Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/214

множителемъ, первичная функція $f_{\text{и}}(u)$ имѣла бы кратные корни; а этого быть не можетъ.

Всѣ четыре коэффиціента: $A,\ B,\ C,\ D$ отличны отъ нуля; иначе тождества (68) были бы невозможны: напр. при $B=0$ мы нашли бы:

$H_{\text{т}}''^{\,3}(u)=Af_{\text{и}}(u);$

‎первичная функція $f_{\text{и}}(u)$ имѣла бы кратные корни.

Итакъ, въ тождествахъ (68) коэффиціенты $A,\ B,\ C,\ D$ конечны и отличны отъ 0.

Такъ какъ уравненія:

$f_{\text{и}}(u)=0$ и $H_{\text{и}}(u)=0$

‎инваріантны по отношенію къ подстановкамъ третьей нормальной тетраэдрической группы, то должны имѣть мѣсто тождества вида:

$\left.{\begin{array}{l}T_{\text{и}}(u)=\Phi _{1}[f_{\text{т}}''^{\,3}(u),\;H_{\text{т}}''^{\,3}(u)]f_{\text{т}}''^{\,m_{1}}(u)H_{\text{т}}''^{\,m_{2}}(u)T_{\text{т}}''^{\,m_{3}}(u),\\H_{\text{и}}(u)=\Phi _{2}[f_{\text{т}}''^{\,3}(u),\;H_{\text{т}}''^{\,3}(u)]f_{\text{т}}''^{\,p_{1}}(u)H_{\text{т}}''^{\,p_{2}}(u)T_{\text{т}}''^{\,p_{3}}(u).\end{array}}\right\}$

(70)

‎Подставивъ въ тождества (70) выраженія (68) функціи $f_{\text{т}}''^{\,3}(u)$ и $H_{\text{т}}''^{\,3}(u)$ и замѣтивъ, что вслѣдствіе тождества (56') должно имѣть мѣсто тождество:

$T_{\text{т}}''^{\,2}(u)=f_{\text{о}}''^{\,2}(u),$

(56'')

‎мы приведемъ тождества (70) къ такому виду:

$\left.{\begin{array}{l}T_{\text{и}}(u)=\psi _{1}[f_{\text{и}}(u),\;f_{\text{о}}''^{\,2}(u)]f_{\text{т}}''^{\,\alpha }(u)H_{\text{т}}''^{\,\beta }(u)f_{\text{о}}''^{\,m_{3}}(u),\\H_{\text{и}}(u)=\psi _{2}[f_{\text{и}}(u),\;f_{\text{о}}''^{\,2}(u)]f_{\text{т}}''^{\,\gamma }(u)H_{\text{т}}''^{\,\delta }(u)f_{\text{о}}''^{\,p_{3}}(u),\end{array}}\right\}$

(71)

‎гдѣ $\psi _{1},\ \psi _{2}$ суть цѣлыя однородныя формы по отношенію къ входящимъ въ нихъ аргументамъ, а показатели $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma ,\ \delta$ суть наименьшіе положительные вычеты чиселъ $m_{1},\ m_{2},\ p_{1},\ p_{2}$ по модулю 3.

Тот же текст в современной орфографии

множителем, первичная функция $f_{\text{и}}(u)$ имела бы кратные корни, а этого быть не может.

Все четыре коэффициента: $A,\ B,\ C,\ D$ отличны от нуля; иначе тождества (68) были бы невозможны: напр. при $B=0$ мы нашли бы:

$H_{\text{т}}''^{\,3}(u)=Af_{\text{и}}(u);$

‎первичная функция $f_{\text{и}}(u)$ имела бы кратные корни.

Итак, в тождествах (68) коэффициенты $A,\ B,\ C,\ D$ конечны и отличны от 0.

Так как уравнения:

$f_{\text{и}}(u)=0$ и $H_{\text{и}}(u)=0$

‎инвариантны по отношению к подстановкам третьей нормальной тетраэдрической группы, то должны иметь место тождества вида:

$\left.{\begin{array}{l}T_{\text{и}}(u)=\Phi _{1}[f_{\text{т}}''^{\,3}(u),\;H_{\text{т}}''^{\,3}(u)]f_{\text{т}}''^{\,m_{1}}(u)H_{\text{т}}''^{\,m_{2}}(u)T_{\text{т}}''^{\,m_{3}}(u),\\H_{\text{и}}(u)=\Phi _{2}[f_{\text{т}}''^{\,3}(u),\;H_{\text{т}}''^{\,3}(u)]f_{\text{т}}''^{\,p_{1}}(u)H_{\text{т}}''^{\,p_{2}}(u)T_{\text{т}}''^{\,p_{3}}(u).\end{array}}\right\}$

(70)

‎Подставив в тождества (70) выражения (68) функции $f_{\text{т}}''^{\,3}(u)$ и $H_{\text{т}}''^{\,3}(u)$ и заметив, что вследствие тождества (56') должно иметь место тождество:

$T_{\text{т}}''^{\,2}(u)=f_{\text{о}}''^{\,2}(u),$

(56'')

‎мы приведем тождества (70) к такому виду:

$\left.{\begin{array}{l}T_{\text{и}}(u)=\psi _{1}[f_{\text{и}}(u),\;f_{\text{о}}''^{\,2}(u)]f_{\text{т}}''^{\,\alpha }(u)H_{\text{т}}''^{\,\beta }(u)f_{\text{о}}''^{\,m_{3}}(u),\\H_{\text{и}}(u)=\psi _{2}[f_{\text{и}}(u),\;f_{\text{о}}''^{\,2}(u)]f_{\text{т}}''^{\,\gamma }(u)H_{\text{т}}''^{\,\delta }(u)f_{\text{о}}''^{\,p_{3}}(u),\end{array}}\right\}$

(71)

‎где $\psi _{1},\ \psi _{2}$ суть целые однородные формы по отношению к входящим в них аргументам, а показатели $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma ,\ \delta$ суть наименьшие положительные вычеты чисел $m_{1},\ m_{2},\ p_{1},\ p_{2}$ по модулю 3.