Алгебраические уравнения, разрешимые в гипергеометрических функциях (Лахтин)/Глава VII/ДО

Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ — Глава VII. Рѣшеніе уравненій, имѣющихъ корнями отношенія частныхъ интеграловъ линейнаго дифференціальнаго уравненія 2-го порядка
авторъ Л. К. Лахтинъ

Опубл.: 1893 год.

§ 29. Критерій для рѣшенія вопроса о томъ, не служатъ ли корни даннаго алгебраическаго уравненія отношеніями частныхъ интеграловъ линейнаго дифференціальнаго уравненія 2-го порядка  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

§ 30. Приведеніе уравненія къ нормальному виду  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

§ 31. Рѣшеніе въ радикалахъ уравненій: двупирамиднаго, тетраэдрическаго и октаэдрическаго  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

§ 32. Невозможность рѣшенія икосаэдрическаго уравненія въ радикалахъ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

§ 33. Рѣшеніе уравненій изучаемаго класса въ гипергеометрическихъ функціяхъ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

---

Глава VII.

Рѣшеніе уравненій, имѣющихъ корнями отношенія частныхъ интеграловъ линейнаго дифференціальнаго уравненія 2-го порядка.

§ 29. Критеріи для рѣшенія вопроса о томъ, не служатъ ли корни даннаго алгебраическаго уравненія отношеніями частныхъ интеграловъ линейнаго дифференціальнаго уравненія 2-го порядка.

Изъ главы II намъ извѣстно, что всякое алгебраическое уравненіе, имѣющее корнями частные интегралы линейнаго дифференціальнаго уравненія 2-го порядка тождественными преобразованіями приводится къ виду:

$H^{\lambda _{1}}(u):c'T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)={\frac {1}{c}}R(z):{\frac {1}{c}}R(z)-1:1,$

(1)

‎или:

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{f^{\lambda }(u)}}=R(z),$

(1')

‎при чемъ многочлены $f(u),\ H(u),\ T(u)$, ихъ степени $\nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$ и показатели $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ имѣютъ уже извѣстныя намъ значенія.

Пусть дано алгебраическое уравненіе:

$\psi (u,\;z)=0$

(2)

‎степени $N$, и спрашивается, не принадлежитъ ли оно къ классу уравненій (1)?

Мы въ правѣ предполагать, что уравненіе (2) неприводимо, потому что иначе мы разбили бы его на нѣсколько неприводимыхъ уравненій и разсмотрѣли бы ихъ въ отдѣльности.

Если уравненіе (2) принадлежитъ къ одному изъ четырехъ типовъ: двупирамидному—степени $2m$, тетраэдрическому—степени 12, октаэдрическому—степени 24 или икосаэдрическому—степени 60, то степень уравненія (2) непремѣнно четная. Отсюда:

Первое необходимое условіе тождественности уравненій (2) и (1):

Степень $N$ уравненія (2) должна быть четная.

Если уравненіе (2) можетъ быть приведено къ виду (1'), то оно во всякомъ случаѣ должно приводиться къ виду:

${\frac {\psi (u)}{\varphi (u)}}={\mathfrak {R}}(z),$

(3)

‎гдѣ $\psi (u)$ и $\varphi (u)$ суть цѣлые раціональные взаимно простые многочлены, а ${\mathfrak {R}}(z)$—раціональная функція $z$.

Отсюда:

Второе необходимое условіе тождественности уравненій (2) и (1):

Уравненіе (2) послѣ переноса во вторую часть нѣкоторыхъ членовъ и дѣленія на нѣкоторую раціональную функцію $u$ и $z$ должно приводиться къ виду:

${\frac {\psi (u)}{\varphi (u)}}={\mathfrak {R}}(z).$

(3)

‎Рѣшить вопросъ о томъ, выполняется ли это условіе, можно совершенно элементарными способами.

Пусть это условіе выполнено.

Убѣдившись въ этомъ, мы въ то же время находимъ функціи $\psi (u)$ и $\varphi (u)$.

Преобразуя линейно обѣ части уравненія (1'), мы можемъ получить безконечное число уравненій тождественныхъ съ (1'); всѣ они будутъ такого вида:

${\frac {\alpha H^{\lambda _{1}}(u)+\beta f^{\lambda }(u)}{\gamma H^{\lambda _{1}}(u)+\delta f^{\lambda }(u)}}={\frac {\alpha R(z)+\beta }{\gamma R(z)+\delta }},$

(4)

‎гдѣ $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma ,\ \delta$ суть какія угодно числа, удовлетворяющія условію: $\alpha \delta -\beta \gamma$ отлично отъ 0.

Не трудно усмотрѣть, что уравненіе (3) только въ томъ случаѣ можетъ быть тождественно съ уравненіемъ (1'), когда оно принадлежитъ къ числу уравненій (4), т. е. когда имѣютъ мѣсто тождественныя равенства:

$\left.{\begin{array}{l}\psi (u)=\alpha H^{\lambda _{1}}(u)+\beta f^{\lambda }(u),\\\varphi (u)=\gamma H^{\lambda _{1}}(u)+\delta f^{\lambda }(u).\end{array}}\right\}$

(5)

‎Посмотримъ, какъ по даннымъ многочленамъ $\psi (u)$ и $\varphi (u)$ найти многочлены $f(u)$ и $H(u)$ и убѣдиться въ существованіи тождествъ (5).

Возьмемъ выраженіе:

$\Omega (u)=\psi (u){\frac {d\varphi (u)}{du}}-\varphi (u){\frac {d\psi (u)}{du}}.$

(6)

‎Подставивъ въ это выраженіе формулы $\psi (u)$ и $\varphi (u)$, даваемыя равенствами (5), находимъ:

${\begin{matrix}\Omega (u)=(\alpha \delta -\beta \gamma )\left[\lambda _{1}f(u){\dfrac {dH(u)}{du}}-\lambda H(u){\dfrac {df(u)}{du}}\right]\times \\\times \,f^{\lambda -1}(u)H^{\lambda _{1}-1}(u),\end{matrix}}$

(7)

‎или:

$\Omega (u)=N(\alpha \delta -\beta \gamma )f^{\lambda -1}(u)H^{\lambda _{1}-1}(u)T(u).$

(8)

‎Функція $\Omega (u)$ намъ извѣстна; степень $N$ уравненія (2) тоже извѣстна; относительно показателей $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ и степеней $\nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$ функцій $f(u),\ H(u),\ T(u)$ можно сдѣлать не болѣе двухъ предположеній:

1) уравненіе (2) можетъ быть двупирамиднымъ, и въ такомъ случаѣ числа $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2},\ \nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$ должны соотвѣтственно равняться:

${\frac {N}{2}},\ 2,\ 2,\ 2,\ {\frac {N}{2}},\ {\frac {N}{2}};$

2) если $N$ равно одному изъ чиселъ:

12, 24, 60,

‎то уравненіе (2) можетъ принадлежать къ одному изъ типовъ: тетраэдрическому, октаэдрическому или икосаэдрическому, и тогда числа $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2},\ \nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$ получатъ значенія соотвѣтствующія этому типу.

На основаніи только что приведенныхъ соображеній мы найдемъ одну или двѣ системы значеній, которыя могутъ имѣть числа $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2},\ \nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$.

Отсюда вытекаетъ:

Третье необходимое условіе тождественности уравненій (2) и (1):

Многочленъ $\Omega (u)$ долженъ имѣть:

$\nu$ корней $\lambda -1$-кратныхъ,

$\nu _{1}$ корней $\lambda _{1}-1$-кратныхъ,

$\nu _{2}$ корней простыхъ.

Мы можемъ убѣдиться въ выполненіи этого условія, примѣняя обычный пріемъ алгебры, служащій для отдѣленія кратныхъ корней^[1].

Пусть эти условія выполнились.

Убѣдившись въ выполненіи условія, мы въ то же время находимъ многочлены $f(u),\ H(u),\ T(u)$ и узнаемъ, къ которому изъ четырехъ типовъ можетъ принадлежать уравненіе (2).

Четвертое необходимое условіе тождественности уравненій (1) и (2):

Если уравненіе (2) тетраэдрическое, октаэдрическое или икосаэдрическое, то найденная функція $f(u)$ должна удовлетворять условію:

$(f,\;f)^{4}=0.$

‎Если уравненіе (2) двупирамидное, то многочленъ $f(u)$ долженъ быть второй степени.

Пятое необходимое условіе:

Если уравненіе (2) принадлежитъ къ одному изъ типовъ: тетраэдрическому, октаэдрическому или икосаэдрическому, то найденная функція $T(u)$ должна быть гессіаномъ найденной функціи $f(u)$, а найденная функція $T(u)$ должна быть функціональнымъ опредѣлителемъ $f(u)$ и $H(u)$.

Если уравненіе (2) принадлежитъ къ двупирамидному типу, то должны имѣть мѣсто тождества:

$H(u)={\frac {f_{1}^{m}+f_{2}^{m}}{2}},\ T(u)={\frac {f_{1}^{m}-f_{2}^{m}}{2}},$

‎тдѣ $f_{1}$ и $f_{2}$ суть два линейныхъ множителя найденнаго квадратнаго многочлена $f(u)$:

$f(u)=f_{1}f_{2}.$^[2]

‎Шестое необходимое условіе:

Между найденными многочленами $\psi (u),\ \varphi (u),\ f(u),\ H(u)$ должна имѣть мѣсто тождественная зависимость:

$\left.{\begin{array}{l}\psi (u)=\alpha H^{\lambda _{1}}(u)+\beta f^{\lambda }(u),\\\varphi (u)=\gamma H^{\lambda _{1}}(u)+\delta f^{\lambda }(u).\end{array}}\right\}$

(5)

‎Убѣдившись въ выполненіи этого условія, мы въ то же время находимъ коэффиціенты $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma ,\ \delta$. ‎Имѣя величины этихъ коэффиціентовъ, мы можемъ въ дѣйствительности преобразовать уравненіе (2) въ (1') и въ (1).

Изъ сказаннаго видно, что приведенные шесть условій необходимы и достаточны для того, чтобы уравненіе (2) имѣло корнями отношенія частныхъ интеграловъ линейнаго дифференціальнаго уравненія 2-го порядка.

Примѣръ.

Дано уравненіе:

$u^{3}(u+1)^{3}+3u(u+1)+1+zu^{2}(u+1)^{2}=0.$

(9)

‎Спрашивается, не принадлежитъ ли оно къ изучаемому нами классу уравненій?

Степень уравненія (9) равна 6—числу четному. Слѣдовательно первое условіе выполняется.

Уравненіе (9) можетъ принадлежать лишь къ двупирамидному типу.

Приводимъ уравненіе (9) къ виду:

${\frac {u^{3}(u+1)^{3}+3u(u+1)+1}{u^{2}(u+1)^{2}}}=-z.$

(10)

‎Второе условіе выполнено.

Сохраняя прежнія обозначенія, находимъ:

$\left.{\begin{array}{l}\psi (u)=u^{3}(u+1)^{3}+3u(u+1)+1,\\\varphi (u)=u^{2}(u+1)^{2}.\end{array}}\right\}$

(11)

‎Отсюда:

$\Omega (u)=u(u+1)(2u+1)(u^{2}+u-2)(u^{2}+u+1)^{2}.$

(12)

‎Этотъ многочленъ имѣетъ два двукратныхъ корня.

Условіе третье выполнено.

Первичная функція $f(u)$ такова:

$f(u)=u^{2}+u+1.$

(13)

‎Условіе четвертое выполнено.

Линейные множители многочлена $f(u)$ таковы:

$f_{1}=u-\varepsilon ,\ f_{2}=u-\varepsilon ^{2},$ гдѣ $\varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{3}}.$

(14)

‎Функціи $H(u)$ и $T(u)$ таковы:

$\left.{\begin{array}{l}H(u)={\dfrac {f_{1}^{3}+f_{2}^{3}}{2}}={\dfrac {1}{2}}(2u+1)(u^{2}+u-2),\\T(u)={\dfrac {f_{1}^{3}-f_{2}^{3}}{2}}=-{\dfrac {i{\sqrt {3}}}{2}}u(u+1).\end{array}}\right\}$

(15)

‎Дѣйствительно, функція $\Omega (u)$ разнится отъ

$f^{2}(u)H(u)T(u)$

‎только постояннымъ множителемъ.

Въ то же время мы видимъ, что функціи:

$f(u),\ H(u),\ T(u)$

‎удовлетворяютъ условію пятому.

Подставивъ выраженія (13) и (15) въ равенства:

$\left.{\begin{array}{l}\psi (u)=\alpha H^{2}(u)+\beta f^{3}(u),\\\varphi (u)=\gamma H^{2}(u)+\delta f^{3}(u),\end{array}}\right\}$

(16)

‎находимъ:

$\alpha ={\frac {4}{9}},\ \beta ={\frac {5}{9}},\ \gamma =-{\frac {4}{27}},\ \delta ={\frac {4}{27}}.$

(17)

‎Условіе шестое выполнено.

Слѣдовательно уравненіе (9) двупирамидное.

Изъ формулъ (16), (17), (11) и (10) слѣдуетъ, что его можно представить въ такомъ видѣ:

${\frac {4H^{2}(u)+5f^{3}(u)}{H^{2}(u)-f^{3}(u)}}={\frac {4}{3}}z,$

(18)

‎гдѣ $H(u)$ и $f(u)$ даются формулами (13) и (15).

Изъ уравненія (18) слѣдуетъ:

${\frac {H^{2}(u)}{f^{3}(u)}}={\frac {4z+15}{4z-12}},$

(19)

‎или, наконецъ:

$H^{2}(u):T^{2}(u):f^{3}(u)=4z+15:27:4z-12,$

(20)

‎гдѣ $H(u),\ T(u)$ и $f(u)$ имѣютъ значенія, даваемыя формулами (13) и (15).

§ 30. Приведеніе уравненія къ нормальному виду.

Примѣняя пріемы предыдущаго параграфа, мы можемъ всякое уравненіе изучаемаго нами класса привести къ виду (1).

Затѣмъ мы можемъ его нѣсколько упростить по виду, принявъ:

${\frac {1}{c}}R(z)$

‎за новое независимое перемѣнное (въ главѣ ІІ-ой мы его обозначали буквою $t$).

Для простоты (какъ мы уже дѣлали раньше) мы обозначимъ новое перемѣнное тою же буквою $z$ и представимъ уравненіе (1) въ такомъ видѣ:

$H^{\lambda _{1}}(u):c'T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)=z:z-1:1.$

(21)

‎Вообще говоря, уравненіе (21) не будетъ нормальнаго вида; но мы можемъ утверждать, что оно непремѣнно эквивалентно нормальному уравненію.

Посмотримъ, какъ найти ту линейную подстановку, которая преобразуетъ данное уравненіе въ нормальное.

Для опредѣленности мы будемъ изображать данное намъ алгебраическое уравненіе такъ:

${\bar {H}}^{\lambda _{1}}({\bar {u}}):{\bar {c}}'{\bar {T}}^{\lambda _{2}}({\bar {u}}):{\bar {c}}{\bar {f}}^{\lambda }({\bar {u}})=z:z-1:1,$

(22)

‎а для нормальнаго уравненія сохранимъ прежнія обозначенія:

$H^{\lambda _{1}}(u):c'T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)=z:z-1:1.$

(21)

‎Функціи ${\bar {H}}({\bar {u}}),\ {\bar {T}}({\bar {u}}),\ {\bar {f}}({\bar {u}})$ и постоянныя ${\bar {c}}',\ {\bar {c}}$ намъ даны, нормальныя функціи $H(u),\ T(u),\ f(u)$ и постоянныя $c'$ и $c$ найдены нами въ главѣ V.

Неизвѣстныя ${\bar {u}}$ и $u$ связаны между собою линейною зависимостью:

${\bar {u}}={\frac {pu+q}{ru+s}}.$

(23)

‎Задача наша состоитъ въ нахожденіи постоянныхъ коэффиціентовъ:

$p,\ q,\ r,\ s.$

‎Пользуясь произволомъ одного изъ этихъ коэффиціентовъ, мы можемъ на нихъ наложить условіе:

$ps-qr=1.$

(24)

‎Дадимъ величинѣ ${\bar {u}}$ какое нибудь произвольное значеніе ${\bar {a}}$ и опредѣлимъ соотвѣтствующее ему значеніе $z$ изъ уравненія (22); пусть при ${\bar {u}}={\bar {a}}$ перемѣнное $z$ равно $\alpha$.

Въ такомъ случаѣ:

$\alpha ={\frac {{\bar {H}}^{\lambda _{1}}({\bar {a}})}{{\bar {c}}{\bar {f}}^{\lambda }({\bar {a}})}}.$

(25)

‎Подставивъ значеніе $z=\alpha$ въ уравненіе (21), находимъ:

$\alpha ={\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}.$

(26)

‎Положимъ, что намъ удалось рѣшить это нормальное уравненіе и пусть одинъ изъ корней его есть:

$u=a.$

‎Въ такомъ случаѣ между величинами $a$ и ${\bar {a}}$ существуетъ зависимость (23):

${\bar {a}}={\frac {pa+q}{ra+s}}.$

(27)

‎Изъ уравненій (21) и (22) слѣдуетъ:

${\frac {{\bar {H}}^{\lambda _{1}}({\bar {u}})}{{\bar {c}}{\bar {f}}^{\lambda }({\bar {u}})}}={\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}.$

(28)

‎Дифференцируемъ обѣ части этого уравненія по $u$:

${\begin{matrix}{\dfrac {\left(\lambda _{1}{\bar {f}}({\bar {u}}){\dfrac {d{\bar {H}}({\bar {u}})}{du}}-\lambda {\bar {H}}({\bar {u}}){\dfrac {d{\bar {f}}({\bar {u}})}{du}}\right){\bar {H}}^{\lambda _{1}-1}({\bar {u}})}{{\bar {c}}{\bar {f}}^{\lambda +1}({\bar {u}})}}{\dfrac {d{\bar {u}}}{du}}=\\={\dfrac {\left(\lambda _{1}f(u){\dfrac {dH(u)}{du}}-\lambda H(u){\dfrac {df(u)}{du}}\right)H^{\lambda _{1}-1}(u)}{cf^{\lambda +1}(u)}},\end{matrix}}$

(29)

‎или:

${\frac {{\bar {T}}({\bar {u}})}{{\bar {f}}({\bar {u}}){\bar {H}}({\bar {u}})}}{\frac {d{\bar {u}}}{du}}={\frac {T(u)}{f(u)H(u)}},$

‎откуда:

${\frac {d{\bar {u}}}{du}}={\frac {T(u){\bar {f}}({\bar {u}}){\bar {H}}({\bar {u}})}{{\bar {T}}({\bar {u}})f(u)H(u)}}.$

(30)

‎Дифференцируя это равенство по $u$, мы можемъ найти выраженіе:

${\frac {d^{2}{\bar {u}}}{du^{2}}}$

‎въ функціяхъ $u$ и ${\bar {u}}$.

Подставивъ въ полученныхъ выраженіяхъ ${\frac {d{\bar {u}}}{du}},\ {\frac {d^{2}{\bar {u}}}{du^{2}}}$ величины:

$u=a,\ {\bar {u}}={\bar {a}},$

‎найдемъ:

$\left({\frac {d{\bar {u}}}{du}}\right)_{z=\alpha }=A,\ \left({\frac {d^{2}{\bar {u}}}{du^{2}}}\right)_{z=\alpha }=B,$

(31)

‎гдѣ $A$ и $B$ суть нѣкоторыя извѣстныя числа.

Дифференцируя два раза по $u$ уравненіе (23), находимъ:

${\frac {d{\bar {u}}}{du}}={\frac {1}{(ru+s)^{2}}},$

(32)

${\frac {d^{2}{\bar {u}}}{du^{2}}}={\frac {2r}{(ru+s)^{3}}}.$

(33)

‎Подставивъ въ эти равенства значенія:

$u=a,\ {\frac {d{\bar {u}}}{du}}=A,\ {\frac {d^{2}{\bar {u}}}{du^{2}}}=B,$

‎находимъ:

$\left.{\begin{array}{l}A(ru+s)^{2}=1,\\B(ru+s)^{3}=-2r.\end{array}}\right\}$

(34)

Изъ уравненій (24), (27), (34) мы опредѣлимъ четыре искомыхъ коэффиціента:

$p,\ q,\ r,\ s.$

‎Итакъ, для приведенія уравненія (22) къ нормальному виду (21) необходимо рѣшить одно нормальное уравненіе (26) того же типа.

Рѣшивъ уравненіе (21), мы будемъ въ состояніи найти корни уравненія (22): корни этихъ уравненій связаны между собою линейною зависимостью (23).

Слѣдовательно для рѣшенія уравненія общаго вида (22) необходимо рѣшить два нормальныхъ уравненія того же типа (26) и (21).

Задача о рѣшеніи уравненія общаго вида приводится, такимъ образомъ, къ задачѣ о рѣшеніи нормальнаго уравненія того же типа.

Въ слѣдующихъ параграфахъ мы займемся вопросомъ о рѣшеніи нормальныхъ уравненій.

§ 31. Рѣшеніе въ радикалахъ уравненій: двупирамидиаго, тетраэдрическаго и октаэдрическаго.

Мы уже упоминали въ главѣ IV, что уравненія: тетраэдрическое и октаэдрическое разрѣшимы въ радикалахъ. Двупирамидное уравненіе въ нормальной формѣ разрѣшимо въ радикалахъ совершенно элементарнымъ способомъ.

Найдемъ эти рѣшенія.

Возьмемъ нормальныя уравненія:

1) $\left({\frac {u^{m}+1}{2}}\right)^{2}:\left({\frac {u^{m}-1}{2}}\right)^{2}:u^{m}=z_{\text{д}}:z_{\text{д}}-1:1$ двупирамидное,	(35)
2) $\left({\frac {u^{2}+1}{2}}\right)^{2}:\left({\frac {u^{2}-1}{2}}\right)^{2}:u^{2}=z_{\text{ч}}:z_{\text{ч}}-1:1$ четверичное,	(36)
${\begin{matrix}\left.{\begin{array}{l}3)\ (u^{4}-2i{\sqrt {3}}u^{2}+1)^{3}:-12i{\sqrt {3}}(u^{5}-u)^{2}:\\\quad :(u^{4}+2i{\sqrt {3}}u^{2}+1)^{3}=z_{\text{т}}:z_{\text{т}}-1:1\end{array}}\right\}&{\begin{matrix}{\text{тетраэдри-}}\\{\text{ ческое,}}\end{matrix}}\end{matrix}}$	(37)
${\begin{matrix}\left.{\begin{array}{l}4)\ (u^{8}+14u^{4}+1)^{3}:(u^{12}-33u^{8}-33u^{4}+1)^{2}:\\\quad :108(u^{5}-u)^{4}=z_{\text{о}}:z_{\text{о}}-1:1\end{array}}\right\}&{\begin{matrix}{\text{октаэдри-}}\\{\text{ ческое.}}\end{matrix}}\end{matrix}}$	(38)

Пусть параметры $z_{\text{ч}},\ z_{\text{т}},\ z_{\text{о}}$ выбраны такъ, что уравненія (36), (37), (38) имѣютъ общій корень $u$.

I. Двупирамидное уравненіе.

Рѣшеніе двупирамиднаго уравненія не представляетъ никакихъ затрудненій: написавъ это уравненіе въ формѣ:

$\left({\frac {u^{m}+1}{u^{m}-1}}\right)^{2}={\frac {z_{\text{д}}}{z_{\text{д}}-1}},$

(39)

‎мы находимъ, что

$u={\sqrt[{m}]{\frac {\surd {\overline {z_{\text{д}}{\vphantom {1}}}}+\surd {\overline {z_{\text{д}}-1}}}{\surd {\overline {z_{\text{д}}{\vphantom {1}}}}-\surd {\overline {z_{\text{д}}-1}}}}},$

(40)

‎или:

$u={\sqrt[{m}]{(\surd {\overline {z_{\text{д}}{\vphantom {1}}}}+\surd {\overline {z_{\text{д}}-1}})^{2}}}.$

(41)

‎Всѣ корни уравненія (35) выражаются $2m$-значною функціею (41).

II. Четверичное уравненіе.

Положивъ въ формулѣ (41) $m=2$, находимъ выраженія корней четверичнаго уравненія (36):

$u=\surd {\overline {z_{\text{ч}}{\vphantom {1}}}}+\surd {\overline {z_{\text{ч}}-1}}.$

(42)

III. Тетраэдрическое уравненіе.

Возьмемъ тождества (63) главы VI:

$\left.{\begin{array}{l}f_{\text{т}}(u)=4H_{\text{ч}}^{2}(u)+4\varepsilon f_{\text{ч}}^{2}(u),\\H_{\text{т}}(u)=4H_{\text{ч}}^{2}(u)+4\varepsilon ^{2}f_{\text{ч}}^{2}(u),\\{\text{гдѣ}}\ \varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{3}}.\end{array}}\right\}$

(43)

‎Изъ этихъ тождествъ находимъ:

${\frac {H_{\text{т}}^{3}(u)}{f_{\text{т}}^{3}(u)}}=\left({\frac {{\dfrac {H_{\text{ч}}^{2}(u)}{f_{\text{ч}}^{2}(u)}}+\varepsilon ^{2}}{{\dfrac {H_{\text{ч}}^{2}(u)}{f_{\text{ч}}^{2}(u)}}+\varepsilon }}\right)^{3},$

(44)

‎или, принявъ во вниманіе уравненія (36) и (37):

$z_{\text{т}}=\left({\frac {z_{\text{ч}}+\varepsilon ^{2}}{z_{\text{ч}}+\varepsilon }}\right)^{3},$

(45)

‎откуда:

$z_{\text{ч}}={\frac {\varepsilon \sideset {^{3}}{}\!\!\!\!\!\surd {\overline {z_{\text{т}}}}-\varepsilon ^{2}}{1-\sideset {^{3}}{}\!\!\!\!\!\surd {\overline {z_{\text{т}}}}}}.$

(46)

‎Подставивъ это выраженіе $z_{\text{ч}}$ въ формулу (42), находимъ выраженіе корня $u$ тетраэдрическаго уравненія (37):

$u={\frac {{\sqrt {{\vphantom {\Big |}}\varepsilon \sideset {^{3}}{}\!\!\!\!\!\surd {\overline {z_{\text{т}}}}-\varepsilon ^{2}}}+{\sqrt {{\vphantom {\Big |}}-\varepsilon ^{2}\sideset {^{3}}{}\!\!\!\!\!\surd {\overline {z_{\text{т}}}}+\varepsilon }}}{\sqrt {{\vphantom {\Big |}}1-\sideset {^{3}}{}\!\!\!\!\!\surd {\overline {z_{\text{т}}}}}}}.$

(47)

‎Всѣ 12 корней тетраэдрическаго уравненія (37) выражаются значеніями 12-значной функціи (47).

IV. Октаэдрическое уравненіе.

Возьмемъ тождества (55) и (56) главы VI:

$\left.{\begin{array}{l}H_{\text{о}}(u)=f_{\text{т}}(u)H_{\text{т}}(u),\\f_{\text{о}}(u)=T_{\text{т}}(u).\end{array}}\right\}$

(48)

‎Изъ тождествъ (48) слѣдуетъ:

${\frac {H_{\text{о}}^{3}(u)}{108f_{\text{о}}^{4}(u)}}={\frac {f_{\text{т}}^{3}(u)H_{\text{т}}^{3}(u)}{108T_{\text{т}}^{4}(u)}},$

(49)

‎или, принимая во вниманіе уравненія (37) и (38):

$z_{\text{о}}=-{\frac {4z_{\text{т}}}{(z_{\text{т}}-1)^{2}}},$

(50)

‎откуда:

$z_{\text{т}}={\frac {z_{\text{о}}-2+2\surd {\overline {1-z_{\text{о}}}}}{z_{\text{о}}}}.$

(51)

‎Подставивъ это выраженіе $z_{\text{т}}$ въ формулу (47), находимъ выраженіе корня $u$ октаэдрическаго уравненія (38):

${\begin{matrix}u=\\={\dfrac {{\sqrt {\varepsilon {\sqrt[{3}]{z_{\text{о}}-2+2\surd {\overline {1-z_{\text{о}}}}}}-\varepsilon ^{2}\sideset {^{3}}{}\!\!\!\!\!\surd {\overline {z_{\text{о}}}}}}+{\sqrt {-\varepsilon \sideset {^{3}}{}\!\!\!\!\!\surd {\overline {z_{\text{о}}}}-\varepsilon ^{2}{\sqrt[{3}]{z_{\text{о}}-2+2\surd {\overline {1-z_{\text{о}}}}}}}}}{\sqrt {\sideset {^{3}}{}\!\!\!\!\!\surd {\overline {z_{\text{о}}}}-{\sqrt[{3}]{z_{\text{о}}-2+2\surd {\overline {1-z_{\text{о}}}}}}}}}.\end{matrix}}$

(52)

‎Всѣ 24 корня октаэдрическаго уравненія (38) выражаются 24-значной функціей (52).

§ 32. Невозможность рѣшенія икосаэдрическаго уравненія въ радикалахъ.

Возьмемъ два уравненія:

${\frac {f_{\text{о}}^{''\,2}(u)}{f_{\text{и}}(u)}}=\zeta ,$

(53)

$H_{\text{и}}^{3}(u):T_{\text{и}}^{2}(u):-1728f_{\text{и}}^{3}(u)=z:z-1:1.$

(54)

‎Возьмемъ тождества (65') и (67) главы VI:

$f_{\text{о}}''^{\,2}(u)={\frac {i}{12{\sqrt {3}}}}[H_{\text{т}}''^{\,3}(u)-f_{\text{т}}''^{\,3}(u)],$

(55)

$f_{\text{и}}(u)=hH_{\text{т}}''^{\,3}(u)+kf_{\text{т}}''^{\,3}(u).$

(56)

‎На основаніи этихъ тождествъ мы въ правѣ сказать, что уравненіе (53) есть тетраэдрическое уравненіе третьяго нормальнаго вида.

Уравненіе (54) есть, какъ мы знаемъ, нормальное икосаэдрическое уравненіе.

Пусть перемѣнныя $z$ и $\zeta$ выбраны такъ, что уравненія (53) и (54) имѣютъ общій корень $u$.

Возьмемъ тождества (73) и (75) главы VI:

$T_{\text{и}}(u)=[f_{\text{о}}''^{\,4}(u)-10f_{\text{о}}''^{\,2}(u)f_{\text{и}}(u)+45f_{\text{и}}^{2}(u)]f''_{\text{о}}(u),$

(57)

$H_{\text{и}}(u)=[f_{\text{о}}''^{\,2}(u)-3f_{\text{и}}(u)]H''_{\text{о}}(u),$

(58)

$H_{\text{о}}''^{\,3}(u)=64f_{\text{и}}^{2}(u)-11f_{\text{и}}(u)f_{\text{о}}''^{\,2}(u)+f_{\text{о}}''^{\,4}(u).$

(59)

‎Изъ тождествъ (58) и (59) слѣдуетъ:

${\frac {H_{\text{и}}^{3}(u)}{f_{\text{и}}^{5}(u)}}=\left\{{\frac {f_{\text{о}}''^{\,2}(u)}{f_{\text{и}}(u)}}-3\right\}^{3}\left\{64-11{\frac {f_{\text{о}}''^{\,2}(u)}{f_{\text{и}}(u)}}+{\frac {f_{\text{о}}''^{\,4}(u)}{f_{\text{и}}^{2}(u)}}\right\},$

‎или, принимая во вниманіе уравненія (53) и (54):

$-1728z=(\zeta -3)^{3}(64-11\zeta +\zeta ^{2}).$

(60)

‎Такимъ же образомъ изъ тождества (57), принимая во вниманіе уравненія (53) и (54), находимъ:

$-1728(z-1)=(\zeta ^{2}-10\zeta +45)^{2}\zeta .$

(61)

‎Соединяя вмѣстѣ уравненія (60) и (61), можемъ написать:

$(\zeta -2)^{3}(64-11\zeta +\zeta ^{2}):\zeta (\zeta ^{2}-10\zeta +45)^{2}:-1728=z:z-1:1.$

(62)

‎Идя тѣмъ же путемъ, которымъ мы шли въ § 31, мы должны были бы для рѣшенія икосаэдрическаго уравненія (54) поступить такъ:

1) Рѣшить тетраэдрическое уравненіе (53)—его, какъ мы знаемъ, можно рѣшить въ радикалахъ.

2) Выразить изъ уравненія (62) величину $\zeta$, какъ явную функцію $z$.

3) Подставить полученное выраженіе $\zeta$ въ выраженіе корня и тетраэдрическаго уравненія (53). Полученное такимъ образомъ выраженіе и будетъ корнемъ икосаэдрическаго уравненія (54).

Не трудно усмотрѣть, что путь этотъ для икосаэдрическаго уравненія непримѣнимъ, потому что уравненіе (62) есть уравненіе 5-ой степени.

Ниже, въ главѣ X, мы убѣдимся въ томъ, что уравненіе 5-ой степени (62) не разрѣшимо въ радикалахъ^[3]. Поэтому и икосаэдрическое уравненіе (54) не разрѣшимо въ радикалахъ.

§ 33. Рѣшеніе уравненій изучаемаго класса въ гипергеометрическвхъ функціяхъ.

Пусть дано нормальное уравненіе:

$H^{\lambda _{1}}(u):c'T^{\lambda _{2}}(u):cf^{\lambda }(u)=z:z-1:1.$

(21)

‎Мы видѣли въ главѣ II, что корни его суть отношенія частныхъ интеграловъ гипергеометрическаго уравненія

$z(1-z){\frac {d^{2}y}{ds^{2}}}+[\gamma -(\alpha +\beta +1)z]{\frac {dy}{ds}}-\alpha \beta y=0,$

(63)

при чемъ значенія параметровъ $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ таковы:

${\begin{array}{r|c|c|c|c|}\hline &{\begin{matrix}{\text{Двупирамид-}}\\{\text{ное.}}\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\text{Тетраэдриче-}}\\{\text{ское.}}\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\text{Октаэдриче-}}\\{\text{ское.}}\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\text{Икосаэдри-}}\\{\text{ческое.}}\end{matrix}}\\\hline \alpha =&{\dfrac {1}{2m}}&{\dfrac {1}{4}}&{\dfrac {5}{24}}&{\dfrac {11}{60}}\\\hline \beta =&-{\dfrac {1}{2m}}&-{\dfrac {1}{12}}&-{\dfrac {1}{24}}&-{\dfrac {1}{60}}\\\hline \gamma =&{\dfrac {1}{2}}&{\dfrac {2}{3}}&{\dfrac {2}{3}}&{\dfrac {2}{3}}\\\hline \end{array}}$

(64)

Обозначивъ черезъ $y',\ y''$ два линейно независимыхъ частныхъ интеграла уравненія (63), мы можемъ всякій корень уравненія (21) представить въ такомъ видѣ:

$u={\frac {py'+qy''}{ry'+sy''}},$

(65)

‎гдѣ $p,\ q,\ r,\ s$ суть нѣкоторыя постоянныя числа.

Займемся вычисленіемъ этихъ постоянныхъ для нормальныхъ уравненій тетраэдрическаго, октаэдрическаго и икосаэдрическаго типовъ^[4].

Мы начнемъ съ икосаэдрическаго уравненія, какъ наиболѣе для насъ важнаго.

Въ вычисленіяхъ мы будемъ пользоваться формулами и обозначеніями § 9.

I. Икосаэдрическое уравненіе.

${\begin{matrix}(u^{20}-228u^{15}+494u^{10}+228u^{5}+1)^{3}:(u^{30}+522u^{25}-10005u^{20}\,-\\-\,10005u^{10}-522u^{5}+1)^{2}:-1728u^{5}(u^{10}+11u^{5}-1)^{5}=z:z-1:1.\end{matrix}}$

(54')

‎Параметры $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ гипергеометрическаго уравненія, соотвѣтствующіе разсматриваемому случаю, таковы:

$\alpha ={\frac {11}{60}},\ \beta =-{\frac {1}{60}},\ \gamma ={\frac {2}{3}}.$

‎Подставивъ эти значенія параметровъ $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ въ формулы (46) и (48) параграфа 9, находимъ:

$\left.{\begin{array}{l}y_{1}=F\left({\dfrac {11}{60}},\;-{\dfrac {1}{60}},\;{\dfrac {2}{3}},\;z\right),\\y_{2}=z^{\frac {1}{3}}F\left({\dfrac {31}{60}},\;{\dfrac {19}{60}},\;{\dfrac {4}{3}},\;z\right),\end{array}}\right\}$

(66)

$\left.{\begin{array}{l}y_{5}=z^{-{\frac {11}{60}}}F\left({\dfrac {11}{60}},\;{\dfrac {31}{60}},\;{\dfrac {6}{5}},\;{\dfrac {1}{z}}\right),\\y_{6}=z^{\frac {1}{60}}F\left(-{\dfrac {1}{60}},\;{\dfrac {19}{60}},\;{\dfrac {4}{5}},\;{\dfrac {1}{z}}\right).\end{array}}\right\}$

(67)

‎Область сходимости рядовъ (66) есть кругъ, описанный изъ начала координатъ радіусомъ равнымъ 1. На самомъ кругѣ ряды остаются сходящимися, хотя сходимость ихъ медленная. Площадь этого круга мы по прежнему назовемъ областью I. Областью сходимости рядовъ (67) служитъ вся плоскость за исключеніемъ области I. Ряды остаются сходящимися и на границѣ этой области: на окружности круга, описаннаго изъ начала координатъ радіусомъ равнымъ 1. Область сходимости рядовъ (67) мы по прежнему будемъ называть областью III.

Положивъ въ формулѣ (65):

$y'=y_{5},\ y''=y_{6},$

‎мы представимъ корни икосаэдрическаго уравненія (54') въ такомъ видѣ:

$u={\frac {py_{5}+qy_{6}}{ry_{5}+sy_{6}}}.$

(68)

‎При надлежащемъ выборѣ коэффиціентовъ $p,\ q,\ r,\ s$ формула (68) способна изобразить каждый корень икосаэдрическаго уравненія.

Корни икосаэдрическаго уравненія, какъ мы знаемъ, на плоскости перемѣннаго $u$ изображаются точками, соотвѣтственными относительно четыреугольниковъ икосаэдрической сѣти. Условимся буквою $u$ обозначать тотъ корень икосаэдрическаго уравненія, который соотвѣтствуетъ основному четыреугольнику $0abc$ (черт. I) сѣти и выберемъ постоянныя

$p,\ q,\ r,\ s$

‎такъ, чтобы формула (68) изображала именно этотъ корень $u$ икосаэдрическаго уравненія.

Изъ икосаэдрическаго уравненія (54') видно, что въ области точки $z=\infty$ корень $u$ разлагается въ рядъ такого вида:

$u={\frac {1}{12^{\frac {3}{5}}}}z^{-{\frac {1}{5}}}+\ldots$

(69)

‎Сравнивая этотъ рядъ съ формулою (68), гдѣ $y_{5}$ и $y_{6}$ имѣютъ величины, даваемыя формулами (67), мы находимъ, что для тождественности формулъ (69) и (68) коэффиціенты

$p,\ q,\ r,\ s$

‎должны удовлетворять такимъ условіямъ:

$q=r=0,\ {\frac {p}{s}}={\frac {1}{12^{\frac {3}{5}}}}.$

‎Послѣ подстановки этихъ величинъ въ формулу (68) и послѣ замѣны $y_{5}$ и $y_{6}$ ихъ выраженіями (67), мы найдемъ, что въ области III корень и выражается формулою:

$u={\frac {1}{12^{\frac {3}{5}}}}{\frac {F\left({\dfrac {11}{60}},\;{\dfrac {31}{60}},\;{\dfrac {6}{5}},\;{\dfrac {1}{z}}\right)}{F\left(-{\dfrac {1}{60}},\;{\dfrac {19}{60}},\;{\dfrac {4}{5}},\;{\dfrac {1}{z}}\right)}}z^{-{\frac {1}{5}}}.$

(70)

‎Таково выраженіе корня $u$ въ области III, т. е. при

${\text{мод.}}\,z\geqq 1.$

‎Посмотримъ, каково выраженіе того же корня въ области I.

Положивъ въ формулѣ (65):

$y'=y_{1},\ y''=y_{2},$

‎мы представимъ корень $u$ въ такомъ видѣ:

$u={\frac {py_{1}+qy_{2}}{ry_{1}+sy_{2}}},$

(71)

‎гдѣ $p,\ q,\ r,\ s$ имѣютъ другія значенія, чѣмъ прежде.

Займемся ихъ опредѣленіемъ.

Въ § 10, при доказательствѣ теоремы 3 главы III, мы видѣли, что когда точка $z$ идетъ по дѣйствительной оси справа влѣво и подходитъ къ точкѣ 0, точка $u$ движется по сторонѣ треугольника сѣти — сторонѣ, обозначенной на чертежѣ 4 буквами $u_{1}u_{0}$, а въ разсматриваемомъ случаѣ на черт. I буквами $bc$, и подходитъ къ соотвѣтствующей вершинѣ треугольника—вершинѣ, обозначенной на черт. I буквою $c$. Касательная къ дугѣ окружности $bc$ въ точкѣ $c$ наклонена къ дѣйствительной оси плоскости подъ угломъ ${\frac {23}{15}}\pi$.

Изъ этихъ соображеній и изъ вида икосаэдрическаго уравненія (54') не трудно усмотрѣть, что въ области точки $z=0$ корень $u$ разлагается въ рядъ вида:

$u=he^{\frac {\pi i}{5}}+ke^{{\frac {23}{15}}\pi i}z^{\frac {1}{3}}+\ldots ,$

(72)

‎гдѣ $h$ есть разстояніе точки $c$ отъ начала координатъ, т. е. модуль количества, изображаемаго точкою $c$, а $k$—нѣкоторое дѣйствительное положительное число.

Займемся опредѣленіемъ постоянныхъ $h$ и $k$.

Изъ чертежа I видно, что точка $c$ не мѣняется икосаэдрическою подстановкою:

$S_{\text{и}}{\mathfrak {T}}_{\text{и}};$

‎она служитъ поэтому корнемъ уравненія:

$u={\frac {1+(\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3})u}{u-(\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3})}}\varepsilon ,$

(73)

гдѣ $\varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{5}}.$

‎Корни уравненія (73) таковы:

${\frac {\pm {\sqrt {30+6{\sqrt {5}}}}-(3+{\sqrt {5}})}{4}}e^{\frac {\pi i}{5}}.$

(74)

‎Отсюда ясно, что:

$h={\frac {+{\sqrt {30+6{\sqrt {5}}}}-(3+{\sqrt {5}})}{4}},$

(75)

‎или, по вычисленіи:

$h=0{,}33826121\ldots$

(76)

‎Величина

$he^{\frac {\pi i}{5}},$

‎изображаемая точкою $c$ на чертежѣ I, есть корень многочлена $H_{\text{и}}(u)$·

Подставивъ разложеніе (72) въ икосаэдрическое уравненіе, произведя сокращеніе на $z$ и положивъ затѣмъ $z=0$, мы получимъ такое равенство:

${\frac {5^{3}(57-247h^{5}-171h^{10}-h^{15})^{3}h^{7}k^{3}}{3^{5}(1+11h^{5}-h^{10})^{5}}}=1,$

(77)

‎откуда:

$k=0{,}6{\frac {(1+11h^{5}-h^{10})^{\frac {5}{3}}}{(57-247h^{5}-171h^{10}-h^{15})h^{\frac {7}{3}}}}.$

(78)

‎Подставивъ въ эту формулу найденную величину $h$ (76), находимъ:

$k=0{,}145\ldots$

(79)

‎Итакъ, въ области точки $z=0$ корень $u$ разлагается въ такой рядъ:

$u=0{,}33826121\ldots e^{\frac {\pi i}{5}}+0{,}145\ldots e^{{\frac {23}{15}}\pi i}z^{\frac {1}{3}}+\ldots$

(80)

‎Для того, чтобы эта формула была тождественна съ формулою (71), гдѣ $y_{1}$ и $y_{2}$ имѣютъ значенія, даваемыя равенствами (66), необходимо, чтобы коэффиціенты $p,\ q,\ r,\ s$ формулы (71) удовлетворяли условіямъ:

${\begin{matrix}s=0,\ {\dfrac {p}{r}}=he^{\frac {\pi i}{5}}=0{,}33826121\ldots e^{\frac {\pi i}{5}},\\{\dfrac {q}{r}}=0{,}145\ldots e^{{\frac {23}{15}}\pi i}.\end{matrix}}$

(81)

‎Итакъ, въ области I корень $u$ икосаэдрическаго уравненія выражается формулою:

$u=0{,}33826121\ldots e^{\frac {\pi i}{5}}+0{,}145\ldots e^{{\frac {23}{15}}\pi i}{\frac {z^{\frac {1}{3}}F\left({\dfrac {31}{60}},\;{\dfrac {19}{60}},\;{\dfrac {4}{3}},\;z\right)}{F\left({\dfrac {11}{60}},\;-{\dfrac {1}{60}},\;{\dfrac {2}{3}},\;z\right)}}.$

(82)

‎Таково выраженіе корня $u$ въ области I, т. е. при

${\text{мод.}}\,z\leqq 1.$

‎Формулы (70) и (82) позволяютъ вычислить корень $u$ икосаэдрическаго уравненія при всякомъ значеніи $z$. Найдя величину одного корня и зная подстановки икосаэдрической группы, мы можемъ вычислить всѣ остальные корни икосаэдрическаго уравненія^[5].

II. Октаэдрическое уравненіе.

Возьмемъ октаэдрическое уравненіе въ первой нормальной формѣ:

${\begin{matrix}(u^{8}+14u^{4}+1)^{3}:(u^{12}-33u^{8}-33u^{4}+1)^{2}:108(u^{5}-u)^{4}=\\=z:z-1:1.\end{matrix}}$

(38)

‎Къ нему примѣнимы почти дословно тѣ же разсужденія, которыя мы привели по поводу икосаэдрическаго уравненія. Поэтому ограничимся лишь самыми краткими указаніями.

Величины параметровъ $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$, въ разсматриваемомъ случаѣ таковы:

$\alpha ={\frac {5}{24}},\ \beta =-{\frac {1}{24}},\ \gamma ={\frac {2}{3}}.$

‎Подставивъ эти величины въ формулы (46) и (48) § 9, находимъ:

$\left.{\begin{array}{l}y_{1}=F\left({\dfrac {5}{24}},\;-{\dfrac {1}{24}},\;{\dfrac {2}{3}},\;z\right),\\y_{2}=z^{\frac {1}{3}}F\left({\dfrac {13}{24}},\;{\dfrac {7}{24}},\;{\dfrac {4}{3}},\;z\right),\end{array}}\right\}$

(83)

$\left.{\begin{array}{l}y_{5}=z^{-{\frac {5}{24}}}F\left({\dfrac {5}{24}},\;{\dfrac {13}{24}},\;{\dfrac {5}{4}},\;{\dfrac {1}{z}}\right),\\y_{6}=z^{\frac {1}{24}}F\left(-{\dfrac {1}{24}},\;{\dfrac {7}{24}},\;{\dfrac {3}{4}},\;{\dfrac {1}{z}}\right).\end{array}}\right\}$

(84)

‎Въ области III корень $u$ уравненія (38) изобразится формулою вида:

$u={\frac {py_{5}+qy_{6}}{ry_{5}+sy_{6}}}.$

(68)

‎Изъ уравненія (38) видно, что въ области точки $z=\infty$ корень $u$ разлагается въ рядъ:

$u={\frac {1}{\sqrt[{4}]{108}}}z^{-{\frac {1}{4}}}+\ldots$

(85)

‎Для тождественности формулъ (85) и (68) необходимо, чтобы коэффиціенты $p,\ q,\ r,\ s$ удовлетворяли условіямъ:

$q=r=0,\ {\frac {p}{s}}={\frac {1}{\sqrt[{4}]{108}}}.$

(86)

‎Подставивъ эти величины въ формулу (68), находимъ:

$u={\frac {1}{\sqrt[{4}]{108}}}{\frac {F\left({\dfrac {5}{24}},\;{\dfrac {13}{24}},\;{\dfrac {5}{4}},\;{\dfrac {1}{z}}\right)}{F\left(-{\dfrac {1}{24}},\;{\dfrac {7}{24}},\;{\dfrac {3}{4}},\;{\dfrac {1}{z}}\right)}}z^{-{\frac {1}{4}}}.$

(87)

‎Таково выраженіе корня $u$ октаэдрическаго уравненія въ области III, т. е. при

${\text{мод.}}\,z\geqq 1.$

‎Въ области I тотъ же корень $u$ изобразится формулою вида:

$u={\frac {py_{1}+qy_{2}}{ry_{1}+sy_{2}}}.$

(71)

‎Съ другой стороны, разсужденіями, подобными приведеннымъ выше при разсмотрѣніи уравненія икосаэдрическаго типа, обнаружимъ, что корень $u$ въ области точки $u=0$ разлагается въ рядъ вида:

$u=he^{\frac {\pi i}{4}}+ke^{{\frac {19}{12}}\pi i}z^{\frac {1}{3}}+\ldots ,$

(88)

‎гдѣ $h$ и $k$ суть постоянныя, дѣйствительныя и положительныя числа.

