Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/248

Положимъ въ формулахъ (10) и (11):

$p_{1}={\frac {\gamma -(\alpha +\beta +1)z}{z(1-z)}},\ p_{2}=-{\frac {\alpha \beta }{z(1-z)}},$

(18)

‎гдѣ $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ опредѣляются формулами (17).

Изъ формулъ (10), (18), (17) находимъ:

$P=-{\dfrac {1}{2}}\left\{{\dfrac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}}{2z^{2}}}+{\dfrac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}}{2(z-1)^{2}}}+{\dfrac {{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}+{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda ^{2}}}-1}{2z(1-z)}}\right\}.$

(19)

‎Вставивъ это выраженіе въ лѣвую часть равенства (11), мы находимъ уравненіе, опредѣляющее функцію $R(z)$. Мы видимъ, что оно удовлетворяется при:

$R(z)=cz.$

(20)

‎Итакъ, положивъ

$R(z)=cz,$

(20)

‎и преобразуя затѣмъ уравненіе (8) подстановкою:

$\eta ={\frac {1}{k}}e^{{\frac {1}{2}}\int {\frac {\gamma -(\alpha +\beta +1)z}{z(1-z)}}\,dz}y,$

‎или:

$\eta ={\frac {1}{k}}z^{{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{\lambda _{1}}}\right)}(1-z)^{{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{\lambda _{2}}}\right)}y,$

(21)

‎гдѣ $k$—нѣкоторое произвольное постоянное, мы должны получить новое алгебраическое уравненіе, имѣющее корнями частные интегралы гипергеометрическаго уравненія (16).

Такъ какъ для уравненій типовъ: тетраэдрическаго, октаэдрическаго и икосаэдрическаго величины $\lambda _{1}$ и $\lambda _{2}$ опредѣляются равенствами:

$\lambda _{1}=3,\ \lambda _{2}=2,$

‎то подстановка (21) можетъ быть для уравненій этихъ трехъ типовъ представлена формулою:

Тот же текст в современной орфографии

Положим в формулах (10) и (11):

$p_{1}={\frac {\gamma -(\alpha +\beta +1)z}{z(1-z)}},\ p_{2}=-{\frac {\alpha \beta }{z(1-z)}},$

(18)

‎где $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ определяются формулами (17).

Из формул (10), (18), (17) находим:

$P=-{\dfrac {1}{2}}\left\{{\dfrac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}}{2z^{2}}}+{\dfrac {1-{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}}{2(z-1)^{2}}}+{\dfrac {{\dfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}+{\dfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda ^{2}}}-1}{2z(1-z)}}\right\}.$

(19)

‎Вставив это выражение в левую часть равенства (11), мы находим уравнение, определяющее функцию $R(z)$. Мы видим, что оно удовлетворяется при:

$R(z)=cz.$

(20)

‎Итак, положив

$R(z)=cz,$

(20)

‎и преобразуя затем уравнение (8) подстановкой:

$\eta ={\frac {1}{k}}e^{{\frac {1}{2}}\int {\frac {\gamma -(\alpha +\beta +1)z}{z(1-z)}}\,dz}y,$

‎или:

$\eta ={\frac {1}{k}}z^{{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{\lambda _{1}}}\right)}(1-z)^{{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{\lambda _{2}}}\right)}y,$

(21)

‎где $k$ — некоторая произвольная постоянная, мы должны получить новое алгебраическое уравнение, имеющее корнями частные интегралы гипергеометрического уравнения (16).

Так как для уравнений типов: тетраэдрического, октаэдрического и икосаэдрического величины $\lambda _{1}$ и $\lambda _{2}$ определяются равенствами:

$\lambda _{1}=3,\ \lambda _{2}=2,$

‎то подстановка (21) может быть для уравнений этих трех типов представлена формулой: