Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/202

1) степень уравненія (39) ниже степени $N$ уравненія (38).

2) Степень уравненія (39) выше степени $N$ уравненія (38).

Начнемъ съ перваго случая.

I.

Пусть степень уравненія (39) ниже $N$.

Возьмемъ какой нибудь корень $u_{1}$ уравненія (39).

Совершивъ надъ $u_{1}$ всѣ подстановки группы, находимъ $N$ величинъ:

$u_{1},\ u_{2},\ldots \ u_{N}.$

(40)

‎Всѣ точки, имъ соотвѣтствующія, суть соотвѣтственныя точки сѣти четыреугольниковъ.

Всѣ величины (40) суть корни уравненія (39).

Такъ какъ степень уравненія (39) ниже $N$, то въ числѣ величинъ (40) найдутся равныя.

Соотвѣтственныя точки сѣти четыреугольниковъ только тогда могутъ совпадать, когда онѣ лежатъ въ вершинахъ четыреугольниковъ.

Если такъ, то многочленъ $F(u)$ долженъ дѣлиться на одну изъ функцій $f(u),\ H(u),\ T(u)$.

Пусть онъ раздѣлился на $f(u)$:

$F(u)=f(u)F_{1}(u).$

(41)

‎Уравненіе:

$F_{1}(u)=0$

‎тоже не мѣняется отъ подстановокъ той же группы и къ нему примѣнимы тѣ же разсужденія; и т. д.

Въ результатѣ мы придемъ къ заключенію, что многочленъ $F(u)$ можетъ быть представленъ въ слѣдующемъ видѣ:

$F(u)=f^{m_{1}}(u)H^{m_{2}}(u)T^{m_{3}}(u),$

(42)

‎гдѣ $m_{1},\ m_{2},\ m_{3}$ числа цѣлыя положительныя, или равныя нулю.

Тот же текст в современной орфографии

1) степень уравнения (39) ниже степени $N$ уравнения (38).

2) Степень уравнения (39) выше степени $N$ уравнения (38).

Начнем с первого случая.

I.

Пусть степень уравнения (39) ниже $N$.

Возьмем какой-нибудь корень $u_{1}$ уравнения (39).

Совершив над $u_{1}$ все подстановки группы, находим $N$ величин:

$u_{1},\ u_{2},\ \ldots ,\ u_{N}.$

(40)

‎Все точки, им соответствующие, суть соответственные точки сети четырехугольников.

Все величины (40) суть корни уравнения (39).

Так как степень уравнения (39) ниже $N$, то в числе величин (40) найдутся равные.

Соответственные точки сети четырехугольников только тогда могут совпадать, когда они лежат в вершинах четырехугольников.

Если так, то многочлен $F(u)$ должен делиться на одну из функций $f(u),\ H(u),\ T(u)$.

Пусть он разделился на $f(u)$:

$F(u)=f(u)F_{1}(u).$

(41)

‎Уравнение:

$F_{1}(u)=0$

‎тоже не меняется от подстановок той же группы и к нему применимы те же рассуждения; и т. д.

В результате мы придем к заключению, что многочлен $F(u)$ может быть представлен в следующем виде:

$F(u)=f^{m_{1}}(u)H^{m_{2}}(u)T^{m_{3}}(u),$

(42)

‎где $m_{1},\ m_{2},\ m_{3}$ — числа целые положительные, или равные нулю.