Алгебраические уравнения, разрешимые в гипергеометрических функциях (Лахтин)/Глава V

Алгебраические уравнения, разрешимые в гипергеометрических функциях — Глава V. Нормальные виды алгебраических уравнений, имеющих корнями отношения частных интегралов линейного дифференциального уравнения второго порядка
автор Л. К. Лахтин

§ 21. Общие приемы вычисления коэффициентов уравнения, соответствующего данной группе  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

773

§ 22. Уравнение двупирамидное  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

776

§ 23. Уравнение тетраэдрическое  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

778

§ 24. Уравнение октаэдрическое  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

783

§ 25. Уравнение икосаэдрическое  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

787

---

Глава V.

Нормальный вид алгебраических уравнений, имеющих корнями отношения частных интегралов линейного дифференциального уравнения 2-го порядка.

Припомним главнейшие результаты, найденные в главах II—IV.

Алгебраические уравнения, имеющие корнями отношения частных интегралов линейного дифференциального уравнения 2-го порядка, приводятся к виду:

$H^{\lambda _{1}}(u):c'T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)=z:z-1:1,$

(1)

‎причем между многочленами $H(u),\ T(u),\ f(u)$ существует тождественная зависимость:

$H^{\lambda _{1}}(u)-cf^{\lambda }(u)=c'T^{\lambda _{2}}(u).$

(2)

‎Уравнения эти принадлежат к одному из четырех типов: двупирамидному, тетраэдрическому, октаэдрическому или икосаэдрическому.

Степень $N$ уравнения (1), степени $\nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$ многочленов $f(u),\ H(u),\ T(u)$ и показатели $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ приведены в таблице:

${\begin{array}{r|c|c|c|c|}\hline &{\begin{matrix}{\text{Двупи-}}\\{\text{рамид.}}\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\text{Тетра-}}\\{\text{эдрич.}}\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\text{Окта-}}\\{\text{эдрич.}}\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\text{Икоса-}}\\{\text{эдрич.}}\end{matrix}}\\\hline N=&2m&12&24&60\\\hline \nu =&2&4&6&12\\\hline \nu _{1}=&m&4&8&20\\\hline \nu _{2}=&m&6&12&30\\\hline \lambda =&m&3&4&5\\\hline \lambda _{1}=&2&3&3&3\\\hline \lambda _{2}=&2&2&2&2\\\hline \end{array}}$

(3)

‎Все уравнения вида (1) удовлетворяются функциями Шварца:

$s\left({\frac {1}{\lambda _{1}}},\;{\frac {1}{\lambda }},\;{\frac {1}{\lambda _{2}}},\;z\right).$

‎Каждое из уравнений рассматриваемого класса имеет группу линейных подстановок.

Все уравнения одного типа и одинаковой степени эквивалентны между собой, т. е. из одного уравнения данного типа все остальные уравнения того же типа и той же степени могут быть получены линейными преобразованиями. Поэтому достаточно для каждого типа построить одно нормальное уравнение и найти способ решения его: этим самым решится задача о решении всех уравнений изучаемого класса.

Наконец, в главе IV мы нашли нормальные группы линейных подстановок. Уравнения, соответствующие этим группам мы назовем нормальными.

Вычисление коэффициентов этих уравнений есть задача настоящей главы.

§ 21. Общие приемы вычисления коэффициентов уравнения, соответствующего данной группе.

Представим уравнение (1) в таком виде:

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}=z.$

(1')

‎Пусть одна из подстановок группы этого уравнения есть:

$\Sigma (u)={\frac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}.$

(4)

‎В таком случае уравнение:

${\frac {H^{\lambda _{1}}\left({\dfrac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}\right)}{cf^{\lambda }\left({\dfrac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}\right)}}=z,$

(5)

‎должно быть тождественно с уравнением (1'), ибо уравнение (1') неприводимо.

Так как степени многочленов $H^{\lambda _{1}}(u)$ и $f^{\lambda }(u)$ одинаковы (они равны $N$), то уравнение (5) можно представить в таком виде:

${\frac {H^{\lambda _{1}}(\alpha u+\beta ,\;\gamma u+\delta )}{cf^{\lambda }(\alpha u+\beta ,\;\gamma u+\delta )}}=z.$[1]

(6)

‎Так как уравнение (6) тождественно с (1'), то числитель и знаменатель левой части уравнения (6) могут разниться от $H^{\lambda _{1}}(u)$ и $f^{\lambda }(u)$ лишь постоянным множителем.

Отсюда следует, что уравнения:

$f(u)=0$ и $f(\alpha u+\beta ,\;\gamma u+\delta )=0$

(7)

‎должны быть тождественны между собой.

Это мы можем выразить словами:

Уравнение:

$f(u)=0$

‎имеет ту же группу линейных подстановок, как и уравнение (1')^[2].

Пользуясь этим, легко определить числовые величины коэффициентов многочлена $f(u)$.

Для этого возьмем многочлен $\nu$-ой степени:

$f(u)=a_{0}u^{\nu }+a_{1}u^{\nu -1}+\ldots +a_{\nu -1}u+a_{\nu },$

(8)

‎приравняем его нулю и потребуем, чтобы уравнение:

$a_{0}u^{\nu }+a_{1}u^{\nu -1}+\ldots +a_{\nu -1}u+a_{\nu }=0$

(9)

‎от преобразования посредством основных подстановок $S$ и ${\mathfrak {T}}$ соответствующей группы не менялось.

Левая часть полученного таким образом уравнения определит величину функции $f(u)$ до постоянного множителя. Знание неосновной подстановки $U$ несколько облегчит вычисления.

Найдя функцию $f(u)$, мы вычислим по известным правилам коварианты $H(u)$ и $T(u)$ и определим постоянные $c$ и $c'$ из условия (2).

Тогда уравнение (1), соответствующее данной группе, будет вполне определено.

§ 22. Уравнение двупирамидное.

Мы получили уже в § 4 двупирамидное уравнение в такой форме:

${\frac {\left({\dfrac {u^{m}+1}{2}}\right)^{2}}{u^{m}}}=z.$

(10)

‎Мы можем его представить в несколько ином виде:

$\left({\dfrac {u^{m}+1}{2}}\right)^{2}:\left({\dfrac {u^{m}-1}{2}}\right)^{2}:u^{m}=z:z-1:1.$

(11)

‎Остается показать, что это уравнение есть нормальное двупирамидное уравнение, т. е. не меняется от подстановок нормальной двупирамидной группы, найденной нами в § 15.

Основные подстановки нормальной двупирамидной группы таковы:

$S_{\text{д}}(u)=\varepsilon u,\ {\mathfrak {T}}_{\text{д}}(u)={\frac {1}{u}},$ где $\varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{m}}.$

(12)

‎Инвариантность уравнения (11) по отношению к этим подстановкам ясна сама собой.

---

Посмотрим, каково двупирамидное уравнение общего вида, не нормальное.

Для этого преобразуем уравнение (11) произвольной линейной подстановкой:

$u={\frac {au'+b}{cu'+d}}.$

(13)

‎Оно примет вид:

${\begin{matrix}\left[{\dfrac {(au'+b)^{m}+(cu'+d)^{m}}{2}}\right]^{2}:\left[{\dfrac {(au'+b)^{m}-(cu'+d)^{m}}{2}}\right]^{2}:\\:\,(au'+b)^{m}(cu'+d)^{m}=z:z-1:1.\end{matrix}}$

(14)

‎Выражения:

$au'+b$ и $cu'+d$

‎суть две совершенно произвольные целые линейные функции.

Обозначив их буквами:

$f_{1}$ и $f_{2},$

‎мы приведем уравнение (14) к виду:

$\left({\frac {f_{1}^{m}+f_{2}^{m}}{2}}\right)^{2}:\left({\frac {f_{1}^{m}-f_{2}^{m}}{2}}\right)^{2}:f_{1}^{m}f_{2}^{m}=z:z-1:1.$

(15)

‎Положив:

${\frac {f_{1}^{m}+f_{2}^{m}}{2}}=H(u'),\ {\frac {f_{1}^{m}-f_{2}^{m}}{2}}=T(u'),\ f_{1}f_{2}=f(u'),$

(16)

‎мы приведем уравнение (15) к виду уравнения (1):

$H^{2}(u'):T^{2}(u):f^{m}(u')=z:z-1:1.$

(17)

‎Таков самый общий вид двупирамидпого уравнения.

В нем функция $f(u')$ совершенно произвольный квадратный многочлен. Обозначив линейные множители его через $f_{1}$ и $f_{2}$, мы определим функции $H(u')$ и $T(u')$ из формул (16).

Между функциями $H(u'),\ T(u'),\ f(u')$ существует тождественная зависимость:

$H^{2}(u')-f^{m}(u')=T^{2}(u),$

(18)

‎соответствующая тождеству (2).

§ 23. Уравнение тетраэдрическое.

I. Первая нормальная форма.

Основные подстановки тетраэдрической группы в первом нормальном виде суть следующие:

$S_{\text{т}}(u)=i{\frac {1-u}{1+u}},\ {\mathfrak {T}}_{\text{т}}(u)=-u.$

(19)

‎Кроме того, нам известна одна очень простая неосновная подстановка:

$U_{\text{т}}(u)={\frac {1}{u}}.$

(20)

‎Обозначим тетраэдрическую функцию $f(u)$ первого нормального вида через:

$f_{\text{т}}(u).$

‎Пусть:

$f_{\text{т}}(u)=a_{0}u^{4}+a_{1}u^{3}+a_{2}u^{2}+a_{3}u+a_{4}.$

(21)

‎Возьмем уравнение:

$a_{0}u^{4}+a_{1}u^{3}+a_{2}u^{2}+a_{3}u+a_{4}=0.$

(22)

‎Совершим над ним основную подстановку ${\mathfrak {T}}_{\text{т}}$:

$a_{0}u^{4}-a_{1}u^{3}+a_{2}u^{2}-a_{3}u+a_{4}=0.$

(23)

‎Сравнивая уравнения (22) и (23), находим:

$a_{1}=a_{3}=0.$

‎Уравнение (22) принимает вид:

$a_{0}u^{4}+a_{2}u^{2}+a_{4}=0.$

(24)

‎Совершаем неосновную подстановку $U_{\text{т}}$:

$a_{4}u^{4}+a_{2}u^{2}+a_{0}=0.$

(25)

‎Сравнивая уравнения (24) и (25), находим:

$a_{0}=a_{4}.$

‎Полагая ${\frac {a_{2}}{a_{0}}}=a$, приведем уравнение (24) к виду:

$u^{4}+au^{2}+1=0.$

(26)

‎Совершаем основную подстановку $S_{\text{т}}$:

$u^{4}+{\frac {2a+12}{2-a}}u^{2}+1=0.$

(27)

‎Сравнивая уравнения (26) и (27), находим:

$a=\pm 2i{\sqrt {3}}.$

Мы вправе взять в этом выражении какой угодно из двух знаков: + пли −, потому что, какой бы знак мы ни взяли, уравнение:

$u^{4}\pm 2i{\sqrt {3}}u^{2}+1=0$

(28)

‎не будет меняться от основных подстановок $S_{\text{т}}$ и ${\mathfrak {T}}_{\text{т}}$ первой нормальной тетраэдрической группы.

Возьмем верхний знак.

Тогда:

$f_{\text{т}}(u)=u^{4}+2i{\sqrt {3}}u^{2}+1.$

(29)

‎Вычислив коварианты $H_{\text{т}}(u)$ и $T_{\text{т}}(u)$ многочлена $f_{\text{т}}(u)$, находим:

$f_{\text{т}}(u)=u^{4}-2i{\sqrt {3}}u^{2}+1,$

(30)

$T_{\text{т}}(u)=u^{5}-u.$

(31)

‎Подставив выражения (29), (30), (31) в равенство (2) и требуя, чтобы оно удовлетворялось тождественно, находим:

$c=1,\;c'=-12i{\sqrt {3}}.$

(32)

‎Первое нормальное тетраэдрическое уравнение таково:

${\begin{matrix}(u^{4}-2i{\sqrt {3}}u^{2}+1)^{3}:-12i{\sqrt {3}}(u^{5}-u)^{2}:(u^{4}+2i{\sqrt {3}}u^{2}+1)^{3}=\\=z:z-1:1.\end{matrix}}$

(33)

‎Сделаем два замечания по поводу выражений (29), (30), (31).

1) Выражение $T_{\text{т}}(u)$, даваемое формулой (31), по видимому пятой степени, тогда как таблица (3) показывает, что степень $\nu _{2}$ многочлена $T_{\text{т}}(u)$ равна 6.

Причина этого лежит в том, что коэффициент при $u^{6}$ в многочлене (31) равен 0. Действительно, бинарная форма $T(y',\;y'')$, соответствующая многочлену $T(u)$, такова:

$T(y',\;y'')=y'y''(y'^{\,5}-y''^{\,5}).$

‎С подобным обстоятельством мы встретимся ниже при определении многочлена $f(u)$.

2) Если бы в формуле (27) мы приняли $a=-2i{\sqrt {3}}$, то многочлен $f(u)$ получил бы выражение (30), а соответствующий ему гессиан $H(u)$ — выражение (29), и уравнение (33) приняло бы вид:

${\begin{matrix}(u^{4}+2i{\sqrt {3}}u^{2}+1)^{3}:12i{\sqrt {3}}(u^{5}-u)^{2}:(u^{4}-2i{\sqrt {3}}u^{2}+1)^{3}=\\=z:z-1:1.\end{matrix}}$

(34)

‎Ясно, что уравнение (34) получается из уравнения (33) линейным преобразованием:

$\Sigma (u)=iu.$

‎Уравнение (34) есть одно из бесконечного числа уравнений того же тетраэдрического типа, как и уравнение (33).

II. Вторая нормальная форма.

Основные подстановки второй нормальной тетраэдрической группы таковы:

$S'_{\text{т}}(u)=\varepsilon u,\ {\mathfrak {T}}'_{\text{т}}(u)={\frac {{\sqrt {2}}-u}{{\sqrt {2}}u+1}},$ где $\varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{3}}.$

(35)

‎Обозначим тетраэдрическую функцию $f(u)$ второго нормального вида через

$f'_{\text{т}}(u).$

‎Пусть:

$f'_{\text{т}}(u)=a_{0}u^{4}+a_{1}u^{3}+a_{2}u^{2}+a_{3}u+a_{4}.$

(36)

‎Возьмем уравнение:

$a_{0}u^{4}+a_{1}u^{3}+a_{2}u^{2}+a_{3}u+a_{4}=0.$

(37)

‎Совершим над ним основную подстановку $S'_{\text{т}}$:

$a_{0}u^{4}+\varepsilon ^{2}a_{1}u^{3}+\varepsilon a_{2}u^{2}+a_{3}u+\varepsilon ^{3}a_{4}=0.$

(38)

‎Сравнивая уравнения (37) и (38), находим:

$a_{1}=a_{2}=a_{4}=0.$

‎Уравнение (37) принимает вид:

$a_{0}u^{4}+a_{3}u=0.$

(39)

‎Совершаем подстановку ${\mathfrak {T}}'_{\text{т}}$:

$a_{0}({\sqrt {2}}-u)^{4}+({\sqrt {2}}-u)({\sqrt {2}}u+1)^{3}=0.$

(40)

‎Левая часть уравнения (40) при $u=0$ обращается в

$4a_{0}+{\sqrt {2}}a_{3}.$

‎Так как в левой части уравнения (39) свободный член равен 0, то

$a_{3}=-2{\sqrt {2}}a_{0}.$

(41)

‎Уравнение (39) примет вид:

$u^{4}-2{\sqrt {2}}u=0.$

(42)

‎Итак:

$f'_{\text{т}}(u)=u^{4}-2{\sqrt {2}}u.$

(43)

‎Соответствующие коварианты $H'_{\text{т}}$ и $T'_{\text{т}}$ таковы:

$H'_{\text{т}}(u)=2{\sqrt {2}}u^{3}+1,$

(44)

$T'_{\text{т}}(u)=u^{6}+5{\sqrt {2}}u^{3}-1.$

(45)

‎Подставляя выражения (43), (44), (45) в условие (2), находим:

$c=-1,\;c'=1.$

(46)

‎Второе нормальное тетраэдрическое уравнение таково:

$(2{\sqrt {2}}u^{3}+1)^{3}:(u^{6}+5{\sqrt {2}}u^{3}-1)^{2}:-(u^{4}-{\sqrt {2}}u)^{3}=z:z-1:1.$

(47)

‎Так как сети треугольников, соответствующие уравнениям (33) и (47), эквивалентны, то уравнение (47) может быть получено из уравнения (33) линейным преобразованием неизвестной.

---

Функции $f''_{\text{т}},\ H''_{\text{т}},\ T''_{\text{т}}$ третьего нормального тетраэдрического типа мы не вычисляем, потому что они довольно сложны и нам впоследствии нужны не будут.

Функции третьего нормального типа могут быть получены из функций:

$f_{\text{т}},\ H_{\text{т}},\ T_{\text{т}}$

‎подстановкой $\sigma$, определяемой формулой (17) главы IV.

§ 24. Уравнение октаэдрическое.

I. Первая нормальная форма.

Основные подстановки первой нормальной октаэдрической группы таковы:

$S_{\text{о}}(u)=iu,\;{\mathfrak {T}}_{\text{о}}={\frac {1-u}{1+u}}.$

(48)

‎Кроме того, существует очень простая неосновная подстановка:

$U_{\text{о}}(u)={\frac {1}{u}}.$

(49)

‎Пусть:

$f_{\text{о}}(u)=a_{0}u^{6}+a_{1}u^{5}+a_{2}u^{4}+a_{3}u^{3}+a_{4}u^{2}+a_{5}u+a_{6}.$

(50)

‎Возьмем уравнение:

$a_{0}u^{6}+a_{1}u^{5}+a_{2}u^{4}+a_{3}u^{3}+a_{4}u^{2}+a_{5}u+a_{6}=0.$

(51)

‎Совершим подстановку $S_{\text{о}}$:

$a_{0}u^{6}-a_{1}iu^{5}-a_{2}u^{4}+a_{3}iu^{3}+a_{4}u^{2}-a_{5}iu-a_{6}=0.$

(52)

‎Если мы допустим, что $a_{0}$ отлично от 0, то сравнивая между собой уравнения (51) и (52), придем к заключению:

$a_{6}=a_{5}=0.$

‎В таком случае функция $f_{\text{о}}(u)$ делится на $u^{2}$, форма $f_{\text{о}}(y',\;y'')$ имеет два равных линейных множителя: она делится на $y'^{\,2}$, что противоречит определению первичной формы.

Итак, коэффициент $a_{0}$ равен 0.

Сравнивая между собой уравнения (51) и (52) в предположении, что $a_{0}$ равно 0, $a_{1}$ отлично от 0^[3], находим:

$a_{0}=a_{2}=a_{3}=a_{4}=a_{6}=0.$

‎Уравнение (51) принимает вид:

$a_{1}u^{5}+a_{5}u=0.$

(53)

‎Совершим над уравнением (53) подстановку ${\mathfrak {T}}_{\text{о}}$:

$(1-u^{2})\{a_{1}(1-u)^{4}+a_{5}(1+u)^{4}\}=0.$

(54)

‎Левая часть уравнения (54) при $u=0$ обращается в:

$a_{1}+a_{5}.$

‎Так как в левой части уравнения (53) свободный член равен 0, то:

$a_{1}+a_{5}=0;\;a_{5}=-a_{1}.$

(55)

‎Итак, многочлен $f_{\text{о}}(u)$ выражается следующим образом:

$f_{\text{о}}(u)=u^{5}-u.$

(56)

‎Отсюда:

$H_{\text{о}}(u)=u^{8}+14u^{4}+1,$

(57)

$T_{\text{о}}(u)=u^{12}-33u^{8}-33u^{4}+1.$

(58)

‎Из условия (2) находим, что:

$c'=1,\;c=108.$

(59)

‎Первое нормальное октаэдрическое уравнение таково:

${\begin{matrix}(u^{8}+14u^{4}+1)^{3}:(u^{12}-33u^{8}-33u^{4}+1)^{2}:108(u^{5}-u)^{4}=\\=z:z-1:1.\end{matrix}}$

(60)

II. Вторая нормальная форма.

Основные подстановки второй нормальной октаэдрической группы таковы:

${\begin{matrix}\left.{\begin{array}{l}S'_{\text{о}}(u)=\varepsilon u,\\{\mathfrak {T}}'_{\text{о}}={\dfrac {1+{\sqrt {2}}\varepsilon ^{2}u}{u-{\sqrt {2}}\varepsilon }}\end{array}}\right\},&{\text{где}}\ \varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{3}}.\end{matrix}}$

(61)

‎Применяя тот же прием, который мы подробно проследили на трех предшествующих случаях, мы найдем такое выражение функции $f'_{\text{о}}(u)$:

$f'_{\text{о}}(u)=u^{6}+5{\sqrt {2}}u^{3}-1.$

(62)

‎Отсюда:

$H'_{\text{о}}(u)=u^{7}-{\frac {7}{2{\sqrt {2}}}}u^{4}-u,$

(63)

$T'_{\text{о}}(u)=u^{12}-22{\sqrt {2}}u^{9}-22{\sqrt {2}}u^{3}-1.$

(64)

‎Второе нормальное октаэдрическое уравнение таково:

${\begin{matrix}64{\sqrt {2}}\left(u^{7}-{\dfrac {7}{2{\sqrt {2}}}}u^{4}-u\right)^{3}:-{\biggl (}u^{12}-22{\sqrt {2}}u^{9}-22{\sqrt {2}}u^{3}-1{\biggr )}^{2}:\\:\,(u^{6}+5{\sqrt {2}}u^{3}-1)^{4}=z:z-1:1.\end{matrix}}$

(65)

III. Третья нормальная форма.

Для нахождения октаэдрической функции $f(u)$ в третьей нормальной форме, преобразуем найденную нами функцию

$f_{\text{о}}(u)=u^{5}-u$

‎линейной подстановкой:

$\sigma (u)={\frac {u+\operatorname {tg} {\dfrac {\theta }{2}}}{u\operatorname {tg} {\dfrac {\theta }{2}}-1}},$

‎где

$\operatorname {tg} \theta ={\frac {1}{2\cos 36^{\circ }}}.$

‎Эта подстановка была нами найдена в § 14.

Выполнив вычисления, находим:

$f''_{\text{о}}(u)=u^{6}+2u^{5}-5u^{4}-5u^{2}+1,$

(66)

‎откуда:

$H''_{\text{о}}(u)=u^{8}-u^{7}+7u^{6}+7u^{5}-7u^{3}-7u^{2}+u+1.$

(67)

‎Функцию $T''_{\text{о}}(u)$ мы не вычисляем, так как она нам нужна не будет.

§ 25. Уравнение икосаэдрическое.

Основные подстановки первой нормальной икосаэдрической группы таковы:

${\begin{matrix}\left.{\begin{array}{l}S_{\text{и}}(u)=\varepsilon u,\\{\mathfrak {T}}_{\text{и}}(u)={\dfrac {1+(\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3})u}{u-(\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3})}},\end{array}}\right\}&{\text{где}}\ \varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{5}},\end{matrix}}$

(68)

‎кроме того существует, как мы знаем, одна очень простая неосновная подстановка:

$U_{\text{и}}(u)=-{\frac {1}{u}}.$

‎Положив:

$f_{\text{и}}(u)=a_{0}u^{12}+a_{1}u^{11}+\ldots +a_{11}u+a_{12}$

(69)

‎и применяя затем приемы уже подробно рассмотренные выше, мы придем к заключению, что:

${\begin{matrix}a_{0}=a_{2}=a_{3}=a_{4}=a_{5}=a_{7}=a_{8}=a_{9}=a_{10}=a_{12}=0,\\{\dfrac {a_{6}}{a_{1}}}=11,\;{\dfrac {a_{11}}{a_{1}}}=-1.\end{matrix}}$

‎Поэтому имеем:

$f_{\text{и}}(u)=u^{11}+11u^{6}-u.$

(70)

‎Отсюда:

$H_{\text{и}}(u)=u^{20}-228u^{15}+494u^{10}+228u^{5}+1,$

(71)

$T_{\text{и}}(u)=u^{30}+522u^{25}-10005u^{20}-10005u^{10}-522u^{5}+1.$

(72)

‎Из условия (2) находим:

$c'=1,\;c=-1728.$

(73)

‎Нормальное икосаэдрическое уравнение таково:

${\begin{matrix}(u^{20}-228u^{15}+494u^{10}+228u^{5}+1)^{3}:(u^{30}+522u^{25}-10005u^{20}\,-\\-\,10005u^{10}-522u^{5}+1)^{2}:-1728(u^{11}+11u^{6}-u)^{5}=z:z-1:1.\end{matrix}}$

(74)

---

Сноски

1. Следуя прежним обозначениям, мы полагаем: ${\begin{matrix}(\gamma u+\delta )^{\nu }f\left({\dfrac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}\right)=f\left(\alpha u+\beta ,\;\gamma u+\delta \right),\\(\gamma u+\delta )^{\nu _{1}}H\left({\dfrac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}\right)=H\left(\alpha u+\beta ,\;\gamma u+\delta \right).\end{matrix}}$

2. Это и понятно: уравнение (1') при $z=\infty$ обращается в $f^{\lambda }(u)=0.$

3. Коэффициенты $a_{0}$ и $a_{1}$ не могут равняться одновременно нулю; иначе форма $f_{\text{о}}(y',\;y'')$ имела бы два равных линейных множителя: она делилась бы на $y''^{\,2}$.