Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/185

‎Съ подобнымъ обстоятельствомъ мы встрѣтимся ниже при опредѣленіи многочлена $f(u)$.

2) Если бы въ формулѣ (27) мы приняли $a=-2i{\sqrt {3}}$, то многочленъ $f(u)$ получилъ бы выраженіе (30), а соотвѣтствующій ему гессіанъ $H(u)$—выраженіе (29), и уравненіе (33) приняло бы видъ:

${\begin{matrix}(u^{4}+2i{\sqrt {3}}u^{2}+1)^{3}:12i{\sqrt {3}}(u^{5}-u)^{2}:(u^{4}-2i{\sqrt {3}}u^{2}+1)^{3}=\\=z:z-1:1.\end{matrix}}$

(34)

‎Ясно, что уравненіе (34) получается изъ уравненія (33) линейнымъ преобразованіемъ:

$\Sigma (u)=iu.$

‎Уравненіе (34) есть одно изъ безконечнаго числа уравненій того же тетраэдрическаго типа, какъ и уравненіе (33).

II. Вторая нормальная форма.

Основныя подстановки второй нормальной тетраэдрической группы таковы:

$S'_{\text{т}}(u)=\varepsilon u,\ {\mathfrak {T}}'_{\text{т}}(u)={\frac {{\sqrt {2}}-u}{{\sqrt {2}}u+1}},$ гдѣ $\varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{3}}.$

(35)

‎Обозначимъ тетраэдрическую функцію $f(u)$ втораго нормальнаго вида черезъ

$f'_{\text{т}}(u).$

‎Пусть:

$f'_{\text{т}}(u)=a_{0}u^{4}+a_{1}u^{3}+a_{2}u^{2}+a_{3}u+a_{4}.$

(36)

‎Возьмемъ уравненіе:

Тот же текст в современной орфографии

‎С подобным обстоятельством мы встретимся ниже при определении многочлена $f(u)$.

2) Если бы в формуле (27) мы приняли $a=-2i{\sqrt {3}}$, то многочлен $f(u)$ получил бы выражение (30), а соответствующий ему гессиан $H(u)$ — выражение (29), и уравнение (33) приняло бы вид:

${\begin{matrix}(u^{4}+2i{\sqrt {3}}u^{2}+1)^{3}:12i{\sqrt {3}}(u^{5}-u)^{2}:(u^{4}-2i{\sqrt {3}}u^{2}+1)^{3}=\\=z:z-1:1.\end{matrix}}$

(34)

‎Ясно, что уравнение (34) получается из уравнения (33) линейным преобразованием:

$\Sigma (u)=iu.$

‎Уравнение (34) есть одно из бесконечного числа уравнений того же тетраэдрического типа, как и уравнение (33).

II. Вторая нормальная форма.

Основные подстановки второй нормальной тетраэдрической группы таковы:

$S'_{\text{т}}(u)=\varepsilon u,\ {\mathfrak {T}}'_{\text{т}}(u)={\frac {{\sqrt {2}}-u}{{\sqrt {2}}u+1}},$ где $\varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{3}}.$

(35)

‎Обозначим тетраэдрическую функцию $f(u)$ второго нормального вида через

$f'_{\text{т}}(u).$

‎Пусть:

$f'_{\text{т}}(u)=a_{0}u^{4}+a_{1}u^{3}+a_{2}u^{2}+a_{3}u+a_{4}.$

(36)

‎Возьмем уравнение: