Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/184

Мы въ правѣ взять въ этомъ выраженіи какой угодно изъ двухъ знаковъ: + пли −, потому что, какой бы знакъ мы ни взяли, уравненіе:

$u^{4}\pm 2i{\sqrt {3}}u^{2}+1=0$

(28)

‎не будетъ мѣняться отъ основныхъ подстановокъ $S_{\text{т}}$ и ${\mathfrak {T}}_{\text{т}}$ первой нормальной тетраэдрической группы.

Возьмемъ верхній знакъ.

Тогда:

$f_{\text{т}}(u)=u^{4}+2i{\sqrt {3}}u^{2}+1.$

(29)

‎Вычисливъ коваріанты $H_{\text{т}}(u)$ и $T_{\text{т}}(u)$ многочлена $f_{\text{т}}(u)$, находимъ:

$f_{\text{т}}(u)=u^{4}-2i{\sqrt {3}}u^{2}+1,$

(30)

$T_{\text{т}}(u)=u^{5}-u.$

(31)

‎Подставивъ выраженія (29), (30), (31) въ равенство (2) и требуя, чтобы оно удовлетворялось тождественно, находимъ:

$c=1,\;c'=-12i{\sqrt {3}}.$

(32)

‎Первое нормальное тетраэдрическое уравненіе таково:

${\begin{matrix}(u^{4}-2i{\sqrt {3}}u^{2}+1)^{3}:-12i{\sqrt {3}}(u^{5}-u)^{2}:(u^{4}+2i{\sqrt {3}}u^{2}+1)^{3}=\\=z:z-1:1.\end{matrix}}$

(33)

‎Сдѣлаемъ два замѣчанія по поводу выраженій (29), (30), (31).

1) Выраженіе $T_{\text{т}}(u)$, даваемое формулою (31), по видимому пятой степени, тогда какъ таблица (3) показываетъ, что степень $\nu _{2}$ многочлена $T_{\text{т}}(u)$ равна 6.

Причина этого лежитъ въ томъ, что коэффиціентъ при $u^{6}$ въ многочленѣ (31) равенъ 0. Дѣйствительно, бинарная форма $T(y',\;y'')$, соотвѣтствующая многочлену $T(u)$, такова:

$T(y',\;y'')=y'y''(y'^{\,5}-y''^{\,5}).$

Тот же текст в современной орфографии

Мы вправе взять в этом выражении какой угодно из двух знаков: + пли −, потому что, какой бы знак мы ни взяли, уравнение:

$u^{4}\pm 2i{\sqrt {3}}u^{2}+1=0$

(28)

‎не будет меняться от основных подстановок $S_{\text{т}}$ и ${\mathfrak {T}}_{\text{т}}$ первой нормальной тетраэдрической группы.

Возьмем верхний знак.

Тогда:

$f_{\text{т}}(u)=u^{4}+2i{\sqrt {3}}u^{2}+1.$

(29)

‎Вычислив коварианты $H_{\text{т}}(u)$ и $T_{\text{т}}(u)$ многочлена $f_{\text{т}}(u)$, находим:

$f_{\text{т}}(u)=u^{4}-2i{\sqrt {3}}u^{2}+1,$

(30)

$T_{\text{т}}(u)=u^{5}-u.$

(31)

‎Подставив выражения (29), (30), (31) в равенство (2) и требуя, чтобы оно удовлетворялось тождественно, находим:

$c=1,\;c'=-12i{\sqrt {3}}.$

(32)

‎Первое нормальное тетраэдрическое уравнение таково:

${\begin{matrix}(u^{4}-2i{\sqrt {3}}u^{2}+1)^{3}:-12i{\sqrt {3}}(u^{5}-u)^{2}:(u^{4}+2i{\sqrt {3}}u^{2}+1)^{3}=\\=z:z-1:1.\end{matrix}}$

(33)

‎Сделаем два замечания по поводу выражений (29), (30), (31).

1) Выражение $T_{\text{т}}(u)$, даваемое формулой (31), по видимому пятой степени, тогда как таблица (3) показывает, что степень $\nu _{2}$ многочлена $T_{\text{т}}(u)$ равна 6.

Причина этого лежит в том, что коэффициент при $u^{6}$ в многочлене (31) равен 0. Действительно, бинарная форма $T(y',\;y'')$, соответствующая многочлену $T(u)$, такова:

$T(y',\;y'')=y'y''(y'^{\,5}-y''^{\,5}).$