Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/182

$\left({\frac {f_{1}^{m}+f_{2}^{m}}{2}}\right)^{2}:\left({\frac {f_{1}^{m}-f_{2}^{m}}{2}}\right)^{2}:f_{1}^{m}f_{2}^{m}=z:z-1:1.$

(15)

‎Положивъ:

${\frac {f_{1}^{m}+f_{2}^{m}}{2}}=H(u'),\ {\frac {f_{1}^{m}-f_{2}^{m}}{2}}=T(u'),\ f_{1}f_{2}=f(u'),$

(16)

‎мы приведемъ уравненіе (15) къ виду уравненія (1):

$H^{2}(u'):T^{2}(u):f^{m}(u')=z:z-1:1.$

(17)

‎Таковъ самый общій видъ двупирамидпаго уравненія.

Въ немъ функція $f(u')$ совершенно произвольный квадратный многочленъ. Обозначивъ линейные множители его черезъ $f_{1}$ и $f_{2}$, мы опредѣлимъ функціи $H(u')$ и $T(u')$ изъ формулъ (16).

Между функціями $H(u'),\ T(u'),\ f(u')$ существуетъ тождественная зависимость:

$H^{2}(u')-f^{m}(u')=T^{2}(u),$

(18)

‎соотвѣтствующая тождеству (2).

§ 23. Уравненіе тетраэдрическое.

I. Первая нормальная форма.

Основныя подстановки тетраэдрической группы въ первомъ нормальномъ видѣ суть слѣдующія:

$S_{\text{т}}(u)=i{\frac {1-u}{1+u}},\ {\mathfrak {T}}_{\text{т}}(u)=-u.$

(19)

‎Кромѣ того, намъ извѣстна одна очень простая неосновная подстановка:

$U_{\text{т}}(u)={\frac {1}{u}}.$

(20)

‎Обозначимъ тетраэдрическую функцію $f(u)$ перваго нормальнаго вида черезъ:

Тот же текст в современной орфографии

$\left({\frac {f_{1}^{m}+f_{2}^{m}}{2}}\right)^{2}:\left({\frac {f_{1}^{m}-f_{2}^{m}}{2}}\right)^{2}:f_{1}^{m}f_{2}^{m}=z:z-1:1.$

(15)

‎Положив:

${\frac {f_{1}^{m}+f_{2}^{m}}{2}}=H(u'),\ {\frac {f_{1}^{m}-f_{2}^{m}}{2}}=T(u'),\ f_{1}f_{2}=f(u'),$

(16)

‎мы приведем уравнение (15) к виду уравнения (1):

$H^{2}(u'):T^{2}(u):f^{m}(u')=z:z-1:1.$

(17)

‎Таков самый общий вид двупирамидпого уравнения.

В нем функция $f(u')$ совершенно произвольный квадратный многочлен. Обозначив линейные множители его через $f_{1}$ и $f_{2}$, мы определим функции $H(u')$ и $T(u')$ из формул (16).

Между функциями $H(u'),\ T(u'),\ f(u')$ существует тождественная зависимость:

$H^{2}(u')-f^{m}(u')=T^{2}(u),$

(18)

‎соответствующая тождеству (2).

§ 23. Уравнение тетраэдрическое.

I. Первая нормальная форма.

Основные подстановки тетраэдрической группы в первом нормальном виде суть следующие:

$S_{\text{т}}(u)=i{\frac {1-u}{1+u}},\ {\mathfrak {T}}_{\text{т}}(u)=-u.$

(19)

‎Кроме того, нам известна одна очень простая неосновная подстановка:

$U_{\text{т}}(u)={\frac {1}{u}}.$

(20)

‎Обозначим тетраэдрическую функцию $f(u)$ первого нормального вида через: