Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/213

показатели $m_{1},\ m_{2},\ m_{3}$ равны нулю. Если такъ, то функція $\Phi$ первой степени относительно входящихъ въ нее аргументовъ:

$f_{\text{и}}(u)=hH_{\text{т}}''^{\,3}(u)+kf_{\text{т}}''^{\,3}(u).$

(67)

‎Вычислять коэффиціенты $h$ и $k$ мы не будемъ, потому что они намъ не нужны.

Возьмемъ тождество:

$f_{\text{о}}^{2}(u)={\frac {i}{12{\sqrt {3}}}}[H_{\text{т}}^{3}(u)-f_{\text{т}}^{3}(u)].$

(65)

‎Совершивъ надъ нимъ подстановку $\sigma$, преобразующую первую нормальную тетраэдрическую сѣть въ третью^[1], находимъ:

$f_{\text{о}}''^{\,2}(u)={\frac {i}{12{\sqrt {3}}}}[H_{\text{т}}''^{\,3}(u)-f_{\text{т}}''^{\,3}(u)].$

(65')

Рѣшая систему уравненій (67) и (65') относительно $H_{\text{т}}''^{\,2}(u)$ и $f_{\text{т}}''^{\,2}(u)$, получаемъ:

$\left.{\begin{array}{l}H_{\text{т}}''^{\,3}(u)=Af_{\text{и}}(u)+Bf_{\text{о}}''^{\,2}(u),\\f_{\text{т}}''^{\,3}(u)=Cf_{\text{и}}(u)+Df_{\text{о}}''^{\,2}(u).\end{array}}\right\}$

(68)

‎Коэффиціенты $A,\ B,\ C,\ D$ имѣютъ конечныя величины потому, что опредѣлитель:

${\begin{vmatrix}h,&k,\\{\dfrac {i}{12{\sqrt {3}}}},&-{\dfrac {i}{12{\sqrt {2}}}}\end{vmatrix}}$

(69)

‎не можетъ равняться 0; иначе величина $h$ равнялась бы $-k$, функція $f_{\text{и}}(u)$ разнилась бы отъ $f_{\text{о}}''^{\,2}(u)$ лишь постояннымъ

1. См. [[../../Глава IV/ДО|главу IV]], формулу ([[../../Глава IV/ДО#Eq17|17]]).

Тот же текст в современной орфографии

показатели $m_{1},\ m_{2},\ m_{3}$ равны нулю. Если так, то функция $\Phi$ первой степени относительно входящих в нее аргументов:

$f_{\text{и}}(u)=hH_{\text{т}}''^{\,3}(u)+kf_{\text{т}}''^{\,3}(u).$

(67)

‎Вычислять коэффициенты $h$ и $k$ мы не будем, потому что они нам не нужны.

Возьмем тождество:

$f_{\text{о}}^{2}(u)={\frac {i}{12{\sqrt {3}}}}[H_{\text{т}}^{3}(u)-f_{\text{т}}^{3}(u)].$

(65)

‎Совершив над ним подстановку $\sigma$, преобразующую первую нормальную тетраэдрическую сеть в третью^[1], находим:

$f_{\text{о}}''^{\,2}(u)={\frac {i}{12{\sqrt {3}}}}[H_{\text{т}}''^{\,3}(u)-f_{\text{т}}''^{\,3}(u)].$

(65')

Решая систему уравнений (67) и (65') относительно $H_{\text{т}}''^{\,2}(u)$ и $f_{\text{т}}''^{\,2}(u)$, получаем:

$\left.{\begin{array}{l}H_{\text{т}}''^{\,3}(u)=Af_{\text{и}}(u)+Bf_{\text{о}}''^{\,2}(u),\\f_{\text{т}}''^{\,3}(u)=Cf_{\text{и}}(u)+Df_{\text{о}}''^{\,2}(u).\end{array}}\right\}$

(68)

‎Коэффициенты $A,\ B,\ C,\ D$ имеют конечные величины потому, что определитель:

${\begin{vmatrix}h,&k,\\{\dfrac {i}{12{\sqrt {3}}}},&-{\dfrac {i}{12{\sqrt {2}}}}\end{vmatrix}}$

(69)

‎не может равняться 0; иначе величина $h$ равнялась бы $-k$, функция $f_{\text{и}}(u)$ разнилась бы от $f_{\text{о}}''^{\,2}(u)$ лишь постоянным

1. См. главу IV, формулу (17).