Алгебраические уравнения, разрешимые в гипергеометрических функциях (Лахтин)/Глава V

Алгебраические уравнения, разрешимые в гипергеометрических функциях — Глава V. Нормальные виды алгебраических уравнений, имеющих корнями отношения частных интегралов линейного дифференциального уравнения второго порядка
автор Л. К. Лахтин
Опубл.: 1893 год.

 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
773
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
776
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
778
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
783
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
787

[773]
Глава V.
Нормальный вид алгебраических уравнений, имеющих корнями отношения частных интегралов линейного дифференциального уравнения 2-го порядка.

Припомним главнейшие результаты, найденные в главах IIIV.

Алгебраические уравнения, имеющие корнями отношения частных интегралов линейного дифференциального уравнения 2-го порядка, приводятся к виду:

(1)

причем между многочленами существует тождественная зависимость:

(2)

Уравнения эти принадлежат к одному из четырех типов: двупирамидному, тетраэдрическому, октаэдрическому или икосаэдрическому.

Степень уравнения (1), степени многочленов и показатели приведены в таблице: [774]

(3)

Все уравнения вида (1) удовлетворяются функциями Шварца:

Каждое из уравнений рассматриваемого класса имеет группу линейных подстановок.

Все уравнения одного типа и одинаковой степени эквивалентны между собой, т. е. из одного уравнения данного типа все остальные уравнения того же типа и той же степени могут быть получены линейными преобразованиями. Поэтому достаточно для каждого типа построить одно нормальное уравнение и найти способ решения его: этим самым решится задача о решении всех уравнений изучаемого класса.

Наконец, в главе IV мы нашли нормальные группы линейных подстановок. Уравнения, соответствующие этим группам мы назовем нормальными. [775]

Вычисление коэффициентов этих уравнений есть задача настоящей главы.

§ 21. Общие приемы вычисления коэффициентов уравнения, соответствующего данной группе.

Представим уравнение (1) в таком виде:

(1')

Пусть одна из подстановок группы этого уравнения есть:

(4)

В таком случае уравнение:

(5)

должно быть тождественно с уравнением (1'), ибо уравнение (1') неприводимо.

Так как степени многочленов и одинаковы (они равны ), то уравнение (5) можно представить в таком виде:

[1]

(6)

Так как уравнение (6) тождественно с (1'), то числитель и знаменатель левой части уравнения (6) могут разниться от и лишь постоянным множителем.

Отсюда следует, что уравнения: [776]

и

(7)

должны быть тождественны между собой.

Это мы можем выразить словами:

Уравнение:

имеет ту же группу линейных подстановок, как и уравнение (1')[2].

Пользуясь этим, легко определить числовые величины коэффициентов многочлена .

Для этого возьмем многочлен -ой степени:

(8)

приравняем его нулю и потребуем, чтобы уравнение:

(9)

от преобразования посредством основных подстановок и соответствующей группы не менялось.

Левая часть полученного таким образом уравнения определит величину функции до постоянного множителя. Знание неосновной подстановки несколько облегчит вычисления.

Найдя функцию , мы вычислим по известным правилам коварианты и и определим постоянные и из условия (2).

Тогда уравнение (1), соответствующее данной группе, будет вполне определено.

§ 22. Уравнение двупирамидное.

Мы получили уже в § 4 двупирамидное уравнение в такой форме:

(10)

[777]

Мы можем его представить в несколько ином виде:

(11)

Остается показать, что это уравнение есть нормальное двупирамидное уравнение, т. е. не меняется от подстановок нормальной двупирамидной группы, найденной нами в § 15.

Основные подстановки нормальной двупирамидной группы таковы:

где

(12)

Инвариантность уравнения (11) по отношению к этим подстановкам ясна сама собой.


Посмотрим, каково двупирамидное уравнение общего вида, не нормальное.

Для этого преобразуем уравнение (11) произвольной линейной подстановкой:

(13)

Оно примет вид:

(14)

Выражения:

и

суть две совершенно произвольные целые линейные функции.

Обозначив их буквами:

и

мы приведем уравнение (14) к виду: [778]

(15)

Положив:

(16)

мы приведем уравнение (15) к виду уравнения (1):

(17)

Таков самый общий вид двупирамидпого уравнения.

В нем функция совершенно произвольный квадратный многочлен. Обозначив линейные множители его через и , мы определим функции и из формул (16).

Между функциями существует тождественная зависимость:

(18)

соответствующая тождеству (2).

§ 23. Уравнение тетраэдрическое.

I.
Первая нормальная форма.

Основные подстановки тетраэдрической группы в первом нормальном виде суть следующие:

(19)

Кроме того, нам известна одна очень простая неосновная подстановка:

(20)

Обозначим тетраэдрическую функцию первого нормального вида через: [779]

Пусть:

(21)

Возьмем уравнение:

(22)

Совершим над ним основную подстановку :

(23)

Сравнивая уравнения (22) и (23), находим:

Уравнение (22) принимает вид:

(24)

Совершаем неосновную подстановку :

(25)

Сравнивая уравнения (24) и (25), находим:

Полагая , приведем уравнение (24) к виду:

(26)

Совершаем основную подстановку :

(27)

Сравнивая уравнения (26) и (27), находим:

[780]

Мы вправе взять в этом выражении какой угодно из двух знаков: + пли , потому что, какой бы знак мы ни взяли, уравнение:

(28)

не будет меняться от основных подстановок и первой нормальной тетраэдрической группы.

Возьмем верхний знак.

Тогда:

(29)

Вычислив коварианты и многочлена , находим:

(30)

(31)

Подставив выражения (29), (30), (31) в равенство (2) и требуя, чтобы оно удовлетворялось тождественно, находим:

(32)

Первое нормальное тетраэдрическое уравнение таково:

(33)

Сделаем два замечания по поводу выражений (29), (30), (31).

1) Выражение , даваемое формулой (31), по видимому пятой степени, тогда как таблица (3) показывает, что степень многочлена равна 6.

Причина этого лежит в том, что коэффициент при в многочлене (31) равен 0. Действительно, бинарная форма , соответствующая многочлену , такова:

[781]

С подобным обстоятельством мы встретимся ниже при определении многочлена .

2) Если бы в формуле (27) мы приняли , то многочлен получил бы выражение (30), а соответствующий ему гессиан — выражение (29), и уравнение (33) приняло бы вид:

(34)

Ясно, что уравнение (34) получается из уравнения (33) линейным преобразованием:

Уравнение (34) есть одно из бесконечного числа уравнений того же тетраэдрического типа, как и уравнение (33).

II.
Вторая нормальная форма.

Основные подстановки второй нормальной тетраэдрической группы таковы:

где

(35)

Обозначим тетраэдрическую функцию второго нормального вида через

Пусть:

(36)

Возьмем уравнение: [782]

(37)

Совершим над ним основную подстановку :

(38)

Сравнивая уравнения (37) и (38), находим:

Уравнение (37) принимает вид:

(39)

Совершаем подстановку :

(40)

Левая часть уравнения (40) при обращается в

Так как в левой части уравнения (39) свободный член равен 0, то

(41)

Уравнение (39) примет вид:

(42)

Итак:

(43)

Соответствующие коварианты и таковы:

(44)

(45)

Подставляя выражения (43), (44), (45) в условие (2), находим:

(46)

[783]

Второе нормальное тетраэдрическое уравнение таково:

(47)

Так как сети треугольников, соответствующие уравнениям (33) и (47), эквивалентны, то уравнение (47) может быть получено из уравнения (33) линейным преобразованием неизвестной.


Функции третьего нормального тетраэдрического типа мы не вычисляем, потому что они довольно сложны и нам впоследствии нужны не будут.

Функции третьего нормального типа могут быть получены из функций:

подстановкой , определяемой формулой (17) главы IV.

§ 24. Уравнение октаэдрическое.

I.
Первая нормальная форма.

Основные подстановки первой нормальной октаэдрической группы таковы:

(48)

Кроме того, существует очень простая неосновная подстановка:

(49)

Пусть:

(50)

Возьмем уравнение: [784]

(51)

Совершим подстановку :

(52)

Если мы допустим, что отлично от 0, то сравнивая между собой уравнения (51) и (52), придем к заключению:

В таком случае функция делится на , форма имеет два равных линейных множителя: она делится на , что противоречит определению первичной формы.

Итак, коэффициент равен 0.

Сравнивая между собой уравнения (51) и (52) в предположении, что равно 0, отлично от 0[3], находим:

Уравнение (51) принимает вид:

(53)

Совершим над уравнением (53) подстановку :

(54)

Левая часть уравнения (54) при обращается в:

Так как в левой части уравнения (53) свободный член равен 0, то:

(55)

[785]

Итак, многочлен выражается следующим образом:

(56)

Отсюда:

(57)

(58)

Из условия (2) находим, что:

(59)

Первое нормальное октаэдрическое уравнение таково:

(60)
II.
Вторая нормальная форма.

Основные подстановки второй нормальной октаэдрической группы таковы:

(61)

Применяя тот же прием, который мы подробно проследили на трех предшествующих случаях, мы найдем такое выражение функции :

(62)

Отсюда:

(63)
[786]

(64)

Второе нормальное октаэдрическое уравнение таково:

(65)
III.
Третья нормальная форма.

Для нахождения октаэдрической функции в третьей нормальной форме, преобразуем найденную нами функцию

линейной подстановкой:

где

Эта подстановка была нами найдена в § 14.

Выполнив вычисления, находим:

(66)

откуда:

(67)

Функцию мы не вычисляем, так как она нам нужна не будет. [787]

§ 25. Уравнение икосаэдрическое.

Основные подстановки первой нормальной икосаэдрической группы таковы:

(68)

кроме того существует, как мы знаем, одна очень простая неосновная подстановка:

Положив:

(69)

и применяя затем приемы уже подробно рассмотренные выше, мы придем к заключению, что:

Поэтому имеем:

(70)

Отсюда:

(71)

(72)

Из условия (2) находим:

(73)

Нормальное икосаэдрическое уравнение таково:

(74)


Сноски

править
  1. Следуя прежним обозначениям, мы полагаем:

  2. Это и понятно: уравнение (1') при обращается в

  3. Коэффициенты и не могут равняться одновременно нулю; иначе форма имела бы два равных линейных множителя: она делилась бы на .