Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/251

‎Вставивъ эти выраженія въ формулу (23), находимъ:

$\eta _{2}^{n}={\frac {(R-c)^{\nu _{2}}R^{N-\nu _{1}}}{c'{}^{\nu _{2}}R'{}^{N}}}f^{\lambda (\nu _{2}-\nu _{1}-\nu )}(u).$

(26)

‎Величины $\nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$, какъ мы знаемъ, таковы:

для тетраэдрическаго типа: $\nu =4,\ \nu _{1}=4,\ \nu _{2}=6,$

для октаэдрическаго типа: $\nu =6,\ \nu _{1}=8,\ \nu _{2}=12,$

для икосаэдрическаго типа: $\nu =12,\ \nu _{1}=200,\ \nu _{2}=30.$

Во всѣхъ трехъ случаяхъ имѣетъ мѣсто равенство:

$\nu _{2}-\nu _{1}-\nu =-2.$

(27)

‎Поэтому равенство (26) можно представить въ такомъ видѣ:

$\eta _{2}^{n}f^{2\lambda }(u)={\frac {(R-c)^{\nu _{2}}R^{N-\nu _{1}}}{c'{}^{\nu _{2}}R'{}^{N}}}.$

(28)

‎Такъ какъ многочленъ $f(u)$ степени $\nu$, то:

$\eta _{2}^{n}f(u)=f(\eta _{1},\;\eta _{2}).$

‎Отсюда слѣдуетъ, что равенство (28) можно представить въ слѣдующемъ видѣ:

$f^{2\lambda }(\eta _{1},\;\eta _{2})={\frac {(R-c)^{\nu _{2}}R^{N-\nu _{1}}}{c'{}^{\nu _{2}}R'{}^{N}}}.$

(29)

‎Отсюда, обозначая индексъ первичной формы $f(\eta _{1},\;\eta _{2})$ по прежнему буквою $\mu$ и припомнивъ, что

$2\lambda =\mu ,$

‎находимъ:

$f(\eta _{1},\;\eta _{2})={\sqrt[{\mu }]{\frac {(R-c)^{\nu _{2}}R^{N-\nu _{1}}}{c'{}^{\nu _{2}}R'{}^{N}}}}.$

(30)

‎Первичная форма $f(\eta _{1},\;\eta _{2})$ выражена въ видѣ радикала степени $\mu$ изъ раціональной функціи $z$.

Изъ уравненій (24) слѣдуетъ:

Тот же текст в современной орфографии

‎Вставив эти выражения в формулу (23), находим:

$\eta _{2}^{n}={\frac {(R-c)^{\nu _{2}}R^{N-\nu _{1}}}{c'{}^{\nu _{2}}R'{}^{N}}}f^{\lambda (\nu _{2}-\nu _{1}-\nu )}(u).$

(26)

‎Величины $\nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2}$, как мы знаем, таковы:

для тетраэдрического типа: $\nu =4,\ \nu _{1}=4,\ \nu _{2}=6,$

для октаэдрического типа: $\nu =6,\ \nu _{1}=8,\ \nu _{2}=12,$

для икосаэдрического типа: $\nu =12,\ \nu _{1}=200,\ \nu _{2}=30.$

Во всех трех случаях имеет место равенство:

$\nu _{2}-\nu _{1}-\nu =-2.$

(27)

‎Поэтому равенство (26) можно представить в таком виде:

$\eta _{2}^{n}f^{2\lambda }(u)={\frac {(R-c)^{\nu _{2}}R^{N-\nu _{1}}}{c'{}^{\nu _{2}}R'{}^{N}}}.$

(28)

‎Так как многочлен $f(u)$ степени $\nu$, то:

$\eta _{2}^{n}f(u)=f(\eta _{1},\;\eta _{2}).$

‎Отсюда следует, что равенство (28) можно представить в следующем виде:

$f^{2\lambda }(\eta _{1},\;\eta _{2})={\frac {(R-c)^{\nu _{2}}R^{N-\nu _{1}}}{c'{}^{\nu _{2}}R'{}^{N}}}.$

(29)

‎Отсюда, обозначая индекс первичной формы $f(\eta _{1},\;\eta _{2})$ по-прежнему буквой $\mu$ и припомнив, что

$2\lambda =\mu ,$

‎находим:

$f(\eta _{1},\;\eta _{2})={\sqrt[{\mu }]{\frac {(R-c)^{\nu _{2}}R^{N-\nu _{1}}}{c'{}^{\nu _{2}}R'{}^{N}}}}.$

(30)

‎Первичная форма $f(\eta _{1},\;\eta _{2})$ выражена в виде радикала степени $\mu$ из рациональной функции $z$.

Из уравнений (24) следует: