Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/250

Эта страница не была вычитана

Далѣе, отсюда заключаемъ, что индексы:

\mu ={\frac {n}{\nu }},\ \mu _{1}={\frac {n}{\nu _{1}}},\ \mu _{2}={\frac {n}{\nu _{2}}}

‎первичныхъ формъ $f(\eta _{1},\;\eta _{2}),\ H(\eta _{1},\;\eta _{2}),\ T(\eta _{1},\;\eta _{2})$ вдвое больше показателей:

\lambda ={\frac {N}{\nu }},\ \lambda _{1}={\frac {N}{\nu _{1}}},\ \lambda _{2}={\frac {N}{\nu _{2}}}.

§ 35. Выраженія первичныхъ формъ $f(\eta _{1},\;\eta _{2})$ , $H(\eta _{1},\;\eta _{2})$ , $T(\eta _{1},\;\eta _{2})$ въ видѣ радикаловъ изъ раціональныхъ функцій перемѣннаго $z$

Мы видѣли въ [[../../Глава I/ДО#Теорема 10|теоремѣ 10]] [[../../Глава I/ДО|главы I]], что всякая первичная форма, имѣющая аргументами два частныхъ интеграла уравненія (8), равна радикалу изъ раціональной функціи $z$ . Степень этого радикала равна индексу первичной формы или дѣлителю этого индекса—если степень радикала удастся понизить.

Построимъ сказанныя выраженія для первичныхъ формъ $f(\eta _{1},\;\eta _{2}),\ H(\eta _{1},\;\eta _{2}),\ T(\eta _{1},\;\eta _{2})$ разсматриваемыхъ трехъ типовъ.

Возведемъ обѣ части втораго изъ равенствъ (13) въ степень

n=2N\colon

$\eta _{2}^{n}={\frac {T^{N}(u)R^{N}}{f^{N}(u)H^{N}(u)R'{}^{N}}},$

(23)

‎гдѣ для краткости введены обозначенія:

R=R(z),\ R'={\frac {dR(z)}{dz}}.

‎Изъ уравненія (1) имѣемъ:

$H_{1}^{\lambda }(u)=Rf^{\lambda }(u),\ T_{2}^{\lambda }(u)={\frac {1}{c'}}(R-c)f^{\lambda }(u),$

(24)

‎откуда:

$H^{N}(u)=R^{\nu _{1}}f^{\lambda \nu _{1}}(u),\ T^{N}(u)={\frac {1}{c'{}^{\nu _{2}}}}(R-c)^{\nu _{2}}f^{\lambda \nu _{2}}(u).$

(25)

Тот же текст в современной орфографии

Далее, отсюда заключаем, что индексы:

\mu ={\frac {n}{\nu }},\ \mu _{1}={\frac {n}{\nu _{1}}},\ \mu _{2}={\frac {n}{\nu _{2}}}

‎первичных форм $f(\eta _{1},\;\eta _{2}),\ H(\eta _{1},\;\eta _{2}),\ T(\eta _{1},\;\eta _{2})$ вдвое больше показателей:

\lambda ={\frac {N}{\nu }},\ \lambda _{1}={\frac {N}{\nu _{1}}},\ \lambda _{2}={\frac {N}{\nu _{2}}}.

§ 35. Выражения первичных форм $f(\eta _{1},\;\eta _{2})$ , $H(\eta _{1},\;\eta _{2})$ , $T(\eta _{1},\;\eta _{2})$ в виде радикалов из рациональных функций переменной $z$

Мы видели в теореме 10 главы I, что всякая первичная форма, имеющая аргументами два частных интеграла уравнения (8), равна радикалу из рациональной функции $z$ . Степень этого радикала равна индексу первичной формы или делителю этого индекса — если степень радикала удастся понизить.

Построим сказанные выражения для первичных форм $f(\eta _{1},\;\eta _{2}),\ H(\eta _{1},\;\eta _{2}),\ T(\eta _{1},\;\eta _{2})$ рассматриваемых трех типов.

Возведем обе части второго из равенств (13) в степень

n=2N\colon