Алгебраические уравнения, разрешимые в гипергеометрических функциях (Лахтин)/Глава VI

Алгебраические уравнения, разрешимые в гипергеометрических функциях — Глава VI. Инвариантные свойства первичных форм $f(y',\ y'')$, $H(y',\ y'')$, $T(y',\ y'')$. Соотношения между первичными функциями различных типов
автор Л. К. Лахтин

Опубл.: 1893 год.

§ 26. Ковариант $(f,\ f)^{4}$ первичной формы наинисшей степени $f(y',\ y'')$  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

788

§ 27. Выражение формы, инвариантной по отношению к бинарным линейным подстановкам конечной группы, через первичные формы: $f(y',\ y'')$, $H(y',\ y'')$, $T(y',\ y'')$  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

796

§ 28. Тождества, связывающие между собой первичные функции $f(u)$, $H(u)$, $T(u)$ различных типов  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

804

---

Глава VI.

Инвариантные свойства первичных форм $f(y',\;y'')$, $H(y',\;y'')$, $T(y',\;y'')$. Соотношения между первичными функциями различных типов.

§ 26. Ковариант $(f,\;f)^{4}$ первичной формы наинисшей степени $f(y',\;y'')$.

Следуя обозначениям, обычным в теории форм, будем подразумевать под символом:

$(f,\;f)^{4}$

‎ковариант второго порядка формы $f(y',\;y'')$:

$2\left\{{\frac {\partial ^{4}f}{\partial y'^{\,4}}}{\frac {\partial ^{4}f}{\partial y''^{\,4}}}-4{\frac {\partial ^{4}f}{\partial y'^{\,3}\partial y''}}{\frac {\partial ^{4}f}{\partial y'\partial y''^{\,3}}}+3\left({\frac {\partial ^{4}f}{\partial y'^{\,2}y''^{\,2}}}\right)^{2}\right\}.$

(1)

‎Составим ковариант для первичных форм $f(y',\;y'')$ тетраэдрического, октаэдрического и икосаэдрического типов^[1].

Формы $f(y',\;y'')$ одного и того же типа эквивалентны между собой; поэтому выражения коварианта $(f,\;f)^{4}$ для форм $f(y',\;y'')$ одного и того же типа разнятся между собой лишь некоторой (четвертой) степенью определителей линейных подстановок.

Мы возьмем формы $f(y',\;y'')$ в нормальных видах:

$f'_{\text{т}}(y',\;y'')=y'^{\,4}-2{\sqrt {2}}y'y''^{\,3},$

(2)

$f_{\text{о}}(y',\;y'')=y'y''(y'^{\,4}-y''^{\,4}),$

(3)

$f_{\text{и}}(y',\;y'')=y'y''(y'^{\,10}+11y'^{\,5}y''^{\,5}-y''^{\,10}).$

(4)

‎Найдя ковариант $(f,\;f)^{4}$ для форм (2), (3), (4) по формуле (1), мы убеждаемся в том, что он тождественно равен нулю.

Если так, то мы можем утверждать, что ковариант $(f,\;f)^{4}$ тождественно равен нулю и для всех форм, эквивалентных формам (2), (3), (4).

Отсюда следует:

Теорема 1. Ковариант $(f,\;f)^{4}$ для всякой первичной формы наинисшей степени $f(y',\;y'')$ тождественно равен нулю.

Докажем, что имеет место:

Теорема 2 (обратная). Если форма $f(y',\;y'')$ не имеет кратных корней и ковариант ее $(f,\;f)^{4}$ тождественно равен нулю, то она есть первичная форма наинисшей степени^[2].

Пусть форма:

$f(y',\;y'')=\sum _{k=0}^{\nu }(\nu )_{k}a_{k}y'^{\,\nu -k}y''^{\,k}$[3], где $\nu \geqslant 4,$

(5)

‎не имеет кратных корней и пусть имеет место тождество:

$(f,\;f)^{4}=0.$

(6)

Заметим прежде всего, что всякую бинарную форму, не имеющую кратных корней, линейной подстановкой можно преобразовать так, чтобы

$a_{0}=a_{2}=0,\ a_{1}=1.$

(7)

‎Мы будем предполагать, что форма (5) уже приведена к такому виду.

Выражение коварианта $(f,\;f)^{4}$ для формы (5) в раскрытом виде таково:

${\begin{matrix}(f,\;f)^{4}=2[\nu (\nu -1)(\nu -2)(\nu -3)]^{2}\times \\\times \,\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{\nu -4}\sum \limits _{h=0}^{\nu -4}}(\nu -4)_{k}(\nu -4)_{h}\left\{a_{k}a_{h+4}-4a_{k+1}a_{h+3}+3a_{k+2}a_{h+2}\right\}\times \\\times \,y'^{\,2\nu -k-h-8}y''^{\,k+h}.\end{matrix}}$

(8)

‎Вводим вместо $h$ новый индекс суммирования

$l=k+h\colon$

${\begin{matrix}(f,\;f)^{4}=2[\nu (\nu -1)(\nu -2)(\nu -3)]^{2}\times \\\times \,\displaystyle {\sum \limits _{l=0}^{2\nu -8}}y'^{\,\nu -l-8}y''^{\,l}\displaystyle {\sum \limits _{k=l,\;\nu -4}^{k=0,\;l-(\nu -4)}}(\nu -4)_{k}(\nu -4)_{l-k}\times \\\times \,\left\{a_{k}a_{l-k+4}-4a_{k+1}a_{l-k+3}+3a_{k+2}a_{l-k+2}\right\}.\end{matrix}}$

(9)

‎Во второй сумме формулы (9) пределами служат:

0 и $l$, если $l\leqslant \nu -4,$

‎или:

$l-(\nu -4)$ и $\nu -4$, если $l\geqslant \nu -4.$

‎Если $(f,\;f)^{4}$ тождественно обращается в 0, то имеет место равенство:

${\begin{matrix}\displaystyle {\sum \limits _{k=0,\;l-(\nu -4)}^{k=l,\;\nu -4}}(\nu -4)_{k}(\nu -4)_{l-k}\times \\\times \,\left\{a_{k}a_{l-k+4}-4a_{k+1}a_{l-k+3}+3a_{k+2}a_{l-k+2}\right\}=0,\end{matrix}}$

(10)

‎где:

$l=0,\ 1,\ 2,\ \ldots ,\ 2\nu -8.$

‎Согласно сделанному выше условию:

$a_{0}=a_{2}=0,\ a_{1}=1.$

(7)

‎Положив в равенстве (10):

$l=0$

‎и приняв во внимание условия (7), находим:

$a_{3}=0.$

‎Итак:

$a_{1}=1,\ a_{0}=a_{2}=a_{3}=0.$

(11)

‎Все коэффициенты, следующие за $a_{3}$ не могут быть одновременно нулями; иначе форма (5) приняла бы такой вид:

$y'^{\,\nu -1}y''$

‎и имела бы кратные корни, что противоречит условию теоремы.

Пусть $a_{m+1}$ есть первый из коэффициентов, следующих за $a_{3}$, отличный от 0.

В таком случае имеем:

$\left.{\begin{array}{l}a_{1}=1,\ a_{0}=a_{2}=a_{3}=\ldots =a_{m}=0,\\\nu >m\geqslant 3,\;a_{m+1}\ {\text{отлично от}}\ 0.\end{array}}\right\}$

(12)

‎Полагая в равенстве (10):

$l=m-2$

‎и принимая во внимание условия (12), находим:

$[(\nu -4)_{1}(\nu -4)_{m-3}-4(\nu -4)_{m-2}]a_{m+1}=0,$

(13)

‎или:

${\frac {\nu (\nu -4)_{m-3}}{m-2}}\left[m-6+{\frac {12}{\nu }}\right]a_{m+1}=0.$

(14)

‎Левая часть равенства (14) может быть представлена в виде произведения трех множителей:

${\frac {\nu (\nu -4)_{m-3}}{m-2}},\;m-6+{\frac {12}{\nu }},\;a_{m+1}.$

‎Первый из этих множителей при условии:

$\nu >m\geqslant 3$

‎нулю равняться не может.

Множитель $a_{m+1}$, как мы знаем, тоже отличен от 0. Следовательно, должно иметь место тождественное равенство:

$m-6+{\frac {12}{\nu }}=0.$

(15)

‎Так как $m$ и $\nu$ суть числа целые и

$\nu \geqslant 4,$

‎то из равенства (15) следует, что $\nu$ может иметь только одно из трех значений:

$\nu =4,\ 6,\ 12.$

(16)

‎Соответствующие значения $m$ таковы:

$m=3,\ 4,\ 5.$

(17)

‎Итак, степень формы $f(y',\;y'')$ должна равняться одному из чисел:

4, 6, 12.

‎Из равенств (12) и (17) следует, что:

при $\nu =4\colon$	$a_{1}=1,\ a_{0}=a_{2}=a_{3}=0,$	(18)
при $\nu =6\colon$	$a_{1}=1,\ a_{0}=a_{2}=a_{3}=a_{4}=0,$	(19)
при $\nu =12\colon$	$a_{1}=1,\ a_{0}=a_{2}=a_{3}=a_{4}=a_{5}=0.$	(20)

‎Самые формы $f(y',\;y'')$ будут таковы:

1) $f(y',\;y'')=4y'^{\,3}y''+a_{4}y''^{\,4},$	(21)
2) $f(y',\;y'')=6y'^{\,5}y''+6a_{5}y'y''^{\,5}+a_{6}y''^{\,6},$	(22)
3) $f(y',\;y'')=12y'^{\,11}y''+(12)_{6}a_{6}y'^{\,6}y''^{\,6}+(12)_{7}a_{7}y'^{\,5}y''^{\,7}\,+$	(23)
$+\ldots +12a_{11}y'y''^{\,11}+a_{12}y''^{\,12}.$

‎Займемся каждой из этих форм в отдельности.

I. Непосредственной поверкой убеждаемся в том, что форма:

$f(y',\;y'')=4y'^{\,3}y''+a_{4}y''^{\,4},$

(21)

‎удовлетворяет условию:

$(f,\;f)^{4}=0$

‎при всяком значении $a_{4}$.

II. Возьмем форму:

$f(y',\;y'')=6y'^{\,5}y''+6a_{5}y'y''^{\,5}+a_{6}y''^{\,6}.$

(22)

‎Положив в равенстве (10):

$\nu =6,\ a_{1}=1,\ a_{0}=a_{2}=a_{3}=a_{4}=0$ и $l=3,$

‎находим:

$a_{6}=0.$

Форма (22) принимает такой вид:

$f(y',\;y'')=6y'^{\,5}y''+6a_{5}y'y''^{\,5}.$

(24)

‎Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что форма (24) удовлетворяет условию:

$(f,\;f)^{4}=0$

‎при всяком значении $a_{5}$.

III. Возьмем форму:

${\begin{matrix}f(y',\;y'')=12y'^{\,11}y''+(12)_{6}a_{6}y'^{\,6}y''^{\,6}+(12)_{7}a_{7}y'^{\,5}y''^{\,7}\,+\\+\ldots +12a_{11}y'y''^{\,11}+a_{12}y''^{\,12}.\end{matrix}}$

(23)

‎Положив в равенстве (10):

$\nu =12,\ a_{1}=1,\ a_{0}=a_{2}=a_{3}=a_{4}=a_{5}=0,\ 4\leqslant l\leqslant 7,$

‎находим:

$[(8)_{1}\cdot (8)_{l-1}-4\cdot (8)_{l}]a_{l+3}=0,$

(25)

‎или:

$12(l-3){\frac {8\cdot 7\cdot \ldots \cdot (10-l)}{1\cdot 2\cdot \ldots \cdot l}}a_{l+3}=0,$

(26)

‎откуда:

$a_{l+3}=0$ при $4\leqslant l\leqslant 7,$

(27)

‎т. е.:

$a_{7}=a_{8}=a_{9}=a_{10}=0.$

(28)

‎Полагая в равенстве (10):

$\left.{\begin{matrix}\nu =12,\ a_{1}=1,\\a_{0}=a_{2}=a_{3}=a_{4}=a_{5}=a_{7}=a_{8}=a_{9}=a_{10}=0,\ l=8,\end{matrix}}\right\}$

(29)

‎находим:

$a_{11}=-49\cdot a_{6}^{2}.$

(30)

Полагая в равенстве (10) при тех же остальных условиях

$l=9,$

‎находим:

$a_{12}=0.$

‎Форма (23) принимает следующий вид:

$f(y',\;y'')=12y'^{\,11}y''+(12)_{6}a_{6}y'^{\,6}y''^{\,6}-12\cdot 49a_{6}^{2}y'y''^{\,11}.$

(31)

‎Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что форма (31) удовлетворяет условию:

$(f,\;f)^{4}=0$

‎при всяком значении $a_{6}$.

Мы нашли следующие три формы, не имеющие кратных корней и удовлетворяющие условию:

$(f,\;f)^{4}=0\colon$

1) $f(y',\;y'')=4y'^{\,3}y''+a_{4}y''^{\,4},$	(21)
2) $f(y',\;y'')=6y'^{\,5}y''+6a_{5}y'y''^{\,5},$	(24)
3) $f(y',\;y'')=12y'^{\,11}y''+(12)_{6}a_{6}y'^{\,6}y''^{\,6}-12\cdot 49a_{6}^{2}y'y''^{\,11}.$	(31)

‎Остальные формы, удовлетворяющие тем же условиям, суть всевозможные формы, эквивалентные трем найденным формам (21), (24), (31).

Упростим формы (21), (24), (31). Совершим над ними линейные преобразования:

‎над формой (21):

$\left.{\begin{array}{l}y'=-{\sqrt[{12}]{\dfrac {a_{4}}{4}}}y_{1},\\y''={\dfrac {1}{\sqrt[{4}]{a_{4}}}}y_{2};\end{array}}\right\}$

(32)

‎над формой (24):

$\left.{\begin{array}{l}y'=e^{-{\frac {\pi i}{24}}}{\sqrt[{24}]{\dfrac {a_{5}}{6^{4}}}}y_{1},\\y''=e^{\frac {5\pi i}{24}}{\dfrac {1}{\sqrt[{24}]{6^{4}a_{5}^{5}}}}y_{2};\end{array}}\right\}$

(33)

‎над формой (31):

$\left.{\begin{array}{l}y'={\sqrt[{60}]{\dfrac {7a_{6}}{12^{5}}}}y_{1},\\y''={\dfrac {1}{\sqrt[{60}]{7^{11}12^{5}a_{6}^{11}}}}y_{2}.\end{array}}\right\}$

(34)

‎После этих преобразований формы (21), (24), (32) примут такой вид:

1) $f'_{\text{т}}(y_{1},\;y_{2})=y_{1}^{4}-2{\sqrt {2}}y_{1}y_{2}^{3},$	(35)
2) $f_{\text{о}}(y_{1},\;y_{2})=y_{1}y_{2}(y_{1}^{4}-y_{2}^{4}),$	(36)
3) $f_{\text{и}}(y_{1},\;y_{2})=y_{1}y_{2}(y_{1}^{10}+11y_{1}^{5}y_{2}^{5}-y_{2}^{10}).$	(37)

‎Это суть первичные формы наинисшей степени.

Теорема доказана.

Результаты, полученные в настоящем параграфе, можно сформулировать так:

Для того, чтобы форма $f(y',\;y'')$ была первичной формой наинисшей степени, необходимо и достаточно:

1) чтобы она не имела кратных корней,

2) чтобы она удовлетворяла условию:

$(f,\;f)^{4}=0.$

‎§ 27. Выражение формы, инвариантной по отношению к бинарным линейным подстановкам конечной группы, через первичные формы:

$f(y',\;y''),\ H(y',\;y''),\ T(y',\;y'').$

Уясним прежде всего геометрический смысл уравнений:

$f(u)=0,\ H(u)=0,\ T(u)=0.$

‎Из уравнения:

$H^{\lambda _{1}}(u):c'T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)=z:z-1:1$

(38)

‎видно, что уравнение

$f(u)=0$

‎имеет корнями те точки сети, которые соответствуют значению $z=\infty$. Это суть вершины сети, в которых сходится по $\lambda$ четырехугольников. Они служат проекциями вершин многогранника, соответствующего сети.

Итак, уравнение:

$f(u)=0$

‎имеет корнями проекции вершин многогранника.

Таким же образом убедимся в том, что уравнение:

$H(u)=0$

‎имеет корнями проекции центров граней многогранника, а уравнение:

$T(u)=0$

‎имеет корнями проекции середин ребер многогранника.

Ясно, что уравнения:

$f(u)=0,\ H(u)=0,\ T(u)=0$

‎не меняются от подстановок группы уравнения (38).

Пусть нам удалось найти такую целую функцию $F(u)$, что уравнение

$F(u)=0$

(39)

‎не меняется от подстановок той же группы.

Будем различать два случая:

1) степень уравнения (39) ниже степени $N$ уравнения (38).

2) Степень уравнения (39) выше степени $N$ уравнения (38).

Начнем с первого случая.

I.

Пусть степень уравнения (39) ниже $N$.

Возьмем какой-нибудь корень $u_{1}$ уравнения (39).

Совершив над $u_{1}$ все подстановки группы, находим $N$ величин:

$u_{1},\ u_{2},\ \ldots ,\ u_{N}.$

(40)

‎Все точки, им соответствующие, суть соответственные точки сети четырехугольников.

Все величины (40) суть корни уравнения (39).

Так как степень уравнения (39) ниже $N$, то в числе величин (40) найдутся равные.

Соответственные точки сети четырехугольников только тогда могут совпадать, когда они лежат в вершинах четырехугольников.

Если так, то многочлен $F(u)$ должен делиться на одну из функций $f(u),\ H(u),\ T(u)$.

Пусть он разделился на $f(u)$:

$F(u)=f(u)F_{1}(u).$

(41)

‎Уравнение:

$F_{1}(u)=0$

‎тоже не меняется от подстановок той же группы и к нему применимы те же рассуждения; и т. д.

В результате мы придем к заключению, что многочлен $F(u)$ может быть представлен в следующем виде:

$F(u)=f^{m_{1}}(u)H^{m_{2}}(u)T^{m_{3}}(u),$

(42)

‎где $m_{1},\ m_{2},\ m_{3}$ — числа целые положительные, или равные нулю.

II.

Пусть степень уравнения (39) выше $N$.

Возьмем какой-нибудь корень $u_{1}$ этого уравнения.

Совершая над $u_{1}$ подстановки группы, находим $N$ величин:

$u_{1},\ u_{2},\ \ldots ,\ u_{N}.$

(40)

‎Если между величинами (40) найдутся равные, то, применяя те же рассуждения, как и выше, найдем, что $F(u)$ делится на один из многочленов: $f(u),\ H(u),\ T(u)$.

Пусть между величинами (40) равных не оказалось.

Подставим величину $u_{1}$ в уравнение (38) и определим соответствующее значение $z$. Обозначим его буквой $z_{1}$:

$z_{1}={\frac {H^{\lambda _{1}}(u_{1})}{cf^{\lambda }(u_{1})}}.$

(43)

‎Величины (40) составляют совокупность всех корней уравнения:

$z_{1}={\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}},$

(44)

‎или:

$H^{\lambda _{1}}(u)-z_{1}cf^{\lambda }(u)=0.$

(45)

‎Отсюда следует, что многочлен $F(u)$ делится нацело на левую часть уравнения (45):

$F(u)=[H^{\lambda _{1}}(u)-z_{1}cf^{\lambda }(u)]F_{1}(u).$

(46)

‎Уравнение

$F_{1}(u)=0$

‎тоже не меняется от подстановок группы уравнения (38), и к нему применимы те же рассуждения.

Соображая все сказанное, мы приходим к заключению, что функция $F(u)$ может быть представлена в таком виде:

$F(u)=\Phi [H^{\lambda _{1}}(u),\;f^{\lambda }(u)]f^{m_{1}}(u)H^{m_{2}}(u)T^{m_{3}}(u),$

(47)

‎где $\Phi$ есть целая форма, однородная относительно входящих в нее величин:

$F(u)=H^{\lambda _{1}}(u)$ и $f^{\lambda }(u),$

‎а $m_{1},\ m_{2},\ m_{3}$ суть числа целые и положительные или равные 0. Число $m_{2}$ мы вправе считать не большим 2 вследствие тождественной связи между функциями $f(u),\ H(u)$ и $T(u)$:

$H^{\lambda _{1}}(u)-cf^{\lambda }(u)=c'T^{\lambda _{2}}(u),$

‎где $\lambda _{2}=2$.

Пусть форма $F(y',\;y'')$, целая и однородная относительно $y',\;y''$, инвариантна по отношению к бинарным подстановкам некоторой группы, т. е. пусть она под влиянием этих подстановок или совсем не меняется, или приобретает лишь постоянные множители.

В таком случае уравнение:

$F(u)=0$

(39)

‎не будет меняться от подстановок соответствующей группы неоднородных линейных подстановок.

Как мы видели выше, функция $F(u)$ изобразится формулой (47).

Восстановив однородность в тождестве (47), находим:

${\begin{matrix}F(y',\;y'')=\\=\Phi [H^{\lambda _{1}}(y',\;y''),\;f^{\lambda }(y',\;y'')]f^{m_{1}}(y',\;y'')H^{m_{2}}(y',\;y'')T^{m_{3}}(y',\;y'').\end{matrix}}$

(48)

‎Этот результат мы можем сформулировать в виде теоремы:

Теорема 3. Всякая форма, инвариантная по отношению к бинарным подстановкам некоторой группы, выражается рационально через формы: $H(y',\;y''),\ f(y',\;y''),\ T(y',\;y'')$·

Из этой теоремы мы выводим такие следствия:

Следствие 1. Всякий ковариант формы $f(y',\;y'')$ может быть выражен рационально через $H(y',\;y''),\ f(y',\;y''),\ T(y',\;y'')$.

Действительно, всякий ковариант формы $f(y',\;y'')$ инвариантен по отношению к подстановкам группы.

Следствие 2. Всякая бинарная форма, не имеющая кратных корней и удовлетворяющая условию:

$(f,\;f)^{4}=0,$

‎имеет только два независимых коварианта:

$H(y',\;y''),\ T(y',\;y'').$^[4]

‎Действительно, из теорем 1-ой и 2-ой мы знаем, что условие:

$(f,\;f)^{4}=0$

‎характерно для первичной формы наинисшей степени $f(y',\;y'')$, а из следствия 1-го теоремы 3 видим, что всякий ковариант этой формы выражается через формы:

$H(y',\;y''),\ f(y',\;y''),\ T(y',\;y'').$

‎Теорема 4. Всякая первичная форма выражается одной из формул:

$af(y',\;y''),\;bH(y',\;y''),\ gT(y',\;y''),\ hH^{\lambda _{1}}(y',\;y'')+kf^{\lambda }(y',\;y''),$

(51)

‎где:

$a,\ b,\ g,\ h,\ k$

‎суть постоянные числа.

‎Пусть:

$F(y',\;y'')$

‎есть первичная форма некоторой степени $\nu '$ и пусть линей­ные множители ее таковы:

${\begin{matrix}y_{1}=c_{1}^{(1)}y'+c_{2}^{(1)}y'',\ y_{2}=c_{1}^{(2)}y'+c_{2}^{(2)}y'',\ \ldots ,\ y_{i}=c_{1}^{(i)}y'+c_{2}^{(i)}y'',\ \ldots ,\\y_{\nu '}=c_{1}^{(v')}y'+c_{2}^{(v')}y''.\end{matrix}}$

(49)

‎Величины (49) служат приведенной системой корней того уравнения, которому удовлетворяет величина $y_{1}$. Это суть всевозможные значения многозначной функции $y_{1}$ за исключением тех значений, которые разнятся от одного из остальных лишь постоянным множителем.

Положим:

${\frac {y'}{y''}}=u,$

‎и возьмем уравнение:

$F(u)=0.$

(39)

‎Корни этого уравнения таковы:

${\begin{matrix}u_{1}=-{\dfrac {c_{2}^{(1)}}{c_{1}^{(1)}}},\ u_{2}=-{\dfrac {c_{2}^{(2)}}{c_{1}^{(2)}}},\ \ldots ,\ \ u_{i}=-{\dfrac {c_{2}^{(i)}}{c_{1}^{(i)}}},\ \ldots ,\\u_{\nu '}=-{\dfrac {c_{2}^{(v')}}{c_{1}^{(v')}}}.\end{matrix}}$

(50)

‎Относительно величин (50) мы можем сказать следующее:

1) равных величин между ними нет,

2) все величины (50) связаны между собой некоторой группой линейных подстановок.

Построив сеть, соответствующую этой группе, мы найдем, что точки, изображающие количества (50) соответственны относительно четырехугольников этой сети.

Относительно этих точек можно сделать два предположения:

1) точки (50) находятся в вершинах четырехугольников сети,

2) точки (50) не находятся в вершинах четырехугольников сети.

В первом случае уравнение (39) тождественно с одним из уравнений:

$f(u)=0,\ H(u)=0,\ T(u)=0.$

‎Рассмотрим второй случай.

Пусть точки (50) не находятся в вершинах четырехугольников сети.

Найдем величину $z_{1}$ по формуле:

$z_{1}={\frac {H^{\lambda _{1}}(u_{1})}{f^{\lambda }(u_{1})}},$

(43)

‎где $u_{1}$ есть первая из величин (50). Ясно, что количества (50) как раз исчерпывают собой все корни уравнения:

$z_{1}={\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{f^{\lambda }(u)}},$

(44)

‎или:

$H^{\lambda _{1}}(u)-z_{1}f^{\lambda }(u)=0.$

(45)

‎Если так, то уравнение (39) тождественно с уравнением (45).

Итак, мы нашли, что уравнение (39) тождественно с одним из уравнений:

$f(u)=0,\ H(u)=0,\ T(u)=0,\ H^{\lambda _{1}}(u)-z_{1}f^{\lambda }(u)=0.$

‎Отсюда следует, что многочлен $F(u)$ тождествен с одним из многочленов:

$af(u),\ bH(u),\ gT(u),\ hH^{\lambda _{1}}(u)+kf^{\lambda }(u),$

‎где $a,\ b,\ g,\ h,\ k$ суть некоторые постоянные числа.

Восстановив однородность, находим, что форма $F(y',\;y'')$ тождественна с одной из форм:

$af(y',\;y''),\ bH(y',\;y''),\ gT(y',\;y''),\ hH^{\lambda _{1}}(y',\;y'')+kf^{\lambda }(y',\;y'').$

(51)

‎Теорема доказана.

Теорема 5. Форма

$T(y',\;y'')$

‎есть первичная форма.

Если бы $T(y',\;y'')$ не была первичной формой, то, как ковариант первичной формы $f(y',\;y'')$, она могла бы быть представлена в виде произведения первичных форм. Эти первичные формы на основании теоремы 4 выразились бы формулами вида:

$af(y',\;y''),\ bH(y',\;y''),\ gT(y',\;y''),\ hH^{\lambda _{1}}(y',\;y'')+kf^{\lambda }(y',\;y'').$

(51)

‎Ясно, что форма $T(y',\;y'')$ не может иметь общего множителя с формами $f(y',\;y''),\ H(y',\;y'')$ и поэтому ни на одну из этих двух форм она делиться не может.

Так как степень формы:

$hH^{\lambda _{1}}(y',\;y'')+kf^{\lambda }(y',\;y'')$

‎выше степени формы $T(y',\;y'')$, то форма $T(y',\;y'')$ на нее разделиться также не может.

Итак, форма $T(y',\;y'')$ не делится ни на одну из форм (51) кроме формы $gT(y',\;y'')$. Она, необходимо, форма первичная.

§ 28. Тождества, связывающие между собой первичные формы $f(u),\ H(u),\ T(u)$ различных типов.

В § 14 мы рассмотрели относительное расположение вершин, центров граней и середин ребер различных многогранников, приведенных в такие положения, что они, как мы говорили, соответствуют друг другу.

Соответственными положениями многогранников могут служить: четырехгранная двупирамида, тетраэдр и октаэдр в положениях, соответствующих первым нормальным сетям и икосаэдр в положении, соответствующем второй нормальной сети, или: икосаэдр в положении, соответствующем первой нормальной сети, тетраэдр и октаэдр в положениях, соответствующих третьим нормальным сетям.

Поэтому, сравнивая между собой функции типов: четверичного, тетраэдрического и октаэдрического, мы берем первые или третьи нормальные виды, а сравнивая функции икосаэдрические с остальными, мы берем первые нормальные икосаэдрические функции и третьи нормальные тетраэдрические и октаэдрические функции.

Пользуясь результатами, найденными в § 27, мы можем получить ряд соотношений между функциями $f(u),\ H(u),\ T(u)$ различных типов.

При составлении этих соотношений мы должны помнить, что многочлены:

$f(u),\ H(u),\ T(u)$

‎имеют корнями: проекции вершин, центров граней и середин ребер соответствующего многогранника.

Тип функции мы будем обозначать индексом внизу функционального знака.

Рядом с тетраэдрическими функциями:

$f_{\text{т}}(u),\ H_{\text{т}}(u),\ T_{\text{т}}(u)$

‎мы будем пользоваться функциями, соответствующими дополнительному тетраэдру и обозначим их так:

$f_{\text{т}}^{*}(u),\ H_{\text{т}}^{*}(u),\ T_{\text{т}}^{*}(u).$

‎I. Так как вершины тетраэдра совпадают с центрами граней дополнительного ему тетраэдра, то:

$\left.{\begin{array}{l}f_{\text{т}}(u)=H_{\text{т}}^{*}(u),\\f_{\text{т}}^{*}(u)=H_{\text{т}}(u),\end{array}}\right\}$

(52)

II. Так как середины ребер двух взаимно дополнительных тетраэдров совпадают, то должно иметь место тождество:

$T_{\text{т}}(u)=T_{\text{т}}^{*}(u).$

(53)

‎III. Восемь вершин двух взаимно дополнительных тетраэдров совпадают с восьмью центрами граней октаэдра; отсюда следуют тождества:

$f_{\text{т}}(u)\cdot f_{\text{т}}^{*}(u)=H_{\text{т}}(u)\cdot H_{\text{т}}^{*}(u)=H_{\text{о}}(u),$[5]

(54)

‎или:

$f_{\text{т}}(u)H_{\text{т}}(u)=f_{\text{т}}^{*}(u)H_{\text{т}}^{*}(u)=H_{\text{о}}(u).$

(55)

‎IV. Шесть середин ребер каждого из двух взаимно дополнительных тетраэдров совпадают с вершинами октаэдра:

$T_{\text{т}}(u)=T_{\text{т}}^{*}(u)=f_{\text{о}}(u).$

(56)

‎V. Вершины $A,\ A',\ P,\ P'$ вместе с серединами ребер $B,\ B'$ четырехгранной двупирамиды^[6] совпадают с вершинами октаэдра:

$f_{\text{ч}}(u)H_{\text{ч}}(u)T_{\text{ч}}(u)={\frac {1}{4}}f_{\text{о}}(u)={\frac {1}{4}}T_{\text{т}}(u).$

(57)

‎VI. Вершины октаэдра совпадают с 6 из числа 30 середин ребер соответствующего ему икосаэдра. Отсюда следует, что икосаэдрическая функция $T_{\text{и}}(u)$ делится нацело на октаэдрическую функцию $f''_{\text{о}}(u)$:

$T(u)=f''_{\text{о}}(u)\psi (u).$

(58)

‎Совершая над обеими частями тождества (58) икосаэдрическую подстановку:

$S_{\text{и}}^{k}(u)=\varepsilon ^{k}u,$ где $k=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{5}},$

‎находим:

$T_{\text{и}}(u)=f''_{\text{о}}(\varepsilon ^{k}u)\psi (\varepsilon ^{k}u).$

(59)

‎Из формулы (66) главы V заключаем, что многочлены:

$f''_{\text{о}}(u),\ f''_{\text{о}}(\varepsilon u),\ f''_{\text{о}}(\varepsilon ^{2}u),\ f''_{\text{о}}(\varepsilon ^{3}u),\ f''_{\text{о}}(\varepsilon ^{4}u)$

(60)

‎различны между собой и общих корней не имеют.

Если так, то из тождества (59) следует, что многочлен $T_{\text{и}}(u)$ делится на все 5 многочленов (60); он равен произведению многочленов (60):

$T_{\text{и}}(u)=f''_{\text{о}}(u)f''_{\text{о}}(\varepsilon u)f''_{\text{о}}(\varepsilon ^{2}u)f''_{\text{о}}(\varepsilon ^{3}u)f''_{\text{о}}(\varepsilon ^{4}u).$

(61)

‎VII. Так как положение тетраэдра не меняется от поворотов, не меняющих положения соответствующей ему четырехгранной двупирамиды, то уравнения:

$f_{\text{т}}(u)=0$ и $H_{\text{т}}(u)=0$

‎инварианты относительно подстановок четверичной группы.

Отсюда следует, что многочлены $f_{\text{т}}(u)$ и $H_{\text{т}}(u)$ могут быть выражены через $f_{\text{ч}}(u),\ H_{\text{ч}}(u),\ T_{\text{ч}}(u)$ по формуле (47). При этом ясно, что в данном случае показатели $m_{1},\ m_{2},\ m_{3}$ равны нулю, а форма $\Phi$ первой степени относительно ее аргументов:

$\left.{\begin{array}{l}f_{\text{т}}(u)=aH_{\text{ч}}^{2}(u)+bf_{\text{ч}}^{2}(u),\\H_{\text{т}}(u)=hH_{\text{ч}}^{2}(u)+kf_{\text{ч}}^{2}(u).\end{array}}\right\}$

(62)

‎Совершив сравнение коэффициентов при одинаковых степенях в обеих частях тождеств (62), легко находим числовые значения $a,\ b,\ h,\ k$. Вставив эти числовые значения в равенства (62), находим такие тождества:

$\left.{\begin{matrix}f_{\text{т}}(u)=4H_{\text{ч}}^{2}(u)+4\varepsilon f_{\text{ч}}^{2}(u),\\H_{\text{т}}(u)=4H_{\text{ч}}^{2}(u)+4\varepsilon ^{2}f_{\text{ч}}^{2}(u),\\{\text{где}}\ \varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{3}}.\end{matrix}}\right\}$

(63)

‎VIII. Возведя в квадрат обе части тождества:

$f_{\text{о}}(u)=T_{\text{т}}(u)$

(56')

‎и припомнив, что:

$-12i{\sqrt {3}}T_{\text{т}}^{2}(u)=H_{\text{т}}^{2}(u)-f_{\text{т}}^{2}(u),$

(64)

‎находим:

$f_{\text{о}}^{2}(u)={\frac {i}{12{\sqrt {3}}}}[H_{\text{т}}^{2}(u)-f_{\text{т}}^{2}(u)].$[7]

(65)

‎IX. Так как положение икосаэдра не меняется от поворотов, не меняющих положения соответствующего ему тетраэдра, то уравнение:

$f_{\text{и}}(u)=0$

‎инвариантно по отношению к подстановкам третьей нормальной тетраэдрической группы. Отсюда следует, что многочлен $f_{\text{и}}(u)$ может быть выражен через $f''_{\text{т}}(u),\ H''_{\text{т}}(u),\ T''_{\text{т}}(u)$ по формуле (47):

$f_{\text{и}}(u)=\Phi [H_{\text{т}}''^{\,2}(u),\;f_{\text{т}}''^{\,2}(u)]f_{\text{т}}''^{\,m_{1}}(u)H_{\text{т}}''^{\,m_{2}}(u)T_{\text{т}}''^{\,m_{3}}(u).$

(66)

‎Вершины икосаэдра не совпадают ни с вершинами, ни с центрами граней, ни с серединами ребер соответствующего тетраэдра. Отсюда следует, что в тождестве (66) показатели $m_{1},\ m_{2},\ m_{3}$ равны нулю. Если так, то функция $\Phi$ первой степени относительно входящих в нее аргументов:

$f_{\text{и}}(u)=hH_{\text{т}}''^{\,3}(u)+kf_{\text{т}}''^{\,3}(u).$

(67)

‎Вычислять коэффициенты $h$ и $k$ мы не будем, потому что они нам не нужны.

Возьмем тождество:

$f_{\text{о}}^{2}(u)={\frac {i}{12{\sqrt {3}}}}[H_{\text{т}}^{3}(u)-f_{\text{т}}^{3}(u)].$

(65)

‎Совершив над ним подстановку $\sigma$, преобразующую первую нормальную тетраэдрическую сеть в третью^[8], находим:

$f_{\text{о}}''^{\,2}(u)={\frac {i}{12{\sqrt {3}}}}[H_{\text{т}}''^{\,3}(u)-f_{\text{т}}''^{\,3}(u)].$

(65')

Решая систему уравнений (67) и (65') относительно $H_{\text{т}}''^{\,2}(u)$ и $f_{\text{т}}''^{\,2}(u)$, получаем:

$\left.{\begin{array}{l}H_{\text{т}}''^{\,3}(u)=Af_{\text{и}}(u)+Bf_{\text{о}}''^{\,2}(u),\\f_{\text{т}}''^{\,3}(u)=Cf_{\text{и}}(u)+Df_{\text{о}}''^{\,2}(u).\end{array}}\right\}$

(68)

‎Коэффициенты $A,\ B,\ C,\ D$ имеют конечные величины потому, что определитель:

${\begin{vmatrix}h,&k,\\{\dfrac {i}{12{\sqrt {3}}}},&-{\dfrac {i}{12{\sqrt {2}}}}\end{vmatrix}}$

(69)

‎не может равняться 0; иначе величина $h$ равнялась бы $-k$, функция $f_{\text{и}}(u)$ разнилась бы от $f_{\text{о}}''^{\,2}(u)$ лишь постоянным множителем, первичная функция $f_{\text{и}}(u)$ имела бы кратные корни, а этого быть не может.

Все четыре коэффициента: $A,\ B,\ C,\ D$ отличны от нуля; иначе тождества (68) были бы невозможны: напр. при $B=0$ мы нашли бы:

$H_{\text{т}}''^{\,3}(u)=Af_{\text{и}}(u);$

‎первичная функция $f_{\text{и}}(u)$ имела бы кратные корни.

Итак, в тождествах (68) коэффициенты $A,\ B,\ C,\ D$ конечны и отличны от 0.

Так как уравнения:

$f_{\text{и}}(u)=0$ и $H_{\text{и}}(u)=0$

‎инвариантны по отношению к подстановкам третьей нормальной тетраэдрической группы, то должны иметь место тождества вида:

$\left.{\begin{array}{l}T_{\text{и}}(u)=\Phi _{1}[f_{\text{т}}''^{\,3}(u),\;H_{\text{т}}''^{\,3}(u)]f_{\text{т}}''^{\,m_{1}}(u)H_{\text{т}}''^{\,m_{2}}(u)T_{\text{т}}''^{\,m_{3}}(u),\\H_{\text{и}}(u)=\Phi _{2}[f_{\text{т}}''^{\,3}(u),\;H_{\text{т}}''^{\,3}(u)]f_{\text{т}}''^{\,p_{1}}(u)H_{\text{т}}''^{\,p_{2}}(u)T_{\text{т}}''^{\,p_{3}}(u).\end{array}}\right\}$

(70)

‎Подставив в тождества (70) выражения (68) функции $f_{\text{т}}''^{\,3}(u)$ и $H_{\text{т}}''^{\,3}(u)$ и заметив, что вследствие тождества (56') должно иметь место тождество:

$T_{\text{т}}''^{\,2}(u)=f_{\text{о}}''^{\,2}(u),$

(56'')

‎мы приведем тождества (70) к такому виду:

$\left.{\begin{array}{l}T_{\text{и}}(u)=\psi _{1}[f_{\text{и}}(u),\;f_{\text{о}}''^{\,2}(u)]f_{\text{т}}''^{\,\alpha }(u)H_{\text{т}}''^{\,\beta }(u)f_{\text{о}}''^{\,m_{3}}(u),\\H_{\text{и}}(u)=\psi _{2}[f_{\text{и}}(u),\;f_{\text{о}}''^{\,2}(u)]f_{\text{т}}''^{\,\gamma }(u)H_{\text{т}}''^{\,\delta }(u)f_{\text{о}}''^{\,p_{3}}(u),\end{array}}\right\}$

(71)

‎где $\psi _{1},\ \psi _{2}$ суть целые однородные формы по отношению к входящим в них аргументам, а показатели $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma ,\ \delta$ суть наименьшие положительные вычеты чисел $m_{1},\ m_{2},\ p_{1},\ p_{2}$ по модулю 3.

