (Лахтин)/Глава V/ДО

Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ — Глава V. Нормальные виды алгебраическихъ уравненій, имѣющихъ корнями отношенія частныхъ интеграловъ линейнаго дифференціальнаго уравненія втораго порядка
авторъ Л. К. Лахтинъ

Опубл.: 1893 год.

§ 21. Общіе пріемы вычисленія коэффиціентовъ уравненія, соотвѣтствующаго данной группѣ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

773

§ 22. Уравненіе двупирамидное  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

776

§ 23. Уравненіе тетраэдрическое  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

778

§ 24. Уравненіе октаэдрическое  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

783

§ 25. Уравненіе икосаэдрическое  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

787

---

Глава V.

Нормальный видъ алгебраическихъ уравненій, имѣющихъ корнями отношенія частныхъ интеграловъ линейнаго дифференціальнаго уравненія 2-го порядка.

Припомнимъ главнѣйшіе результаты, найденные въ главахъ II—IV.

Алгебраическія уравненія, имѣющія корнями отношенія частныхъ интеграловъ линейнаго дифференціальнаго уравненія 2-го порядка, приводятся къ виду:

$H^{\lambda _{1}}(u):c'T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)=z:z-1:1,$

(1)

‎при чемъ между многочленами $H(u),\ T(u),\ f(u)$ существуетъ тождественная зависимость:

$H^{\lambda _{1}}(u)-cf^{\lambda }(u)=c'T^{\lambda _{2}}(u).$

(2)

‎Уравненія эти принадлежатъ къ одному изъ четырехъ типовъ: двупирамидному, тетраэдрическому, октаэдрическому или икосаэдрическому.

Степень $N$ уравненія (1), степени $\nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$ многочленовъ $f(u),\ H(u),\ T(u)$ и показатели $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ приведены въ таблицѣ:

${\begin{array}{r|c|c|c|c|}\hline &{\begin{matrix}{\text{Двупи-}}\\{\text{рамид.}}\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\text{Тетра-}}\\{\text{эдрич.}}\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\text{Окта-}}\\{\text{эдрич.}}\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\text{Икоса-}}\\{\text{эдрич.}}\end{matrix}}\\\hline N=&2m&12&24&60\\\hline \nu =&2&4&6&12\\\hline \nu _{1}=&m&4&8&20\\\hline \nu _{2}=&m&6&12&30\\\hline \lambda =&m&3&4&5\\\hline \lambda _{1}=&2&3&3&3\\\hline \lambda _{2}=&2&2&2&2\\\hline \end{array}}$

(3)

‎Всѣ уравненія вида (1) удовлетворяются функціями Шварца:

$s\left({\frac {1}{\lambda _{1}}},\;{\frac {1}{\lambda }},\;{\frac {1}{\lambda _{2}}},\;z\right).$

‎Каждое изъ уравненій разсматриваемаго класса имѣетъ группу линейныхъ подстановокъ.

Всѣ уравненія одного типа и одинаковой степени эквивалентны между собою, т. е. изъ одного уравненія даннаго типа всѣ остальныя уравненія того же типа и той же степени могутъ быть получены линейными преобразованіями. Поэтому достаточно для каждаго типа построить одно нормальное уравненіе и найти способъ рѣшенія его: этимъ самымъ рѣшится задача о рѣшеніи всѣхъ уравненій изучаемаго класса.

Наконецъ, въ главѣ IV мы нашли нормальныя группы линейныхъ подстановокъ. Уравненія, соотвѣтствующія этимъ группамъ мы назовемъ нормальными.

Вычисленіе коэффиціентовъ этихъ уравненій есть задача настоящей главы.

§ 21. Общіе пріемы вычисленія коэффиціентовъ уравненія, соотвѣтствующаго данной группѣ.

Представимъ уравненіе (1) въ такомъ видѣ:

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}=z.$

(1')

‎Пусть одна изъ подстановокъ группы этого уравненія есть:

$\Sigma (u)={\frac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}.$

(4)

‎Въ такомъ случаѣ уравненіе:

${\frac {H^{\lambda _{1}}\left({\dfrac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}\right)}{cf^{\lambda }\left({\dfrac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}\right)}}=z,$

(5)

‎должно быть тождественно съ уравненіемъ (1'), ибо уравненіе (1') неприводимо.

Такъ какъ степени многочленовъ $H^{\lambda _{1}}(u)$ и $f^{\lambda }(u)$ одинаковы (онѣ равны $N$), то уравненіе (5) можно представить въ такомъ видѣ:

${\frac {H^{\lambda _{1}}(\alpha u+\beta ,\;\gamma u+\delta )}{cf^{\lambda }(\alpha u+\beta ,\;\gamma u+\delta )}}=z.$[1]

(6)

‎Такъ какъ уравненіе (6) тождественно съ (1'), то числитель и знаменатель лѣвой части уравненія (6) могутъ разниться отъ $H^{\lambda _{1}}(u)$ и $f^{\lambda }(u)$ лишь постояннымъ множителемъ.

Отсюда слѣдуетъ, что уравненія:

$f(u)=0$ и $f(\alpha u+\beta ,\;\gamma u+\delta )=0$

(7)

‎должны быть тождественны между собою.

Это мы можемъ выразить словами:

Уравненіе:

$f(u)=0$

‎имѣетъ ту же группу линейныхъ подстановокъ, какъ и уравненіе (1')^[2].

Пользуясь этимъ, легко опредѣлить числовыя величины коэффиціентовъ многочлена $f(u)$.

Для этого возьмемъ многочленъ $\nu$-ой степени:

$f(u)=a_{0}u^{\nu }+a_{1}u^{\nu -1}+\ldots +a_{\nu -1}u+a_{\nu },$

(8)

‎приравняемъ его нулю и потребуемъ, чтобы уравненіе:

$a_{0}u^{\nu }+a_{1}u^{\nu -1}+\ldots +a_{\nu -1}u+a_{\nu }=0$

(9)

‎отъ преобразованія посредствомъ основныхъ подстановокъ $S$ и ${\mathfrak {T}}$ соотвѣтствующей группы не мѣнялось.

Лѣвая часть полученнаго такимъ образомъ уравненія опредѣлитъ величину функціи $f(u)$ до постояннаго множителя. Знаніе неосновной подстановки $U$ нѣсколько облегчитъ вычисленія.

Найдя функцію $f(u)$, мы вычислимъ по извѣстнымъ правиламъ коваріанты $H(u)$ и $T(u)$ и опредѣлимъ постоянныя $c$ и $c'$ изъ условія (2).

Тогда уравненіе (1), соотвѣтствующее данной группѣ, будетъ вполнѣ опредѣлено.

§ 22. Уравненіе двупирамидное.

Мы получили уже въ § 4 двупирамидное уравненіе въ такой формѣ:

${\frac {\left({\dfrac {u^{m}+1}{2}}\right)^{2}}{u^{m}}}=z.$

(10)

‎Мы можемъ его представить въ нѣсколько иномъ видѣ:

$\left({\dfrac {u^{m}+1}{2}}\right)^{2}:\left({\dfrac {u^{m}-1}{2}}\right)^{2}:u^{m}=z:z-1:1.$

(11)

‎Остается показать, что это уравненіе есть нормальное двупирамидное уравненіе, т. е. не мѣняется отъ подстановокъ нормальной двупирамидной группы, найденной нами въ § 15.

Основныя подстановки нормальной двупирамидной группы таковы:

$S_{\text{д}}(u)=\varepsilon u,\ {\mathfrak {T}}_{\text{д}}(u)={\frac {1}{u}},$ гдѣ $\varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{m}}.$

(12)

‎Инваріантность уравненія (11) по отношенію къ этимъ подстановкамъ ясна сама собою.

---

Посмотримъ, каково двупирамидное уравненіе общаго вида, не нормальное.

Для этого преобразуемъ уравненіе (11) произвольною линейною подстановкою:

$u={\frac {au'+b}{cu'+d}}.$

(13)

‎Оно приметъ видъ:

${\begin{matrix}\left[{\dfrac {(au'+b)^{m}+(cu'+d)^{m}}{2}}\right]^{2}:\left[{\dfrac {(au'+b)^{m}-(cu'+d)^{m}}{2}}\right]^{2}:\\:\,(au'+b)^{m}(cu'+d)^{m}=z:z-1:1.\end{matrix}}$

(14)

‎Выраженія:

$au'+b$ и $cu'+d$

‎суть двѣ совершенно произвольныя цѣлыя линейныя функціи.

Обозначивъ ихъ буквами:

$f_{1}$ и $f_{2},$

‎мы приведемъ уравненіе (14) къ виду:

$\left({\frac {f_{1}^{m}+f_{2}^{m}}{2}}\right)^{2}:\left({\frac {f_{1}^{m}-f_{2}^{m}}{2}}\right)^{2}:f_{1}^{m}f_{2}^{m}=z:z-1:1.$

(15)

‎Положивъ:

${\frac {f_{1}^{m}+f_{2}^{m}}{2}}=H(u'),\ {\frac {f_{1}^{m}-f_{2}^{m}}{2}}=T(u'),\ f_{1}f_{2}=f(u'),$

(16)

‎мы приведемъ уравненіе (15) къ виду уравненія (1):

$H^{2}(u'):T^{2}(u):f^{m}(u')=z:z-1:1.$

(17)

‎Таковъ самый общій видъ двупирамидпаго уравненія.

Въ немъ функція $f(u')$ совершенно произвольный квадратный многочленъ. Обозначивъ линейные множители его черезъ $f_{1}$ и $f_{2}$, мы опредѣлимъ функціи $H(u')$ и $T(u')$ изъ формулъ (16).

Между функціями $H(u'),\ T(u'),\ f(u')$ существуетъ тождественная зависимость:

$H^{2}(u')-f^{m}(u')=T^{2}(u),$

(18)

‎соотвѣтствующая тождеству (2).

§ 23. Уравненіе тетраэдрическое.

I. Первая нормальная форма.

Основныя подстановки тетраэдрической группы въ первомъ нормальномъ видѣ суть слѣдующія:

$S_{\text{т}}(u)=i{\frac {1-u}{1+u}},\ {\mathfrak {T}}_{\text{т}}(u)=-u.$

(19)

‎Кромѣ того, намъ извѣстна одна очень простая неосновная подстановка:

$U_{\text{т}}(u)={\frac {1}{u}}.$

(20)

‎Обозначимъ тетраэдрическую функцію $f(u)$ перваго нормальнаго вида черезъ:

$f_{\text{т}}(u).$

‎Пусть:

$f_{\text{т}}(u)=a_{0}u^{4}+a_{1}u^{3}+a_{2}u^{2}+a_{3}u+a_{4}.$

(21)

‎Возьмемъ уравненіе:

$a_{0}u^{4}+a_{1}u^{3}+a_{2}u^{2}+a_{3}u+a_{4}=0.$

(22)

‎Совершимъ надъ нимъ основную подстановку ${\mathfrak {T}}_{\text{т}}$:

$a_{0}u^{4}-a_{1}u^{3}+a_{2}u^{2}-a_{3}u+a_{4}=0.$

(23)

‎Сравнивая уравненія (22) и (23), находимъ:

$a_{1}=a_{3}=0.$

‎Уравненіе (22) принимаетъ видъ:

$a_{0}u^{4}+a_{2}u^{2}+a_{4}=0.$

(24)

‎Совершаемъ неосновную подстановку $U_{\text{т}}$:

$a_{4}u^{4}+a_{2}u^{2}+a_{0}=0.$

(25)

‎Сравнивая уравненія (24) и (25), находимъ:

$a_{0}=a_{4}.$

‎Полагая ${\frac {a_{2}}{a_{0}}}=a$, приведемъ уравненіе (24) къ виду:

$u^{4}+au^{2}+1=0.$

(26)

‎Совершаемъ основную подстановку $S_{\text{т}}$:

$u^{4}+{\frac {2a+12}{2-a}}u^{2}+1=0.$

(27)

‎Сравнивая уравненія (26) и (27), находимъ:

$a=\pm 2i{\sqrt {3}}.$

Мы въ правѣ взять въ этомъ выраженіи какой угодно изъ двухъ знаковъ: + пли −, потому что, какой бы знакъ мы ни взяли, уравненіе:

$u^{4}\pm 2i{\sqrt {3}}u^{2}+1=0$

(28)

‎не будетъ мѣняться отъ основныхъ подстановокъ $S_{\text{т}}$ и ${\mathfrak {T}}_{\text{т}}$ первой нормальной тетраэдрической группы.

Возьмемъ верхній знакъ.

Тогда:

$f_{\text{т}}(u)=u^{4}+2i{\sqrt {3}}u^{2}+1.$

(29)

‎Вычисливъ коваріанты $H_{\text{т}}(u)$ и $T_{\text{т}}(u)$ многочлена $f_{\text{т}}(u)$, находимъ:

$f_{\text{т}}(u)=u^{4}-2i{\sqrt {3}}u^{2}+1,$

(30)

$T_{\text{т}}(u)=u^{5}-u.$

(31)

‎Подставивъ выраженія (29), (30), (31) въ равенство (2) и требуя, чтобы оно удовлетворялось тождественно, находимъ:

$c=1,\;c'=-12i{\sqrt {3}}.$

(32)

‎Первое нормальное тетраэдрическое уравненіе таково:

${\begin{matrix}(u^{4}-2i{\sqrt {3}}u^{2}+1)^{3}:-12i{\sqrt {3}}(u^{5}-u)^{2}:(u^{4}+2i{\sqrt {3}}u^{2}+1)^{3}=\\=z:z-1:1.\end{matrix}}$

(33)

‎Сдѣлаемъ два замѣчанія по поводу выраженій (29), (30), (31).

1) Выраженіе $T_{\text{т}}(u)$, даваемое формулою (31), по видимому пятой степени, тогда какъ таблица (3) показываетъ, что степень $\nu _{2}$ многочлена $T_{\text{т}}(u)$ равна 6.

Причина этого лежитъ въ томъ, что коэффиціентъ при $u^{6}$ въ многочленѣ (31) равенъ 0. Дѣйствительно, бинарная форма $T(y',\;y'')$, соотвѣтствующая многочлену $T(u)$, такова:

$T(y',\;y'')=y'y''(y'^{\,5}-y''^{\,5}).$

‎Съ подобнымъ обстоятельствомъ мы встрѣтимся ниже при опредѣленіи многочлена $f(u)$.

2) Если бы въ формулѣ (27) мы приняли $a=-2i{\sqrt {3}}$, то многочленъ $f(u)$ получилъ бы выраженіе (30), а соотвѣтствующій ему гессіанъ $H(u)$—выраженіе (29), и уравненіе (33) приняло бы видъ:

${\begin{matrix}(u^{4}+2i{\sqrt {3}}u^{2}+1)^{3}:12i{\sqrt {3}}(u^{5}-u)^{2}:(u^{4}-2i{\sqrt {3}}u^{2}+1)^{3}=\\=z:z-1:1.\end{matrix}}$

(34)

‎Ясно, что уравненіе (34) получается изъ уравненія (33) линейнымъ преобразованіемъ:

$\Sigma (u)=iu.$

‎Уравненіе (34) есть одно изъ безконечнаго числа уравненій того же тетраэдрическаго типа, какъ и уравненіе (33).

II. Вторая нормальная форма.

Основныя подстановки второй нормальной тетраэдрической группы таковы:

$S'_{\text{т}}(u)=\varepsilon u,\ {\mathfrak {T}}'_{\text{т}}(u)={\frac {{\sqrt {2}}-u}{{\sqrt {2}}u+1}},$ гдѣ $\varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{3}}.$

(35)

‎Обозначимъ тетраэдрическую функцію $f(u)$ втораго нормальнаго вида черезъ

$f'_{\text{т}}(u).$

‎Пусть:

$f'_{\text{т}}(u)=a_{0}u^{4}+a_{1}u^{3}+a_{2}u^{2}+a_{3}u+a_{4}.$

(36)

‎Возьмемъ уравненіе:

$a_{0}u^{4}+a_{1}u^{3}+a_{2}u^{2}+a_{3}u+a_{4}=0.$

(37)

‎Совершимъ надъ нимъ основную подстановку $S'_{\text{т}}$:

$a_{0}u^{4}+\varepsilon ^{2}a_{1}u^{3}+\varepsilon a_{2}u^{2}+a_{3}u+\varepsilon ^{3}a_{4}=0.$

(38)

‎Сравнивая уравненія (37) и (38), находимъ:

$a_{1}=a_{2}=a_{4}=0.$

‎Уравненіе (37) принимаетъ видъ:

$a_{0}u^{4}+a_{3}u=0.$

(39)

‎Совершаемъ подстановку ${\mathfrak {T}}'_{\text{т}}$:

$a_{0}({\sqrt {2}}-u)^{4}+({\sqrt {2}}-u)({\sqrt {2}}u+1)^{3}=0.$

(40)

‎Лѣвая часть уравненія (40) при $u=0$ обращается въ

$4a_{0}+{\sqrt {2}}a_{3}.$

‎Такъ какъ въ лѣвой части уравненія (39) свободный членъ равенъ 0, то

$a_{3}=-2{\sqrt {2}}a_{0}.$

(41)

‎Уравненіе (39) приметъ видъ:

$u^{4}-2{\sqrt {2}}u=0.$

(42)

‎Итакъ:

$f'_{\text{т}}(u)=u^{4}-2{\sqrt {2}}u.$

(43)

‎Соотвѣтствующіе коваріанты $H'_{\text{т}}$ и $T'_{\text{т}}$ таковы:

$H'_{\text{т}}(u)=2{\sqrt {2}}u^{3}+1,$

(44)

$T'_{\text{т}}(u)=u^{6}+5{\sqrt {2}}u^{3}-1.$

(45)

‎Подставляя выраженія (43), (44), (45) въ условіе (2), находимъ:

$c=-1,\;c'=1.$

(46)

‎Второе нормальное тетраэдрическое уравненіе таково:

$(2{\sqrt {2}}u^{3}+1)^{3}:(u^{6}+5{\sqrt {2}}u^{3}-1)^{2}:-(u^{4}-{\sqrt {2}}u)^{3}=z:z-1:1.$

(47)

‎Такъ какъ сѣти треугольниковъ, соотвѣтствующія уравненіямъ (33) и (47), эквивалентны, то уравненіе (47) можетъ быть получено изъ уравненія (33) линейнымъ преобразованіемъ неизвѣстнаго.

---

Функціи $f''_{\text{т}},\ H''_{\text{т}},\ T''_{\text{т}}$ третьяго нормальнаго тетраэдрическаго типа мы не вычисляемъ потому, что онѣ довольно сложны и намъ впослѣдствіи нужны не будутъ.

Функціи третьяго нормальнаго типа могутъ быть получены изъ функцій:

$f_{\text{т}},\ H_{\text{т}},\ T_{\text{т}}$

‎подстановкою $\sigma$, опредѣляемой формулою (17) главы IV.

§ 24. Уравненіе октаэдрическое.

I. Первая нормальная форма.

Основныя подстановки первой нормальной октаэдрической группы таковы:

$S_{\text{о}}(u)=iu,\;{\mathfrak {T}}_{\text{о}}={\frac {1-u}{1+u}}.$

(48)

‎Кромѣ того, существуетъ очень простая неосновная подстановка:

$U_{\text{о}}(u)={\frac {1}{u}}.$

(49)

‎Пусть:

$f_{\text{о}}(u)=a_{0}u^{6}+a_{1}u^{5}+a_{2}u^{4}+a_{3}u^{3}+a_{4}u^{2}+a_{5}u+a_{6}.$

(50)

‎Возьмемъ уравненіе:

$a_{0}u^{6}+a_{1}u^{5}+a_{2}u^{4}+a_{3}u^{3}+a_{4}u^{2}+a_{5}u+a_{6}=0.$

(51)

‎Совершимъ подстановку $S_{\text{о}}$:

$a_{0}u^{6}-a_{1}iu^{5}-a_{2}u^{4}+a_{3}iu^{3}+a_{4}u^{2}-a_{5}iu-a_{6}=0.$

(52)

‎Если мы допустимъ, что $a_{0}$ отлично отъ 0, то сравнивая между собою уравненія (51) и (52), придемъ къ заключенію:

$a_{6}=a_{5}=0.$

‎Въ такомъ случаѣ функція $f_{\text{о}}(u)$ дѣлится на $u^{2}$, форма $f_{\text{о}}(y',\;y'')$ имѣетъ два равныхъ линейныхъ множителя: она дѣлится на $y'^{\,2}$, что противорѣчитъ опредѣленію первичной формы.

