Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/179

Вычисленіе коэффиціентовъ этихъ уравненій есть задача настоящей главы.

§ 21. Общіе пріемы вычисленія коэффиціентовъ уравненія, соотвѣтствующаго данной группѣ.

Представимъ уравненіе (1) въ такомъ видѣ:

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}=z.$

(1')

‎Пусть одна изъ подстановокъ группы этого уравненія есть:

$\Sigma (u)={\frac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}.$

(4)

‎Въ такомъ случаѣ уравненіе:

${\frac {H^{\lambda _{1}}\left({\dfrac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}\right)}{cf^{\lambda }\left({\dfrac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}\right)}}=z,$

(5)

‎должно быть тождественно съ уравненіемъ (1'), ибо уравненіе (1') неприводимо.

Такъ какъ степени многочленовъ $H^{\lambda _{1}}(u)$ и $f^{\lambda }(u)$ одинаковы (онѣ равны $N$), то уравненіе (5) можно представить въ такомъ видѣ:

${\frac {H^{\lambda _{1}}(\alpha u+\beta ,\;\gamma u+\delta )}{cf^{\lambda }(\alpha u+\beta ,\;\gamma u+\delta )}}=z.$[1]

(6)

‎Такъ какъ уравненіе (6) тождественно съ (1'), то числитель и знаменатель лѣвой части уравненія (6) могутъ разниться отъ $H^{\lambda _{1}}(u)$ и $f^{\lambda }(u)$ лишь постояннымъ множителемъ.

Отсюда слѣдуетъ, что уравненія:

1. Слѣдуя прежнимъ обозначеніямъ, мы полагаемъ: ${\begin{matrix}(\gamma u+\delta )^{\nu }f\left({\dfrac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}\right)=f\left(\alpha u+\beta ,\;\gamma u+\delta \right),\\(\gamma u+\delta )^{\nu _{1}}H\left({\dfrac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}\right)=H\left(\alpha u+\beta ,\;\gamma u+\delta \right).\end{matrix}}$

Тот же текст в современной орфографии

Вычисление коэффициентов этих уравнений есть задача настоящей главы.

§ 21. Общие приемы вычисления коэффициентов уравнения, соответствующего данной группе.

Представим уравнение (1) в таком виде:

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}=z.$

(1')

‎Пусть одна из подстановок группы этого уравнения есть:

$\Sigma (u)={\frac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}.$

(4)

‎В таком случае уравнение:

${\frac {H^{\lambda _{1}}\left({\dfrac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}\right)}{cf^{\lambda }\left({\dfrac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}\right)}}=z,$

(5)

‎должно быть тождественно с уравнением (1'), ибо уравнение (1') неприводимо.

Так как степени многочленов $H^{\lambda _{1}}(u)$ и $f^{\lambda }(u)$ одинаковы (они равны $N$), то уравнение (5) можно представить в таком виде:

${\frac {H^{\lambda _{1}}(\alpha u+\beta ,\;\gamma u+\delta )}{cf^{\lambda }(\alpha u+\beta ,\;\gamma u+\delta )}}=z.$[1]

(6)

‎Так как уравнение (6) тождественно с (1'), то числитель и знаменатель левой части уравнения (6) могут разниться от $H^{\lambda _{1}}(u)$ и $f^{\lambda }(u)$ лишь постоянным множителем.

Отсюда следует, что уравнения:

1. Следуя прежним обозначениям, мы полагаем: ${\begin{matrix}(\gamma u+\delta )^{\nu }f\left({\dfrac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}\right)=f\left(\alpha u+\beta ,\;\gamma u+\delta \right),\\(\gamma u+\delta )^{\nu _{1}}H\left({\dfrac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}\right)=H\left(\alpha u+\beta ,\;\gamma u+\delta \right).\end{matrix}}$