Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/188

$a_{0}u^{6}+a_{1}u^{5}+a_{2}u^{4}+a_{3}u^{3}+a_{4}u^{2}+a_{5}u+a_{6}=0.$

(51)

‎Совершимъ подстановку $S_{\text{о}}$:

$a_{0}u^{6}-a_{1}iu^{5}-a_{2}u^{4}+a_{3}iu^{3}+a_{4}u^{2}-a_{5}iu-a_{6}=0.$

(52)

‎Если мы допустимъ, что $a_{0}$ отлично отъ 0, то сравнивая между собою уравненія (51) и (52), придемъ къ заключенію:

$a_{6}=a_{5}=0.$

‎Въ такомъ случаѣ функція $f_{\text{о}}(u)$ дѣлится на $u^{2}$, форма $f_{\text{о}}(y',\;y'')$ имѣетъ два равныхъ линейныхъ множителя: она дѣлится на $y'^{\,2}$, что противорѣчитъ опредѣленію первичной формы.

Итакъ, коэффиціентъ $a_{0}$ равенъ 0.

Сравнивая между собою уравненія (51) и (52) въ предположеніи, что $a_{0}$ равно 0, $a_{1}$ отлично отъ 0^[1], находимъ:

$a_{0}=a_{2}=a_{3}=a_{4}=a_{6}=0.$

‎Уравненіе (51) принимаетъ видъ:

$a_{1}u^{5}+a_{5}u=0.$

(53)

‎Совершимъ надъ уравненіемъ (53) подстановку ${\mathfrak {T}}_{\text{о}}$:

$(1-u^{2})\{a_{1}(1-u)^{4}+a_{5}(1+u)^{4}\}=0.$

(54)

‎Лѣвая часть уравненія (54) при $u=0$ обращается въ:

$a_{1}+a_{5}.$

‎Такъ какъ въ лѣвой части уравненія (53) свободный членъ равенъ 0, то:

$a_{1}+a_{5}=0;\;a_{5}=-a_{1}.$

(55)

1. Коэффиціенты $a_{0}$ и $a_{1}$ не могутъ равняться одновременно нулю; иначе форма $f_{\text{о}}(y',\;y'')$ имѣла бы два равныхъ линейныхъ множителя: она дѣлилась бы на $y''^{\,2}$.

Тот же текст в современной орфографии

$a_{0}u^{6}+a_{1}u^{5}+a_{2}u^{4}+a_{3}u^{3}+a_{4}u^{2}+a_{5}u+a_{6}=0.$

(51)

‎Совершим подстановку $S_{\text{о}}$:

$a_{0}u^{6}-a_{1}iu^{5}-a_{2}u^{4}+a_{3}iu^{3}+a_{4}u^{2}-a_{5}iu-a_{6}=0.$

(52)

‎Если мы допустим, что $a_{0}$ отлично от 0, то сравнивая между собой уравнения (51) и (52), придем к заключению:

$a_{6}=a_{5}=0.$

‎В таком случае функция $f_{\text{о}}(u)$ делится на $u^{2}$, форма $f_{\text{о}}(y',\;y'')$ имеет два равных линейных множителя: она делится на $y'^{\,2}$, что противоречит определению первичной формы.

Итак, коэффициент $a_{0}$ равен 0.

Сравнивая между собой уравнения (51) и (52) в предположении, что $a_{0}$ равно 0, $a_{1}$ отлично от 0^[1], находим:

$a_{0}=a_{2}=a_{3}=a_{4}=a_{6}=0.$

‎Уравнение (51) принимает вид:

$a_{1}u^{5}+a_{5}u=0.$

(53)

‎Совершим над уравнением (53) подстановку ${\mathfrak {T}}_{\text{о}}$:

$(1-u^{2})\{a_{1}(1-u)^{4}+a_{5}(1+u)^{4}\}=0.$

(54)

‎Левая часть уравнения (54) при $u=0$ обращается в:

$a_{1}+a_{5}.$

‎Так как в левой части уравнения (53) свободный член равен 0, то:

$a_{1}+a_{5}=0;\;a_{5}=-a_{1}.$

(55)

1. Коэффициенты $a_{0}$ и $a_{1}$ не могут равняться одновременно нулю; иначе форма $f_{\text{о}}(y',\;y'')$ имела бы два равных линейных множителя: она делилась бы на $y''^{\,2}$.