Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/180

$f(u)=0$ и $f(\alpha u+\beta ,\;\gamma u+\delta )=0$

(7)

‎должны быть тождественны между собою.

Это мы можемъ выразить словами:

Уравненіе:

$f(u)=0$

‎имѣетъ ту же группу линейныхъ подстановокъ, какъ и уравненіе (1')^[1].

Пользуясь этимъ, легко опредѣлить числовыя величины коэффиціентовъ многочлена $f(u)$.

Для этого возьмемъ многочленъ $\nu$-ой степени:

$f(u)=a_{0}u^{\nu }+a_{1}u^{\nu -1}+\ldots +a_{\nu -1}u+a_{\nu },$

(8)

‎приравняемъ его нулю и потребуемъ, чтобы уравненіе:

$a_{0}u^{\nu }+a_{1}u^{\nu -1}+\ldots +a_{\nu -1}u+a_{\nu }=0$

(9)

‎отъ преобразованія посредствомъ основныхъ подстановокъ $S$ и ${\mathfrak {T}}$ соотвѣтствующей группы не мѣнялось.

Лѣвая часть полученнаго такимъ образомъ уравненія опредѣлитъ величину функціи $f(u)$ до постояннаго множителя. Знаніе неосновной подстановки $U$ нѣсколько облегчитъ вычисленія.

Найдя функцію $f(u)$, мы вычислимъ по извѣстнымъ правиламъ коваріанты $H(u)$ и $T(u)$ и опредѣлимъ постоянныя $c$ и $c'$ изъ условія (2).

Тогда уравненіе (1), соотвѣтствующее данной группѣ, будетъ вполнѣ опредѣлено.

§ 22. Уравненіе двупирамидное.

Мы получили уже въ [[../../Глава I/ДО#§4|§ 4]] двупирамидное уравненіе въ такой формѣ:

${\frac {\left({\dfrac {u^{m}+1}{2}}\right)^{2}}{u^{m}}}=z.$

(10)

1. Это и понятно: уравненіе (1') при $z=\infty$ обращается въ $f^{\lambda }(u)=0.$

Тот же текст в современной орфографии

$f(u)=0$ и $f(\alpha u+\beta ,\;\gamma u+\delta )=0$

(7)

‎должны быть тождественны между собой.

Это мы можем выразить словами:

Уравнение:

$f(u)=0$

‎имеет ту же группу линейных подстановок, как и уравнение (1')^[1].

Пользуясь этим, легко определить числовые величины коэффициентов многочлена $f(u)$.

Для этого возьмем многочлен $\nu$-ой степени:

$f(u)=a_{0}u^{\nu }+a_{1}u^{\nu -1}+\ldots +a_{\nu -1}u+a_{\nu },$

(8)

‎приравняем его нулю и потребуем, чтобы уравнение:

$a_{0}u^{\nu }+a_{1}u^{\nu -1}+\ldots +a_{\nu -1}u+a_{\nu }=0$

(9)

‎от преобразования посредством основных подстановок $S$ и ${\mathfrak {T}}$ соответствующей группы не менялось.

Левая часть полученного таким образом уравнения определит величину функции $f(u)$ до постоянного множителя. Знание неосновной подстановки $U$ несколько облегчит вычисления.

Найдя функцию $f(u)$, мы вычислим по известным правилам коварианты $H(u)$ и $T(u)$ и определим постоянные $c$ и $c'$ из условия (2).

Тогда уравнение (1), соответствующее данной группе, будет вполне определено.

§ 22. Уравнение двупирамидное.

Мы получили уже в § 4 двупирамидное уравнение в такой форме:

${\frac {\left({\dfrac {u^{m}+1}{2}}\right)^{2}}{u^{m}}}=z.$

(10)

1. Это и понятно: уравнение (1') при $z=\infty$ обращается в $f^{\lambda }(u)=0.$