Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/181

‎Мы можемъ его представить въ нѣсколько иномъ видѣ:

$\left({\dfrac {u^{m}+1}{2}}\right)^{2}:\left({\dfrac {u^{m}-1}{2}}\right)^{2}:u^{m}=z:z-1:1.$

(11)

‎Остается показать, что это уравненіе есть нормальное двупирамидное уравненіе, т. е. не мѣняется отъ подстановокъ нормальной двупирамидной группы, найденной нами въ § 15.

Основныя подстановки нормальной двупирамидной группы таковы:

$S_{\text{д}}(u)=\varepsilon u,\ {\mathfrak {T}}_{\text{д}}(u)={\frac {1}{u}},$ гдѣ $\varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{m}}.$

(12)

‎Инваріантность уравненія (11) по отношенію къ этимъ подстановкамъ ясна сама собою.

---

Посмотримъ, каково двупирамидное уравненіе общаго вида, не нормальное.

Для этого преобразуемъ уравненіе (11) произвольною линейною подстановкою:

$u={\frac {au'+b}{cu'+d}}.$

(13)

‎Оно приметъ видъ:

${\begin{matrix}\left[{\dfrac {(au'+b)^{m}+(cu'+d)^{m}}{2}}\right]:\left[{\dfrac {(au'+b)^{m}-(cu'+d)^{m}}{2}}\right]^{2}:\\:\,(au'+b)^{m}(cu'+d)^{m}=z:z-1:1.\end{matrix}}$

(14)

‎Выраженія:

$au'+b$ и $cu'+d$

‎суть двѣ совершенно произвольныя цѣлыя линейныя функціи.

Обозначивъ ихъ буквами:

$f_{1}$ и $f_{2},$

‎мы приведемъ уравненіе (14) къ виду:

Тот же текст в современной орфографии

‎Мы можем его представить в несколько ином виде:

$\left({\dfrac {u^{m}+1}{2}}\right)^{2}:\left({\dfrac {u^{m}-1}{2}}\right)^{2}:u^{m}=z:z-1:1.$

(11)

‎Остается показать, что это уравнение есть нормальное двупирамидное уравнение, т. е. не меняется от подстановок нормальной двупирамидной группы, найденной нами в § 15.

Основные подстановки нормальной двупирамидной группы таковы:

$S_{\text{д}}(u)=\varepsilon u,\ {\mathfrak {T}}_{\text{д}}(u)={\frac {1}{u}},$ где $\varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{m}}.$

(12)

‎Инвариантность уравнения (11) по отношению к этим подстановкам ясна сама собой.

---

Посмотрим, каково двупирамидное уравнение общего вида, не нормальное.

Для этого преобразуем уравнение (11) произвольной линейной подстановкой:

$u={\frac {au'+b}{cu'+d}}.$

(13)

‎Оно примет вид:

${\begin{matrix}\left[{\dfrac {(au'+b)^{m}+(cu'+d)^{m}}{2}}\right]:\left[{\dfrac {(au'+b)^{m}-(cu'+d)^{m}}{2}}\right]^{2}:\\:\,(au'+b)^{m}(cu'+d)^{m}=z:z-1:1.\end{matrix}}$

(14)

‎Выражения:

$au'+b$ и $cu'+d$

‎суть две совершенно произвольные целые линейные функции.

Обозначив их буквами:

$f_{1}$ и $f_{2},$

‎мы приведем уравнение (14) к виду: