Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/257

Сравнивая степени формъ, стоящихъ въ обѣихъ частяхъ тождества (47), находимъ неопредѣленное уравненіе:

$k\mu '=Ns+m_{1}\nu +m_{2}\nu _{1}+m_{3}\nu _{2}.$

(48)

‎Такъ какъ

$k\mu '<n,\ n=2N,$

‎то изъ неопредѣленнаго уравненія (48) заключаемъ, что степень $s$ формы $\Phi$ равна 0 или 1.

Неопредѣленное уравненіе (48) даетъ одну или, въ крайнемъ случаѣ, весьма ограниченное число системъ рѣшеній. Если уравненіе (48) окажется невозможнымъ, то это служитъ признакомъ того, что коэффиціентъ $A_{k\mu '}$ равенъ нулю.

Вставивъ найденныя системы рѣшеній уравненія (48) въ формулу (47), мы найдемъ одно или, въ крайнемъ случаѣ, весьма ограниченное число выраженій, могущихъ изобразить собою коэффиціентъ $A_{k\mu '}$. Въ каждомъ изъ этихъ выраженій входитъ одинъ или два неизвѣстныхъ постоянныхъ коэффиціента.

Вставивъ найденныя выраженія коэффиціентовъ $A_{k\mu '}(\eta ',\;\eta '')$ въ уравненіе (43), раздѣливъ все уравненіе на $\eta ''{}^{n}$ и положивъ

$\eta =\eta '',\ {\frac {\eta '}{\eta ''}}=u,$

‎найдемъ:

$1+A_{\mu '}(u)+A_{2\mu '}(u)+\ldots +A_{n}(u)=0.$

(49)

‎Равенство (49) должно быть тождествомъ: иначе отношеніе

${\frac {\eta '}{\eta ''}}=u$

‎было бы постояннымъ.

Отобравъ въ лѣвой части равенства (49) коэффиціенты при одинаковыхъ степеняхъ $u$ и приравнивая ихъ нулю, мы находимъ уравненія 1-ой степени, опредѣляющія тѣ неизвѣстныя постоянныя, которыя входятъ въ эффиціенты $A_{k\mu '}(u)$.

Выполнивъ эти вычисленія, мы найдемъ окончательныя выраженія функцій $A_{k\mu '}(\eta ',\;\eta '')$.

Тот же текст в современной орфографии

Сравнивая степени форм, стоящих в обеих частях тождества (47), находим неопределенное уравнение:

$k\mu '=Ns+m_{1}\nu +m_{2}\nu _{1}+m_{3}\nu _{2}.$

(48)

‎Так как

$k\mu '<n,\ n=2N,$

‎то из неопределенного уравнения (48) заключаем, что степень $s$ формы $\Phi$ равна 0 или 1.

Неопределенное уравнение (48) дает одну или, в крайнем случае, весьма ограниченное число систем решений. Если уравнение (48) окажется невозможным, то это служит признаком того, что коэффициент $A_{k\mu '}$ равен нулю.

Вставив найденные системы решений уравнения (48) в формулу (47), мы найдем одно или, в крайнем случае, весьма ограниченное число выражений, могущих изобразить собой коэффициент $A_{k\mu '}$. В каждом из этих выражений входит один или два неизвестных постоянных коэффициента.

Вставив найденные выражения коэффициентов $A_{k\mu '}(\eta ',\;\eta '')$ в уравнение (43), разделив все уравнение на $\eta ''{}^{n}$ и положив

$\eta =\eta '',\ {\frac {\eta '}{\eta ''}}=u,$

‎найдем:

$1+A_{\mu '}(u)+A_{2\mu '}(u)+\ldots +A_{n}(u)=0.$

(49)

‎Равенство (49) должно быть тождеством: иначе отношение

${\frac {\eta '}{\eta ''}}=u$

‎было бы постоянным.

Отобрав в левой части равенства (49) коэффициенты при одинаковых степенях $u$ и приравнивая их нулю, мы находим уравнения 1-ой степени, определяющие те неизвестные постоянные, которые входят в эффициенты $A_{k\mu '}(u)$.

Выполнив эти вычисления, мы найдем окончательные выражения функций $A_{k\mu '}(\eta ',\;\eta '')$.