Величина $h$ есть разстояніе точки, отмѣченной на черт. 29 буквою $c$, отъ начала координатъ. Точка $c$ не мѣняется октаэдрической подстановкой:

$S_{\text{о}}{\mathfrak {T}}_{\text{о}}$

‎и служитъ поэтому корнемъ уравненія:

$u=i{\frac {1-u}{1+u}}.$

(89)

‎Корни уравненія (89) таковы:

${\frac {\pm {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{2}}e^{\frac {\pi i}{4}}.$

‎Отсюда заключаемъ, что:

$h={\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{2}}=0{,}51763809\ldots$

(90)

‎Подставивъ разложеніе (88) въ октаэдрическое уравненіе (38), сокративъ полученное равенство на $z$ и положивъ $z=0$, мы получимъ уравненіе:

${\frac {2^{7}(7-h^{4})^{3}h^{5}k^{3}}{3^{3}(h^{4}+1)^{4}}}=1,$

‎откуда:

$k={\frac {3(h^{4}+1)^{\frac {4}{3}}}{2^{\frac {7}{3}}(7-h^{4})h^{\frac {5}{3}}}},$

(91)

‎или, послѣ подстановки вмѣсто $h$ его величины (90):

$k=0{,}282403\ldots$

(92)

‎Итакъ, корень $u$ въ области точки $z=0$ разлагается въ рядъ:

$u=0{,}51763809\ldots e^{\frac {\pi i}{4}}+0{,}282403\ldots e^{{\frac {19}{12}}\pi i}z^{\frac {1}{3}}+\ldots$

(93)

‎Формулы (93) и (71) только въ томъ случаѣ могутъ быть тождественны между собою, если коэффиціенты $p,\ q,\ r,\ s$ удовлетворяютъ условіямъ:

$s=0,\ {\frac {p}{r}}=0{,}51763809\ldots e^{\frac {\pi i}{4}},\ {\frac {q}{r}}=0{,}282403\ldots e^{{\frac {19}{12}}\pi i}.$

‎Подставивъ эти величины въ формулу (71), находимъ:

$u=0{,}51763809\ldots e^{\frac {\pi i}{4}}+0{,}282403\ldots e^{{\frac {19}{12}}\pi i}{\frac {z^{\frac {1}{3}}F\left({\dfrac {13}{24}},\;{\dfrac {7}{24}},\;{\dfrac {4}{3}},\;z\right)}{F\left({\dfrac {5}{24}},\;-{\dfrac {1}{24}},\;{\dfrac {2}{3}},\;z\right)}}.$

(94)

‎Таково выраженіе корня $u$ октаэдрическаго уравненія въ области I, т. е. при

${\text{мод.}}\,z\leqq 1.$

‎Формулы (87) и (94) даютъ возможность найти величину корня $u$ октаэдрическаго уравненія при какомъ угодно значеніи $z$.

Вычисливъ величину корня $u$ и зная подстановки первой нормальной октаэдрической группы, мы можемъ вычислить всѣ корни октаэдрическаго уравненія.

III. Тетраэдрическое уравненіе.

Возьмемъ тетраэдрическое уравненіе во 2-мъ нормальномъ видѣ:

$(2{\sqrt {2}}u^{3}+1)^{3}:(u^{6}+5{\sqrt {2}}u^{3}-1)^{2}:-(u^{3}-{\sqrt {2}})^{3}u^{3}=z:z-1:1.$

(95)

‎Параметры $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ гипергеометрическаго уравненія въ данномъ случаѣ будутъ таковы:

$\alpha ={\frac {1}{4}},\ \beta =-{\frac {1}{12}},\ \gamma ={\frac {2}{3}}.$

‎Повторяя дословно тѣ же разсужденія, какія мы привели выше при нахожденіи рѣшенія уравненій предшествующихъ типовъ, мы придемъ къ заключенію, что корень $u$ тетраэдрическаго уравненія при

${\text{мод.}}\,z\geqq 1$

‎выразится формулою:

$u={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\frac {F\left({\dfrac {1}{4}},\;{\dfrac {7}{12}},\;{\dfrac {4}{3}},\;{\dfrac {1}{z}}\right)}{F\left(-{\dfrac {1}{12}},\;{\dfrac {1}{4}},\;{\dfrac {2}{3}},\;{\dfrac {1}{z}}\right)}}z^{-{\frac {1}{3}}}.$

(96)

‎Тотъ же корень $u$ при

${\text{мод.}}\,z\leqq 1$

‎выразится формулою:

$u={\frac {1}{\sqrt {2}}}e^{\frac {\pi i}{3}}+{\frac {3}{4{\sqrt {2}}}}e^{\frac {5\pi i}{3}}{\frac {F\left({\dfrac {7}{12}},\;{\dfrac {1}{4}},\;{\dfrac {4}{3}},\;z\right)}{F\left({\dfrac {1}{4}},\;-{\dfrac {1}{12}},\;{\dfrac {2}{3}},\;z\right)}}z^{\frac {1}{3}}.$

(97)

‎Имѣя корень $u$ тетраэдрическаго уравненія и зная подстановки второй нормальной тетраэдрической группы, мы можемъ вычислить всѣ корни втораго нормальнаго тетраэдрическаго уравненія^[6].

---

Результаты, полученные нами въ настоящей главѣ, завершаютъ теорію уравненій, имѣющихъ корнями отношенія частныхъ интеграловъ линейнаго дифференціальнаго уравненія 2-го порядка. Мы изучили свойства и нашли нормальные виды этихъ уравненій, нашли критерій, дающій возможность убѣдиться въ томъ, что данное уравненіе принадлежитъ къ названному классу, умѣемъ привести уравненіе къ нормальному виду и, наконецъ, знаемъ, какъ рѣшить уравненіе, приведенное къ нормальному виду. Мы убѣдились въ томъ, что дѣйствительно всѣ уравненія изученнаго класса разрѣшимы въ гипергеометрическихъ функціяхъ и, кромѣ того, нашли, что уравненія всѣхъ типовъ, кромѣ икосаэдрическаго, разрѣшимы въ радикалахъ.

---

Сноски

1. Въ случаѣ тетраэдрическаго уравненія указанный пріемъ даетъ функцію $T(u)$ и произведеніе $f(u)H(u)$. По этимъ даннымъ можно найти $f(u)$ и $H(u)$.
   ‎Въ случаѣ четверичнаго уравненія указанный путь къ цѣли не приводимъ; но это—случай вполнѣ элементарный.
2. См. § 22 формулы 16.
3. Горданъ показалъ, что всякое уравненіе 5-ой степени можетъ быть преобразовано въ уравненіе вида (62). См. Math. Annalen. Томъ 28, стр. 152. Мы не приводимъ этого весьма интереснаго но нѣсколько сложнаго преобразованія Гордана. Ниже справедливость теоремы Гордана станетъ ясна изъ другихъ соображеній.
4. Двупирамидное уравненіе мы опускаемъ потому, что оно въ радикалахъ рѣшается очень просто.
5. Клейнъ даетъ рѣшеніе икосаэдрическаго уравненія нѣсколько въ иной формѣ. См. Math. Annalen. Томъ 12. Weitere Untersuchungen über das Ikosaeder. Ту же задачу нѣсколько иначе Клейнъ рѣшаетъ въ статьѣ того же заглавія, помѣщенной въ Sitzungsberichte der physikalisch medicinischen Societät zu Erlangen. 9 Heft.
6. Рѣшеніе уравненія октаэдрическаго типа приведено у Puchta. Das Oktaeder und die Gleichung vierten Grades. Denkschriften der Kaiserlichen Akademie in Wien. Bd. 41. Его рѣшеніе аналогично Клейнову рѣшенію икосаэдрическаго уравненія и разнится отъ приведеннаго въ текстѣ.
   ‎Аналогичное рѣшеніе тетраэдрическаго уравненія построить не трудно.