Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/204

$F(u)=\Phi [H^{\lambda _{1}}(u),\;f^{\lambda }(u)]f^{m_{1}}(u)H^{m_{2}}(u)T^{m_{3}}(u),$

(47)

‎гдѣ $\Phi$ есть цѣлая форма, однородная относительно входящихъ въ нее величинъ:

$F(u)=H^{\lambda _{1}}(u)$ и $f^{\lambda }(u),$

‎а $m_{1},\ m_{2},\ m_{3}$ суть числа цѣлыя и положительныя или равныя 0. Число $m_{2}$ мы въ правѣ считать не большимъ 2 вслѣдствіе тождественной связи между функціями $f(u),\ H(u)$ и $T(u)$:

$H^{\lambda _{1}}(u)-cf^{\lambda }(u)=c'T^{\lambda _{2}}(u),$

‎гдѣ $\lambda _{2}=2$.

Пусть форма $F(y',\;y'')$, цѣлая и однородная относительно $y',\;y''$, инваріантна по отношенію къ бинарнымъ подстановкамъ нѣкоторой группы, т. е. пусть она подъ вліяніемъ этихъ подстановокъ или совсѣмъ не мѣняется, или пріобрѣтаетъ лишь постоянные множители.

Въ такомъ случаѣ уравненіе:

$F(u)=0$

(39)

‎не будетъ мѣняться отъ подстановокъ соотвѣтствующей группы неоднородныхъ линейныхъ подстановокъ.

Какъ мы видѣли выше, функція $F(u)$ изобразится формулою (47).

Возстановивъ однородность въ тождествѣ (47), находимъ:

${\begin{matrix}F(y',\;y'')=\\=\Phi [H^{\lambda _{1}}(y',\;y''),\;f^{\lambda }(y',\;y'')]f^{m_{1}}(y',\;y'')H^{m_{2}}(y',\;y'')T^{m_{3}}(y',\;y'').\end{matrix}}$

(48)

‎Этотъ результатъ мы можемъ формулировать въ видѣ теоремы:

Теорема 3. Всякая форма, инваріантная по отношенію къ бинарнымъ подстановкамъ нѣкоторой группы, выражается раціонально черезъ формы: $H(y',\;y''),\ f(y',\;y''),\ T(y',\;y'')$·

Изъ этой теоремы мы выводимъ такія слѣдствія:

Тот же текст в современной орфографии

$F(u)=\Phi [H^{\lambda _{1}}(u),\;f^{\lambda }(u)]f^{m_{1}}(u)H^{m_{2}}(u)T^{m_{3}}(u),$

(47)

‎где $\Phi$ есть целая форма, однородная относительно входящих в нее величин:

$F(u)=H^{\lambda _{1}}(u)$ и $f^{\lambda }(u),$

‎а $m_{1},\ m_{2},\ m_{3}$ суть числа целые и положительные или равные 0. Число $m_{2}$ мы вправе считать не большим 2 вследствие тождественной связи между функциями $f(u),\ H(u)$ и $T(u)$:

$H^{\lambda _{1}}(u)-cf^{\lambda }(u)=c'T^{\lambda _{2}}(u),$

‎где $\lambda _{2}=2$.

Пусть форма $F(y',\;y'')$, целая и однородная относительно $y',\;y''$, инвариантна по отношению к бинарным подстановкам некоторой группы, т. е. пусть она под влиянием этих подстановок или совсем не меняется, или приобретает лишь постоянные множители.

В таком случае уравнение:

$F(u)=0$

(39)

‎не будет меняться от подстановок соответствующей группы неоднородных линейных подстановок.

Как мы видели выше, функция $F(u)$ изобразится формулой (47).

Восстановив однородность в тождестве (47), находим:

${\begin{matrix}F(y',\;y'')=\\=\Phi [H^{\lambda _{1}}(y',\;y''),\;f^{\lambda }(y',\;y'')]f^{m_{1}}(y',\;y'')H^{m_{2}}(y',\;y'')T^{m_{3}}(y',\;y'').\end{matrix}}$

(48)

‎Этот результат мы можем сформулировать в виде теоремы:

Теорема 3. Всякая форма, инвариантная по отношению к бинарным подстановкам некоторой группы, выражается рационально через формы: $H(y',\;y''),\ f(y',\;y''),\ T(y',\;y'')$·

Из этой теоремы мы выводим такие следствия: