Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/242

‎Таково выраженіе корня $u$ октаэдрическаго уравненія въ области I, т. е. при

${\text{мод.}}\,z\leqq 1.$

‎Формулы (87) и (94) даютъ возможность найти величину корня $u$ октаэдрическаго уравненія при какомъ угодно значеніи $z$.

Вычисливъ величину корня $u$ и зная подстановки первой нормальной октаэдрической группы, мы можемъ вычислить всѣ корни октаэдрическаго уравненія.

III. Тетраэдрическое уравненіе.

Возьмемъ тетраэдрическое уравненіе во 2-мъ нормальномъ видѣ:

$(2{\sqrt {2}}u^{3}+1)^{3}:(u^{6}+5{\sqrt {2}}u^{3}-1)^{2}:-(u^{3}-{\sqrt {2}})^{3}u^{3}=z:z-1:1.$

(95)

‎Параметры $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ гипергеометрическаго уравненія въ данномъ случаѣ будутъ таковы:

$\alpha ={\frac {1}{4}},\ \beta =-{\frac {1}{12}},\ \gamma ={\frac {2}{3}}.$

‎Повторяя дословно тѣ же разсужденія, какія мы привели выше при нахожденіи рѣшенія уравненій предшествующихъ типовъ, мы придемъ къ заключенію, что корень $u$ тетраэдрическаго уравненія при

${\text{мод.}}\,z\geqq 1$

‎выразится формулою:

$u={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\frac {F\left({\dfrac {1}{4}},\;{\dfrac {7}{12}},\;{\dfrac {4}{3}},\;{\dfrac {1}{z}}\right)}{F\left(-{\dfrac {1}{12}},\;{\dfrac {1}{4}},\;{\dfrac {2}{3}},\;{\dfrac {1}{z}}\right)}}z^{-{\frac {1}{3}}}.$

(96)

‎Тотъ же корень $u$ при

${\text{мод.}}\,z\leqq 1$

Тот же текст в современной орфографии

‎Таково выражение корня $u$ октаэдрического уравнения в области I, т. е. при

$|z|\leqslant 1.$

‎Формулы (87) и (94) дают возможность найти величину корня $u$ октаэдрического уравнения при каком угодно значении $z$.

Вычислив величину корня $u$ и зная подстановки первой нормальной октаэдрической группы, мы можем вычислить все корни октаэдрического уравнения.

III. Тетраэдрическое уравнение.

Возьмем тетраэдрическое уравнение во 2-м нормальном виде:

$(2{\sqrt {2}}u^{3}+1)^{3}:(u^{6}+5{\sqrt {2}}u^{3}-1)^{2}:-(u^{3}-{\sqrt {2}})^{3}u^{3}=z:z-1:1.$

(95)

‎Параметры $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ гипергеометрического уравнения в данном случае будут таковы:

$\alpha ={\frac {1}{4}},\ \beta =-{\frac {1}{12}},\ \gamma ={\frac {2}{3}}.$

‎Повторяя дословно те же рассуждения, какие мы привели выше при нахождении решения уравнений предшествующих типов, мы придем к заключению, что корень $u$ тетраэдрического уравнения при

$|z|\geqslant 1.$

‎выразится формулой:

$u={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\frac {F\left({\dfrac {1}{4}},\;{\dfrac {7}{12}},\;{\dfrac {4}{3}},\;{\dfrac {1}{z}}\right)}{F\left(-{\dfrac {1}{12}},\;{\dfrac {1}{4}},\;{\dfrac {2}{3}},\;{\dfrac {1}{z}}\right)}}z^{-{\frac {1}{3}}}.$

(96)

‎Тот же корень $u$ при

$|z|\leqslant 1$