Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/270

‎Совершимъ въ уравненіи (61) подстановку:

$\eta ={\frac {1}{k}}z^{\frac {1}{3}}(1-z)^{\frac {1}{4}}y,$

(22)

‎положивъ при этомъ

$k=1.$

‎Въ результатѣ находимъ:

${\begin{matrix}\left(y^{24}-2\,.\,3^{2}\,.\,5z^{\frac {1}{3}}y^{16}-{\dfrac {3^{7}\,.\,5}{2^{4}}}z^{\frac {2}{3}}y^{8}+{\dfrac {3^{6}}{2^{4}}}\right)^{2}\,+\\+\,{\dfrac {3^{9}\,.\,5^{2}}{2^{2}}}\left(y^{8}-{\dfrac {3^{3}}{2^{2}\,.\,5}}z^{\frac {1}{3}}\right)^{2}(1-z)y^{8}=0.\end{matrix}}$

(86)

‎Освободивъ это уравненіе отъ радикаловъ, находимъ:

${\begin{matrix}\left\{\left(y^{24}+{\dfrac {3^{6}}{2^{4}}}\right)^{3}-2^{3}\,.\,3^{6}\,.\,5^{3}zy^{48}-{\dfrac {3^{21}\,.\,5^{3}}{2^{12}}}z^{2}y^{24}\,-\right.\\\left.-\,{\dfrac {3^{10}\,.\,5^{2}}{2^{3}}}z\left(y^{24}+{\dfrac {3^{6}}{2^{4}}}\right)y^{24}\right\}^{2}+{\dfrac {3^{27}\,.\,5^{6}}{2^{6}}}\left(y^{24}-{\dfrac {3^{9}}{2^{6}\,.\,5^{3}}}z\right)^{2}(1-z)^{3}y^{24}=0.\end{matrix}}$

(87)

‎Корни этого уравненія суть частные интегралы гипергеометрическаго уравненія (16), въ которомъ параметры $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ таковы:

$\alpha ={\frac {5}{24}},\ \beta =-{\frac {1}{24}},\ \gamma ={\frac {2}{3}},$

(88)

‎т. е. корни уравненія (87) суть частные интегралы гипергеометрическаго уравненія:

$z(1-z){\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+{\frac {1}{6}}(4-7z){\frac {dy}{dz}}+{\frac {5}{576}}y=0.$

(89)

‎Изъ формулъ ([[../../Глава III/ДО#Eq48|48]]) [[../../Глава III/ДО|главы III]] слѣдуетъ, что два частныхъ интеграла $y_{5},\ y_{6}$ уравненія (89) въ области III ([[../../Глава III/ДО#Черт. 2|черт. 2]]) изображаются формулами:

Тот же текст в современной орфографии

‎Совершим в уравнении (61) подстановку:

$\eta ={\frac {1}{k}}z^{\frac {1}{3}}(1-z)^{\frac {1}{4}}y,$

(22)

‎положив при этом

$k=1.$

‎В результате находим:

${\begin{matrix}\left(y^{24}-2\cdot 3^{2}\cdot 5z^{\frac {1}{3}}y^{16}-{\dfrac {3^{7}\cdot 5}{2^{4}}}z^{\frac {2}{3}}y^{8}+{\dfrac {3^{6}}{2^{4}}}\right)^{2}\,+\\+\,{\dfrac {3^{9}\cdot 5^{2}}{2^{2}}}\left(y^{8}-{\dfrac {3^{3}}{2^{2}\cdot 5}}z^{\frac {1}{3}}\right)^{2}(1-z)y^{8}=0.\end{matrix}}$

(86)

‎Освободив это уравнение от радикалов, находим:

${\begin{matrix}\left\{\left(y^{24}+{\dfrac {3^{6}}{2^{4}}}\right)^{3}-2^{3}\cdot 3^{6}\cdot 5^{3}zy^{48}-{\dfrac {3^{21}\cdot 5^{3}}{2^{12}}}z^{2}y^{24}\,-\right.\\\left.-\,{\dfrac {3^{10}\cdot 5^{2}}{2^{3}}}z\left(y^{24}+{\dfrac {3^{6}}{2^{4}}}\right)y^{24}\right\}^{2}+{\dfrac {3^{27}\cdot 5^{6}}{2^{6}}}\left(y^{24}-{\dfrac {3^{9}}{2^{6}\cdot 5^{3}}}z\right)^{2}(1-z)^{3}y^{24}=0.\end{matrix}}$

(87)

‎Корни этого уравнения суть частные интегралы гипергеометрического уравнения (16), в котором параметры $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ таковы:

$\alpha ={\frac {5}{24}},\ \beta =-{\frac {1}{24}},\ \gamma ={\frac {2}{3}},$

(88)

‎т. е. корни уравнения (87) суть частные интегралы гипергеометрического уравнения:

$z(1-z){\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+{\frac {1}{6}}(4-7z){\frac {dy}{dz}}+{\frac {5}{576}}y=0.$

(89)

‎Из формул (48) главы III следует, что два частных интеграла $y_{5},\ y_{6}$ уравнения (89) в области III (черт. 2) изображаются формулами: