Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/183

$f_{\text{т}}(u).$

‎Пусть:

$f_{\text{т}}(u)=a_{0}u^{4}+a_{1}u^{3}+a_{2}u^{2}+a_{3}u+a_{4}.$

(21)

‎Возьмемъ уравненіе:

$a_{0}u^{4}+a_{1}u^{3}+a_{2}u^{2}+a_{3}u+a_{4}=0.$

(22)

‎Совершимъ надъ нимъ основную подстановку ${\mathfrak {T}}_{\text{т}}$:

$a_{0}u^{4}-a_{1}u^{3}+a_{2}u^{2}-a_{3}u+a_{4}=0.$

(23)

‎Сравнивая уравненія (22) и (23), находимъ:

$a_{1}=a_{3}=0.$

‎Уравненіе (22) принимаетъ видъ:

$a_{0}u^{4}+a_{2}u^{2}+a_{4}=0.$

(24)

‎Совершаемъ неосновную подстановку $U_{\text{т}}$:

$a_{4}u^{4}+a_{2}u^{2}+a_{0}=0.$

(25)

‎Сравнивая уравненія (24) и (25), находимъ:

$a_{0}=a_{4}.$

‎Полагая ${\frac {a_{2}}{a_{0}}}=a$, приведемъ уравненіе (24) къ виду:

$u^{4}+au^{2}+1=0.$

(26)

‎Совершаемъ основную подстановку $S_{\text{т}}$:

$u^{4}+{\frac {2a+12}{2-a}}u^{2}+1=0.$

(27)

‎Сравнивая уравненія (26) и (27), находимъ:

$a=\pm 2i{\sqrt {3}}.$

Тот же текст в современной орфографии

$f_{\text{т}}(u).$

‎Пусть:

$f_{\text{т}}(u)=a_{0}u^{4}+a_{1}u^{3}+a_{2}u^{2}+a_{3}u+a_{4}.$

(21)

‎Возьмем уравнение:

$a_{0}u^{4}+a_{1}u^{3}+a_{2}u^{2}+a_{3}u+a_{4}=0.$

(22)

‎Совершим над ним основную подстановку ${\mathfrak {T}}_{\text{т}}$:

$a_{0}u^{4}-a_{1}u^{3}+a_{2}u^{2}-a_{3}u+a_{4}=0.$

(23)

‎Сравнивая уравнения (22) и (23), находим:

$a_{1}=a_{3}=0.$

‎Уравнение (22) принимает вид:

$a_{0}u^{4}+a_{2}u^{2}+a_{4}=0.$

(24)

‎Совершаем неосновную подстановку $U_{\text{т}}$:

$a_{4}u^{4}+a_{2}u^{2}+a_{0}=0.$

(25)

‎Сравнивая уравнения (24) и (25), находим:

$a_{0}=a_{4}.$

‎Полагая ${\frac {a_{2}}{a_{0}}}=a$, приведем уравнение (24) к виду:

$u^{4}+au^{2}+1=0.$

(26)

‎Совершаем основную подстановку $S_{\text{т}}$:

$u^{4}+{\frac {2a+12}{2-a}}u^{2}+1=0.$

(27)

‎Сравнивая уравнения (26) и (27), находим:

$a=\pm 2i{\sqrt {3}}.$