Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/269

‎Всякій интегралъ уравненія (80) и, вслѣдствіе этого, всякій корень уравненія (78) могутъ быть представлены въ видѣ линейной функціи отъ $y_{5}$ и $y_{5}$:

$y=Ay_{5}+By_{6}.$

(82)

‎Одинъ изъ корней уравненія (80) въ области точки $z=\infty$ разлагается въ рядъ вида:

$y={\frac {e^{\frac {\pi i}{12}}}{2{\sqrt {2}}}}z^{-{\frac {1}{4}}}+\ldots$

(83)

‎Этотъ корень при $z=\infty$ обращается въ 0 и можетъ выражаться формулою (82) только въ такомъ случаѣ, если

$A={\frac {e^{\frac {\pi i}{12}}}{2{\sqrt {2}}}},\ B=0.$

(84)

‎Итакъ, одинъ изъ корней уравненія (78) въ области III (см. [[../../Глава III/ДО#Черт. 2|черт. 2]]) изображается формулою:

$y={\frac {e^{\frac {\pi i}{12}}}{2{\sqrt {2}}}}F\left({\dfrac {1}{4}},\;{\dfrac {7}{12}},\;{\dfrac {4}{3}},\;{\dfrac {1}{z}}\right)z^{-{\frac {1}{4}}}.$

(85)

‎Остальные корни суть другія значенія той же самой многозначной функціи, имѣющей 48 значеній какъ видно изъ уравненія (78).

Выраженія этихъ остальныхъ корней въ области III и выраженія всѣхъ корней въ области I найдутся изъ формулы (85) примѣненіемъ общихъ формулъ теоріи гипергеометрическихъ функцій^[1].

На этихъ вычисленіяхъ мы не будемъ останавливаться.

II. Уравненіе октаэдрическаго типа.

Выполнимъ такія же вычисленія для уравненія (61) октаэдрическаго типа.

1. См. Тихомандритскій. О гипергеометрическихъ рядахъ. Стр. 53—57.

Тот же текст в современной орфографии

‎Всякий интеграл уравнения (80) и, вследствие этого, всякий корень уравнения (78) могут быть представлены в виде линейной функции от $y_{5}$ и $y_{5}$:

$y=Ay_{5}+By_{6}.$

(82)

‎Один из корней уравнения (80) в области точки $z=\infty$ разлагается в ряд вида:

$y={\frac {e^{\frac {\pi i}{12}}}{2{\sqrt {2}}}}z^{-{\frac {1}{4}}}+\ldots$

(83)

‎Этот корень при $z=\infty$ обращается в 0 и может выражаться формулой (82) только в таком случае, если

$A={\frac {e^{\frac {\pi i}{12}}}{2{\sqrt {2}}}},\ B=0.$

(84)

‎Итак, один из корней уравнения (78) в области III (см. черт. 2) изображается формулой:

$y={\frac {e^{\frac {\pi i}{12}}}{2{\sqrt {2}}}}F\left({\dfrac {1}{4}},\;{\dfrac {7}{12}},\;{\dfrac {4}{3}},\;{\dfrac {1}{z}}\right)z^{-{\frac {1}{4}}}.$

(85)

‎Остальные корни суть другие значения той же самой многозначной функции, имеющей 48 значений как видно из уравнения (78).

Выражения этих остальных корней в области III и выражения всех корней в области I найдутся из формулы (85) применением общих формул теории гипергеометрических функций^[1].

На этих вычислениях мы не будем останавливаться.

II. Уравнение октаэдрического типа.

Выполним такие же вычисления для уравнения (61) октаэдрического типа.

1. См. Тихомандритский. О гипергеометрических рядах. Стр. 53—57.