Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/191

Эта страница не была вычитана

§ 25. Уравненіе икосаэдрическое.

Основныя подстановки первой нормальной икосаэдрической группы таковы:

${\begin{matrix}\left.{\begin{array}{l}S_{\text{и}}(u)=\varepsilon u,\\{\mathfrak {T}}_{\text{и}}(u)={\dfrac {1+(\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3})u}{u-(\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3})}},\end{array}}\right\}&{\text{гдѣ}}\ \varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{5}},\end{matrix}}$

(68)

‎кромѣ того существуетъ, какъ мы знаемъ, одна очень простая неосновная подстановка:

U_{\text{и}}(u)=-{\frac {1}{u}}.

‎Положивъ:

$f_{\text{и}}(u)=a_{0}u^{12}+a_{1}u^{11}+\ldots +a_{11}u+a_{12}$

(69)

‎и примѣняя затѣмъ пріемы уже подробно разсмотрѣнные выше, мы придемъ къ заключенію, что:

{\begin{matrix}a_{0}=a_{2}=a_{3}=a_{4}=a_{5}=a_{7}=a_{8}=a_{9}=a_{10}=a_{12}=0,\\{\dfrac {a_{6}}{a_{1}}}=11,\;{\dfrac {a_{11}}{a_{1}}}=-1.\end{matrix}}

‎Поэтому имѣемъ:

$f_{\text{и}}(u)=u^{11}+11u^{6}-u.$

(70)

‎Отсюда:

$H_{\text{и}}(u)=u^{20}-228u^{15}+494u^{10}+228u^{5}+1,$

(71)

$T_{\text{и}}(u)=u^{30}+522u^{25}-10005u^{20}-10005u^{10}-522u^{5}+1.$

(72)

‎Изъ условія (2) находимъ:

$c'=1,\;c=-1728.$

(73)

‎Нормальное икосаэдрическое уравненіе таково:

${\begin{matrix}(u^{20}-228u^{15}+494u^{10}+228u^{5}+1)^{3}:(u^{30}+522u^{25}-10005u^{20}\,-\\-\,10005u^{10}-522u^{5}+1)^{2}:-1728(u^{11}+11u^{6}-u)^{5}=z:z-1:1.\end{matrix}}$

(74)

Тот же текст в современной орфографии

§ 25. Уравнение икосаэдрическое.

Основные подстановки первой нормальной икосаэдрической группы таковы:

${\begin{matrix}\left.{\begin{array}{l}S_{\text{и}}(u)=\varepsilon u,\\{\mathfrak {T}}_{\text{и}}(u)={\dfrac {1+(\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3})u}{u-(\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3})}},\end{array}}\right\}&{\text{где}}\ \varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{5}},\end{matrix}}$