Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/258

Вставивъ затѣмъ въ полученныя выраженія $A_{k\mu '}(\eta ',\;\eta '')$ вмѣсто первичныхъ формъ

$f(\eta ',\;\eta ''),\ H(\eta ',\;\eta ''),\ T(\eta ',\;\eta '')$

‎ихъ выраженія въ видѣ функцій перемѣннаго $z$, мы находимъ окончательныя выраженія коэффиціентовъ (44) уравненія (43).

Таковъ совершенно общій пріемъ составленія уравненія (43). Онъ представляетъ лишь механическія затрудненія, правда довольно значительныя, при опредѣленіи неизвѣстныхъ постоянныхъ, обращающихъ въ тождество уравненіе (49).

Пріемъ этотъ въ отдѣльныхъ случаяхъ можетъ быть упрощенъ или замѣненъ другими болѣе удобными въ этихъ случаяхъ пріемами, какъ это мы сейчасъ увидимъ.

Изъ уравненій вида (43) наибольшій интересъ по своей простотѣ представляютъ уравненія, соотвѣтствующія первичной формѣ $f(\eta ',\;\eta '')$—эти уравненія содержатъ въ себѣ наименьшее число членовъ. Займемся ихъ составленіемъ.

I. Уравненіе тетраэдрическаго типа.

Возьмемъ формы втораго нормальнаго тетраэдрическаго типа:

$\left.{\begin{array}{l}f(\eta _{1},\;\eta _{2})=\eta _{1}^{4}-2{\sqrt {2}}\eta _{1}\eta _{2}^{3},\\H(\eta _{1},\;\eta _{2})=2{\sqrt {2}}\eta _{1}^{3}\eta _{2}+\eta _{2}^{4},\\T(\eta _{1},\;\eta _{2})=\eta _{1}^{6}+5{\sqrt {2}}\eta _{1}^{3}\eta _{2}^{3}-\eta _{2}^{6}.\end{array}}\right\}$

(50)

‎Подставивъ эти выраженія въ равенства (35), находимъ:

$\left.{\begin{array}{l}\eta _{1}^{4}-2{\sqrt {2}}\eta _{1}\eta _{2}^{3}={\dfrac {(R-c)R}{c'R'{}^{2}}}{\sqrt[{3}]{R}},\\2{\sqrt {2}}\eta _{1}^{3}\eta _{2}+\eta _{2}^{4}={\dfrac {(R-c)R}{c'{}^{2}R'{}^{2}}}{\sqrt[{3}]{R^{2}}},\\\eta _{1}^{6}+5{\sqrt {2}}\eta _{1}^{3}\eta _{2}^{3}-\eta _{2}^{6}={\dfrac {(R-c)^{2}R^{2}}{c'{}^{2}R'{}^{3}}}.\end{array}}\right\}$

(51)

Тот же текст в современной орфографии

Вставив затем в полученные выражения $A_{k\mu '}(\eta ',\;\eta '')$ вместо первичных форм

$f(\eta ',\;\eta ''),\ H(\eta ',\;\eta ''),\ T(\eta ',\;\eta '')$

‎их выражения в виде функций переменной $z$, мы находим окончательные выражения коэффициентов (44) уравнения (43).

Таков совершенно общий прием составления уравнения (43). Он представляет лишь механические затруднения, правда довольно значительные, при определении неизвестных постоянных, обращающих в тождество уравнение (49).

Прием этот в отдельных случаях может быть упрощен или заменен другими более удобными в этих случаях приемами, как это мы сейчас увидим.

Из уравнений вида (43) наибольший интерес по своей простоте представляют уравнения, соответствующие первичной форме $f(\eta ',\;\eta '')$ — эти уравнения содержат в себе наименьшее число членов. Займемся их составлением.

I. Уравнение тетраэдрического типа.

Возьмем формы второго нормального тетраэдрического типа:

$\left.{\begin{array}{l}f(\eta _{1},\;\eta _{2})=\eta _{1}^{4}-2{\sqrt {2}}\eta _{1}\eta _{2}^{3},\\H(\eta _{1},\;\eta _{2})=2{\sqrt {2}}\eta _{1}^{3}\eta _{2}+\eta _{2}^{4},\\T(\eta _{1},\;\eta _{2})=\eta _{1}^{6}+5{\sqrt {2}}\eta _{1}^{3}\eta _{2}^{3}-\eta _{2}^{6}.\end{array}}\right\}$

(50)

‎Подставив эти выражения в равенства (35), находим:

$\left.{\begin{array}{l}\eta _{1}^{4}-2{\sqrt {2}}\eta _{1}\eta _{2}^{3}={\dfrac {(R-c)R}{c'R'{}^{2}}}{\sqrt[{3}]{R}},\\2{\sqrt {2}}\eta _{1}^{3}\eta _{2}+\eta _{2}^{4}={\dfrac {(R-c)R}{c'{}^{2}R'{}^{2}}}{\sqrt[{3}]{R^{2}}},\\\eta _{1}^{6}+5{\sqrt {2}}\eta _{1}^{3}\eta _{2}^{3}-\eta _{2}^{6}={\dfrac {(R-c)^{2}R^{2}}{c'{}^{2}R'{}^{3}}}.\end{array}}\right\}$

(51)