Итакъ, коэффиціентъ $a_{0}$ равенъ 0.

Сравнивая между собою уравненія (51) и (52) въ предположеніи, что $a_{0}$ равно 0, $a_{1}$ отлично отъ 0^[3], находимъ:

$a_{0}=a_{2}=a_{3}=a_{4}=a_{6}=0.$

‎Уравненіе (51) принимаетъ видъ:

$a_{1}u^{5}+a_{5}u=0.$

(53)

‎Совершимъ надъ уравненіемъ (53) подстановку ${\mathfrak {T}}_{\text{о}}$:

$(1-u^{2})\{a_{1}(1-u)^{4}+a_{5}(1+u)^{4}\}=0.$

(54)

‎Лѣвая часть уравненія (54) при $u=0$ обращается въ:

$a_{1}+a_{5}.$

‎Такъ какъ въ лѣвой части уравненія (53) свободный членъ равенъ 0, то:

$a_{1}+a_{5}=0;\;a_{5}=-a_{1}.$

(55)

‎Итакъ, многочленъ $f_{\text{о}}(u)$ выражается слѣдующимъ образомъ:

$f_{\text{о}}(u)=u^{5}-u.$

(56)

‎Отсюда:

$H_{\text{о}}(u)=u^{8}+14u^{4}+1,$

(57)

$T_{\text{о}}(u)=u^{12}-33u^{8}-33u^{4}+1.$

(58)

‎Изъ условія (2) находимъ, что:

$c'=1,\;c=108.$

(59)

‎Первое нормальное октаэдрическое уравненіе таково:

${\begin{matrix}(u^{8}+14u^{4}+1)^{3}:(u^{12}-33u^{8}-33u^{4}+1)^{2}:108(u^{5}-u)^{4}=\\=z:z-1:1.\end{matrix}}$

(60)

II. Вторая нормальная форма.

Основныя подстановки второй нормальной октаэдрической группы таковы:

${\begin{matrix}\left.{\begin{array}{l}S'_{\text{о}}(u)=\varepsilon u,\\{\mathfrak {T}}'_{\text{о}}={\dfrac {1+{\sqrt {2}}\varepsilon ^{2}u}{u-{\sqrt {2}}\varepsilon }}\end{array}}\right\},&{\text{гдѣ}}\ \varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{3}}.\end{matrix}}$

(61)

‎Примѣняя тотъ же пріемъ, который мы подробно прослѣдили на трехъ предшествующихъ случаяхъ, мы найдемъ такое выраженіе функціи $f'_{\text{о}}(u)$:

$f'_{\text{о}}(u)=u^{6}+5{\sqrt {2}}u^{3}-1.$

(62)

‎Отсюда:

$H'_{\text{о}}(u)=u^{7}-{\frac {7}{2{\sqrt {2}}}}u^{4}-u,$

(63)

$T'_{\text{о}}(u)=u^{12}-22{\sqrt {2}}u^{9}-22{\sqrt {2}}u^{3}-1.$

(64)

‎Второе нормальное октаэдрическое уравненіе таково:

${\begin{matrix}64{\sqrt {2}}\left(u^{7}-{\dfrac {7}{2{\sqrt {2}}}}u^{4}-u\right)^{3}:-{\biggl (}u^{12}-22{\sqrt {2}}u^{9}-22{\sqrt {2}}u^{3}-1{\biggr )}^{2}:\\:\,(u^{6}+5{\sqrt {2}}u^{3}-1)^{4}=z:z-1:1.\end{matrix}}$

(65)

III. Третья нормальная форма.

Для нахожденія октаэдрической функціи $f(u)$ въ третьей нормальной формѣ, преобразуемъ найденную нами функцію

$f_{\text{о}}(u)=u^{5}-u$

‎линейной подстановкой:

$\sigma (u)={\frac {u+tg{\dfrac {\theta }{2}}}{utg{\dfrac {\theta }{2}}-1}},$

‎гдѣ

$tg\,\theta ={\frac {1}{2cos\,36^{\circ }}}.$

‎Эта подстановка была нами найдена въ § 14.

