Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/247

$\eta _{1}=u{\sqrt {\dfrac {T(u)R(z)}{f(u)H(u){\dfrac {dR(z)}{dz}}}}},\quad \eta _{2}={\sqrt {\dfrac {T(u)R(z)}{f(u)H(u){\dfrac {dR(z)}{dz}}}}}.$

(13)

‎Уравненіе (8) можно разсматривать, какъ результатъ преобразованія уравненія (1) подстановкою:

$\eta ={\sqrt {\dfrac {T(u)R(z)}{f(u)H(u){\dfrac {dR(z)}{dz}}}}}.$

(14)

‎Найдя уравненіе (8), мы можемъ построить уравненіе (2), преобразуя уравненіе (8) подстановкою:

$\eta ={\frac {1}{k}}e^{{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}y.$

(15)

‎Изъ уравненій вида (2) наибольшій интересъ представляютъ тѣ уравненія, корни которыхъ суть частные интегралы гипергеометрическаго уравненія:

$z(1-z){\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+\left\{\gamma -(\alpha +\beta +1)z\right\}{\frac {dy}{dz}}-\alpha \beta y=0.$

(16)

‎Мы знаемъ, что въ такомъ случаѣ параметры $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ суть функціи величинъ $\lambda ,\ \lambda _{1},\lambda _{2}$ и опредѣляются по формуламъ:

$\left.{\begin{array}{l}\alpha ={\dfrac {1}{2}}\left(1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}}}-{\dfrac {1}{\lambda _{2}}}+{\dfrac {1}{\lambda }}\right),\\\beta ={\dfrac {1}{2}}\left(1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}}}-{\dfrac {1}{\lambda _{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda }}\right),\\\gamma =1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}}}.\end{array}}\right\}$[1]

(17)

1. См. формулы ([[../../Глава II/ДО#Eq71|71]]) [[../../Глава II/ДО|главы II]].

Тот же текст в современной орфографии

$\eta _{1}=u{\sqrt {\dfrac {T(u)R(z)}{f(u)H(u){\dfrac {dR(z)}{dz}}}}},\quad \eta _{2}={\sqrt {\dfrac {T(u)R(z)}{f(u)H(u){\dfrac {dR(z)}{dz}}}}}.$

(13)

‎Уравнение (8) можно рассматривать как результат преобразования уравнения (1) подстановкой:

$\eta ={\sqrt {\dfrac {T(u)R(z)}{f(u)H(u){\dfrac {dR(z)}{dz}}}}}.$

(14)

‎Найдя уравнение (8), мы можем построить уравнение (2), преобразуя уравнение (8) подстановкой:

$\eta ={\frac {1}{k}}e^{{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}y.$

(15)

‎Из уравнений вида (2) наибольший интерес представляют те уравнения, корни которых суть частные интегралы гипергеометрического уравнения:

$z(1-z){\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+\left\{\gamma -(\alpha +\beta +1)z\right\}{\frac {dy}{dz}}-\alpha \beta y=0.$

(16)

‎Мы знаем, что в таком случае параметры $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ суть функции величин $\lambda ,\ \lambda _{1},\lambda _{2}$ и определяются по формулам:

$\left.{\begin{array}{l}\alpha ={\dfrac {1}{2}}\left(1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}}}-{\dfrac {1}{\lambda _{2}}}+{\dfrac {1}{\lambda }}\right),\\\beta ={\dfrac {1}{2}}\left(1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}}}-{\dfrac {1}{\lambda _{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda }}\right),\\\gamma =1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}}}.\end{array}}\right\}$[1]

(17)

1. См. формулы (71) главы II.