Каждое из чисел:

$\alpha ,\ \beta ,\ m_{3},\ \gamma ,\ \delta ,\ p_{3}$

‎может равняться только 0 или 1, потому что функции $T_{\text{и}}(u)$ и $H_{\text{и}}(u)$ кратных корней не имеют.

Так как вершины октаэдра совпадают с 6 из числа 30 середин ребер икосаэдра, а вершины и центры граней тетраэдра совпадают с 8 из числа 20 центров граней икосаэдра, то $T_{\text{и}}(u)$ делится на $f_{\text{о}}''^{\,2}(u)$, а $H_{\text{и}}(u)$ делится на $f_{\text{т}}''^{\,2}(u)H_{\text{т}}''^{\,2}(u)$. Поэтому в равенствах (71) показатели $m_{3}$, $\gamma$ и $\delta$ равны 1.

Так как многочлены $T_{\text{и}}(u)$ и $H_{\text{и}}(u)$ общих корней иметь не могут, то показатели: $\alpha$, $\beta$ и $p_{3}$ должны равняться нулю. Теперь не трудно найти, каковы степени форм $\psi _{1}$ и $\psi _{2}$ относительно $f_{\text{и}}(u)$ и $f_{\text{о}}''^{\,2}(u)$: первая из них второй степени, а вторая — первой степени.

Итак:

$\left.{\begin{array}{l}T_{\text{и}}(u)=[af_{\text{и}}^{2}(u)+bf_{\text{и}}(u)f_{\text{о}}''^{\,2}(u)+cf_{\text{о}}''^{\,4}(u)]f''_{\text{о}}(u),\\H_{\text{и}}(u)=[pf_{\text{и}}(u)+qf_{\text{о}}''^{\,2}(u)]f''_{\text{т}}(u)H''_{\text{т}}(u).\end{array}}\right\}$

(72)

‎Заметив, что из тождества (55) следует:

$f''_{\text{т}}(u)H''_{\text{т}}(u)=H''_{\text{о}}(u),$

(55')

‎и подставив это выражение во второе из равенств (72), мы можем затем определить числовые величины постоянных $a,\ b,\ c,\ p,\ q$ через сравнение коэффициентов.

Вставив эти числовые значения коэффициентов в тождества (72), находим:

$\left.{\begin{array}{l}T_{\text{и}}(u)=[f_{\text{о}}''^{\,4}(u)-10f_{\text{о}}''^{\,2}(u)f_{\text{и}}(u)+45f_{\text{и}}^{2}(u)]f''_{\text{о}}(u),\\H_{\text{и}}(u)=[f_{\text{о}}''^{\,2}(u)-3f_{\text{и}}(u)]H''_{\text{о}}(u).\end{array}}\right\}$

(73)

‎X. Возведя в куб обе части тождества (55') и заменив $f_{\text{т}}''^{\,3}(u),\ H_{\text{т}}''^{\,3}(u)$ выражениями (68), мы найдем тождество такого вида:

$H_{\text{о}}''^{\,3}(u)=af_{\text{и}}^{2}(u)+bf_{\text{и}}(u)f_{\text{о}}''^{\,2}(u)+cf_{\text{о}}''^{\,4}(u).$

(74)

‎Подставив выражения функций $H''_{\text{о}}(u),\ f_{\text{и}}(u),\ f''_{\text{о}}(u)$ и совершив сравнение коэффициентов, находим числовые величины $a,\ b,\ c$. Вставив их в равенство (74), находим:

$H_{\text{о}}''^{\,3}(u)=64f_{\text{и}}^{2}(u)-11f_{\text{и}}(u)f_{\text{о}}''^{\,2}(u)+f_{\text{о}}''^{\,4}(u).$

(75)

---

Найденные в настоящей главе свойства функций $f(u),\ H(u),\ T(u)$ и соотношения между функциями различных типов дадут возможность раскрыть глубже свойства изучаемых нами уравнений и приведут весьма просто к их решению.

---

Сноски

1. О двупирамидном типе мы не говорим в настоящем параграфе, потому что форма второй степени не имеет коварианта $(f,\;f)^{4}$.
2. Доказательство этой теоремы приведено у Гордана: Vorlesungen über Invariantentheorie, том II, стр. 204. При доказательстве он пользуется символическим методом Аронгольда (Aronhold). Сущность приведенного мной доказательства та же, что у Гордана.
3. Через $(\nu )_{k}$ мы обозначаем биномиальный коэффициент: ${\frac {\nu (\nu -1)\cdot \ldots \cdot (\nu -k+1)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot k}}.$

4. Это свойство форм $f(y',\;y'')$ впервые обнаружено Клейном из геометрических соображений. См. Math. Annalen. Том 9. Ueber binäre Formen mit linearen Transformationen in sich selbst.
   ‎Гордан исследовал систему инвариантов первичных форм $f(y',\;y'')$ с помощью символического метода Аронгольда. См. Math. Annalen. Т. 14. Binäre Formen mit verschwindenden Covarianten.
   ‎Приведенное мной доказательство отличается от доказательств Клейна и Гордана.
5. Для большей полноты следовало бы во второй части тождества (54) и всех дальнейших подобных тождеств присоединять постоянный множитель, потому что из тождественности двух уравнений следует лишь пропорциональность их коэффициентов. Сравнивая затем коэффициенты при одинаковых степенях переменного, можно найти числовую величину этого постоянного множителя. Для сокращения рассуждений мы во всех тождествах, подобных (54), прямо вставляем числовые значения множителей пропорциональности.
6. См. черт. 19.
7. Это тождество можно получить тем же путем, как мы получили тождества (63).
8. См. главу IV, формулу (17).