Выполнивъ вычисленія, находимъ:

$f''_{\text{о}}(u)=u^{6}+2u^{5}-5u^{4}-5u^{2}+1,$

(66)

‎откуда:

$H''_{\text{о}}(u)=u^{8}-u^{7}+7u^{6}+7u^{5}-7u^{3}-7u^{2}+u+1.$

(67)

‎Функцію $T''_{\text{о}}(u)$ мы не вычисляемъ, такъ какъ она намъ нужна не будетъ.

§ 25. Уравненіе икосаэдрическое.

Основныя подстановки первой нормальной икосаэдрической группы таковы:

${\begin{matrix}\left.{\begin{array}{l}S_{\text{и}}(u)=\varepsilon u,\\{\mathfrak {T}}_{\text{и}}(u)={\dfrac {1+(\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3})u}{u-(\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3})}},\end{array}}\right\}&{\text{гдѣ}}\ \varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{5}},\end{matrix}}$

(68)

‎кромѣ того существуетъ, какъ мы знаемъ, одна очень простая неосновная подстановка:

$U_{\text{и}}(u)=-{\frac {1}{u}}.$

‎Положивъ:

$f_{\text{и}}(u)=a_{0}u^{12}+a_{1}u^{11}+\ldots +a_{11}u+a_{12}$

(69)

‎и примѣняя затѣмъ пріемы уже подробно разсмотрѣнные выше, мы придемъ къ заключенію, что:

${\begin{matrix}a_{0}=a_{2}=a_{3}=a_{4}=a_{5}=a_{7}=a_{8}=a_{9}=a_{10}=a_{12}=0,\\{\dfrac {a_{6}}{a_{1}}}=11,\;{\dfrac {a_{11}}{a_{1}}}=-1.\end{matrix}}$

‎Поэтому имѣемъ:

$f_{\text{и}}(u)=u^{11}+11u^{6}-u.$

(70)

‎Отсюда:

$H_{\text{и}}(u)=u^{20}-228u^{15}+494u^{10}+228u^{5}+1,$

(71)

$T_{\text{и}}(u)=u^{30}+522u^{25}-10005u^{20}-10005u^{10}-522u^{5}+1.$

(72)

‎Изъ условія (2) находимъ:

$c'=1,\;c=-1728.$

(73)

‎Нормальное икосаэдрическое уравненіе таково:

${\begin{matrix}(u^{20}-228u^{15}+494u^{10}+228u^{5}+1)^{3}:(u^{30}+522u^{25}-10005u^{20}\,-\\-\,10005u^{10}-522u^{5}+1)^{2}:-1728(u^{11}+11u^{6}-u)^{5}=z:z-1:1.\end{matrix}}$

(74)

---

Сноски

1. Слѣдуя прежнимъ обозначеніямъ, мы полагаемъ: ${\begin{matrix}(\gamma u+\delta )^{\nu }f\left({\dfrac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}\right)=f\left(\alpha u+\beta ,\;\gamma u+\delta \right),\\(\gamma u+\delta )^{\nu _{1}}H\left({\dfrac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}\right)=H\left(\alpha u+\beta ,\;\gamma u+\delta \right).\end{matrix}}$

2. Это и понятно: уравненіе (1') при $z=\infty$ обращается въ $f^{\lambda }(u)=0.$

3. Коэффиціенты $a_{0}$ и $a_{1}$ не могутъ равняться одновременно нулю; иначе форма $f_{\text{о}}(y',\;y'')$ имѣла бы два равныхъ линейныхъ множителя: она дѣлилась бы на $y''^{\,2}$.